O’zbekiston Respublikasi Islom Karimov nomidagi

16. 3. Bir jinsli tenglamalar.
Agar t ning har qanday qiymatida
M (tx, ty) = t^kM(x,y)
Ayniyat o’rinli bo’lsa, M (x,y) funksiya x va y o’zgaruvchilarga nisbatan k o’lchivli bir jinsli funksiya deyiladi. Masalan,
funksiyalarbir jinsli funksiyalardir.
Agar (10) tenglamada M (x, y) va N (x, y) funksiyalar 0 o’lchovlibir jinsli funksiyalardan iborat bo’lsa, (10) tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Bir jinsli differensial tenglamalarni yechish uchun y = ux almashtirish kiritamiz. U holda bo’ladi. Buni keltirib (10) tenglamaga qo’ysak, o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi.
Eslatma. (10) tenglamani ko’rinishda ham yozish mumkin.

P(x,y) 0 o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lganligi uchun bo’lib, almashtirish bajaramiz.
Misol. (x² – 2xy)dy – (xy – y²)dx=0.
y = xu almashtirish kiritamiz:
dy = xdu+udx.
Bularni keltirib tenglamaga qo’yamiz va soddalashtiramiz:
(x² – 2x∙xu)(xdu+udx) – (xxu – x²u²)dx = 0
x(1 – 2u)du+(1 – 2u)udx = (u – u²)dx
x(1 – 2x)du = u²dx.
O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Ikkala tomonidan integral olamiz:







Bu tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Eslatma. C ixtiyoriy son bo’lgani uchun differensial tenglamaning umumiy yechimi C ga nisbatan har xil ko’rinishda bo’lishi mumkin:

ko’rinishdagi differensial tenglamalarni x=x₁+α, y=y₁+β almashtirishni bajarib, bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin. Bu yerda α va β lar
aα + bβ +C = 0
a₁α + b₁β +C₁ = 0
tengliklar o’rinli bo’ladigan qilib tanlab olinadi.