O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasi V. I. Romanovskiy nomidagi Matematika Institutida bajargan ilmiy amaliyot ishi

Isbot. , va bo’lsin. U holda yetarlicha katta larda (8) munosabat

ko’rinishga kelib, (3.2.12) munosabat qism to’plam uchun bajariladi.
ning dispersiyasi haqidagi bu baho shuni ko’rsatadiki, yig’indi da o’zining ga mos bloklardan hosil qilingan Fure qatorlarining hadlari orqai yaxshi approksimatsiya qilinadi.
Shunday qilib, MLT ni da isbotlash uchun ni quyidagi bilan almashtiramiz:
.
Ma’lum da, juda kichik uchun sonni ga teng deb faraz qilish mumkin va kichik xatolik bilan

ifodani

ifoda bilan almashtirishimiz mumkin, bu yerda va lar faqatgina ga bog’liq.
Yuqoridagi (1) munosabatda ifodani ushbu

ifoda bilan almashtiramiz, bu yerda . Oson ko’rish mumkinki, biz ni yetarlicha katta qilib tanlay olganimiz sababli oxirgi ifoda standart normal taqsimotga taqsimot bo’yicha yaqinlashadi.
Isbot(Teorema 3.2.4.) Katta lar uchun bo’lsin. Yuqoridagi baholashlardan ko’rish mumkinki, ning dispersiyasining asosiy qismi va bloklardagi hadlar orqali hosil qilingan.
Bundan
,
funksiya da ushbu
(3.2.13)
funksiyaga -ekvivalent bo’ladi, ya’ni ikkala funksiya ham bir xil limit taqsimotga ega, agar limit taqsimotlar mavjud bo’lsa.
Biz to’plamning hajmi(elementlar soni) ni yetarlicha katta qilib tanlay olamiz. Agar fiksirlangan bo’lsa, ni yetarlicha katta tanlaymizki, (3.2.8) ga ko’ra har bir uchun

va har bir uchun

ifodalar da standart normal taqsimotga bo’yicha tekis yaqinlashadi. Bu yerda


va natijada (3.2.13) ifoda asimptotik normal bo’ladi.
Isbot tugadi.
Natija sifatida, oldindan qo‘yilgan maqsadimiz, ya’ni aylanadagi burish akslantirishining ixtiyoriy tartibli o’suvchi iteratsiyalari ketma-ketligi yordamida hosil qilingan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o’rinli bo’lishi isbotlandi.

ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Robert Burton, Manfred Denker, On the Central Limit Theorem for dynamical systems, Transaction of the American Mathematical Society, Volume 302, Number 2, August 1987, 715-718.
2. M.Weber, On the CLT for means under the rotation action, Society for Industrial and Applied Mathematics, Theory Probab.Appl.Vol.50. No.4. pp.631-649.
3. T.De La Rue, S.Ladouceur, G.Peskirand M.Weber, On the central limit theorem for aperiodic dynamical systems and applications, Theory Probab. Math. Statist., 57(1998), pp.149-169.