Основные понятия мкэ

] Гм,] г Д ] Г р

и, ] Гм,] г Д ] Г р 3
ад) = [w„«Д {£7}^ <зо) 4

где q, s - текущие номера степеней свободы в общей системе нумера­ции степеней свободы модели фермы; N - общее число степеней сво­боды модели.
Ферменный конечный элемент имеет одномерное напряженное состояние растяжения (сжатия). В местной системе координат пере­мещение произвольной точки такого элемента линейно зависит от координаты х :
й(х) = а₁+а₂х. (28)
Запишем выражение (28) для узлов i,j:





Выразив коэффициенты а₁,а₂ из (29) и подставив их в (28), найдём
ад) = [w„«Д {£7}^ <зо)
где N_i = (х . -x)/l, N. = (х - х ) / / - функции формы ферменного эле­мента (см. рис. 1.4); / - длина ферменного элемента.
Функции формы N_t,Nj обладают следующими важными свойст­вами:
N_I+N_J = 1, Щх_у) = N/xJ = 0, N_i(x_j) = N/Xj) = 1. (31)



О
Матрица производных от функций формы [/i] имеет вид:

тносительная деформация ферменного элемента вычисляется путём дифференцирования перемещений из (30), так что
Напряжение ферменного элемента определяется по закону Гука
o = Es=E[B\\u}_e, (34)
где Е - модуль упругости материала элемента.
Узловые силы:
F_t=-Sa,F_j=So, (35)
где S - площадь поперечного сечения ферменного элемента.


С
Из соотношения (36) вытекает уравнение жёсткости конечного элемента в местной системе координат



учётом (34) и (35) вектор узловых сил элемента представляется в виде

где | К J - матрица жёсткости конечного элемента в местной системе координат, имеющая размерность 2x2:




Преобразуем уравнения (37) к общей системе координат. Направ­ляющие косинусы оси х в общей системе координат:
X_l=(x_j-x_t)/l, Х₂ = (уj - y_t) /1, (39)
г де х₎.х₍. у₎. у ₍ - координаты узлов j в общей системе координат. Проецируя перемещения узлов на местную ось х, найдём


В матричной форме эти формулы преобразования перемещений из общей системы координат в местную систему примут вид

матрица преобразования.



Подставив (41) в (42), найдём что





откуда, учитывая независимость и произвольность компонентов \и}_е


,
Принимая во внимание равенства (37) и (41), получим уравнение жёсткости для ферменного элемента в общей системе координат



вытекает формула преобразования сил из местной системы коорди­нат в общую


Таким образом, соотношение (47) позволяет преобразовать матрицу жёсткости конечного элемента из местной системы координат в общую.

которое можно переписать в виде, аналогичном (37):




Р
где -матрица жесткости конечного элемента в общей системе координат размерности 4x4:



ассмотрим равновесие фермы под действием внешних сил, зада­ваемых матрицей Составляя условия равновесия каждого узла в общей системе координат (рис. 1.5), получим систему N=2n линейных уравнений равновесия:





С учётом (46) эти уравнения принимают вид
[*]{£/} = {i>}, (49)
где [АГ]-общая (глобальная) матрица жёсткости фермы.
Компоненты этой матрицы при индексации по номерам узлов яв­ляются подматрицами, которые вычисляются путём суммирования соответствующих блоков элементных матриц жёсткости:





Суммирование блоков [^-] с одинаковыми индексами i,j про­изводится по всем т конечным элементам.
Если используется общая система нумерации по степеням свобо­ды фермы, то матрица [А"] может представляться как сумма расши­ренных матриц жёсткости элементов. Расширенная матрица жёстко­сти элемента получается из матрицы [А'] путём приписывания её
строкам и столбцам номеров соответствующих степеней свободы мо­дели и добавлением нулевых компонентов до размера NxN. В общей системе нумерации по степеням свободы фермы компоненты матри­цы [К] вычисляются через компоненты расширенных матриц жёст­кости элементов (К )_е по правилу





Суммирование компонентов (К )_е с одинаковыми индексами
степеней свободы q, s производится по всем т конечным элементам.
Система уравнений (49) позволяет вычислить перемещения узлов {U}. Для однозначности решения необходимо учесть в этих уравне­ниях связи - граничные условия в перемещениях. Различные способы учёта таких граничных условий рассмотрены в п. 1.5. Через вектор узловых перемещений {£/}, полученный в результате решения (49), вычисляются все другие искомые величины.
Реакции опор находятся из соответствующих уравнений общей системы (49), не модифицированной с целью учёта связей. При гло­бальной нумерации компонентов общего вектора узловых сил и об­щего вектора узловых перемещений формула для расчёта реакций в опорных узлах имеет вид





Из общего вектора {(/} выбираются узловые перемещения от­дельных элементов и с помощью зависимости (41) определяют­ся узловые перемещения ферменных элементов в местной системе координат {[/J . Удлинения элементов фермы (стержней) определя­ются как Л1 = м . - и_!. а по формулам (32), (34) и (35) рассчитываются
их деформации, напряжения и узловые силы.
Mahalliy koordinata tizimidagi truss cheklangan elementi uchun yuqorida tuzilgan matritsalar va matritsalar ifodalari muammoning o'lchamiga bog'liq emas.
X, y, z umumiy uch o'lchovli koordinatalar tizimida fazoviy trusslarni hisoblashda, mahalliy koordinata tizimidan uch o'lchovli tizimga o'tish yuqorida ko'rib chiqilgan ikki o'lchovli holatga o'tish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. . (41) - (47) formulalarda tegishli o'tish matritsasi (yo'naltiruvchi kosinalar matritsasi) ishlatiladi:


Матрицы и матричные выражения, составленные выше для ферменного конечного элемента в местной системе координат, не зависят от размерности задачи. При расчёте пространственной фермы в общей трёхмерной системе координат х, у, z переход от местной системы координат к трёхмерной производится аналогично рассмотренному выше переходу к двумерному случаю. В формулах (41)-(47) используется соответствующая матрица преобразования (матрица на­правляющих косинусов):





Yassi trusslar uchun olingan barcha matritsa aloqalari ham fazoviy holatda saqlanib qoladi, ammo matritsalar tarkibi o'zgaradi. Ularning o'lchami har bir tugunga yana bir erkinlik darajasi qo'shilishi sababli ortadi.

Все матричные соотношения, полученные для плоских ферм, со­храняются и в пространственном случае, но изменяется содержание матриц. Увеличивается их размерность из-за добавления ещё одной степени свободы в каждом узле. Произвольный z-тый узел простран­ственной фермы имеет 3 степени свободы: и^,и_1у,и^. Вся конечно­элементная модель пространственной фермы с п узлами имеет 3п степеней свободы, следовательно, разрешающая система уравнений аналогичная будет иметь размерность N=3n.