Otajonova malikabonu sadulla qizi o‘quvchilarni matematika fan olimpiadalariga bosqichma – bosqich tayyorlash tizimi

Isbot: Koshi tengsizligiga ko‘ra

29(10). Quydagi tenglamani qanoatlantiruvchi kamida bitta natural sonlar uchlikini toping.
Yechish:
Demak,

tenglamani yechimi bo‘ladi.
30(10). Tengsizlikning biror nuqtasidan to‘g‘ri to‘rtburchakning uchta uchlarigacha bo‘lgan masofalar 5, 13 va 12 ga teng. To‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini toping.[9]
Yechish: Bizga ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan bo‘lsin. A uchidan Dekart koordinatalar sistemasiga kiritamiz. Tekislikda berilgan nuqtaning koordinatalari bo‘lsin. Misol shartiga ko‘ra


Bundan



31(10-11). ABCD kvadratning BC va CD tomonlarida K va N nuqtalar shunday olinganki, bunda . bo‘lishini isbotlang.
Isbot. bo‘sin.
,


32(10). Har qanday larga bo‘lishini isbotlang.
Isbot.

33(11). Barcha yoqlarining perimetrlari o‘zaro teng bo‘lgan tetraedir berilgan. Bu tetraedrning yoqlari o‘zaro tengligini isbotlang.
Isbot: Aytaylik, bo‘lsin.
Misol shartiga ko‘ra

Bundan

34(11). Dastlabki 1988 ta natural sondan ixtiyoriy 995 ta son olingan. Olingan sonlar orasida biri ikkinchisiga karrali bo‘lgan ikkita son topilishini isbotlang.[7]
Isbot. Umumiy holda isbotlaymiz. Dastlabki, ikkita 2n ta sondan ixtiyoriy (n+1) ta son olingan bo‘lsin. Aytaylik olingan sonlar to‘plami va qolgan sonlar bo‘lsin.


Agar birorta to‘plamning ikkala elementi ham ga tegishli bo‘lsa, maqsadga erishamiz.
Agar har bir to‘plamdan bittadan element olsak, n ta element bo‘ladi. Yana bitta element olishimiz kerak. Demak, son mavjud, bo‘ladi.