O’zbekiston Respublikasi Islom Karimov nomidagi

16. 4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
Soddalashtirilgandan so’ng
y^/ + M(x)y = N(x) (14)
ko’rinishga kelidagin tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi. Bu yerda M (x) va N (x) lar x ning uzluksiz funksiyalaridir (o’zgarmas son ham bo’lishi mumkin). Chiziqli differensial tenglamani yechish uchun y = u(x)v(x)(*) almashtirish kiritamiz. U (x) yoki v(x) funksiyalardan biri tanlab olinadi, ikkinchisi esa (14) tenglamaga asosan aniqlanadi. (*) dan hosila olamiz:
(15)
(15) ni (14) ga keltirib qo’yamiz.
(16)

1. 
   ifodada v ni shunday tanlab olinadiki
   

(17)
tenglik o’rinli bo’lsin.

2. 
   tenglamani v ga nisbatan yechamiz:
   

ikkala tomonidan integral olsak:
ln│v│= - ∫ M (x) dx + ln │C│
Bundan v = C₁e^-∫M(x)dx
(17) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi kerak bo’lganligi uchun bitta
v = e^-∫M(x)dx (18)
yechimni olamiz .
(18) va (16) ga keltirib qo’yamiz va u ni topamiz:

yoki
du = N(x)e ^M(x)dxdx
u = ∫ M(x) e ^M(x)dxdx+C₁
(18) va (19) dan berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi
y = uv = [∫ N(x) e ^M(x)dxdx+C] e^-∫M(x)dx
ko’rinishda bo’lishi kelib chiqadi.
Misollar. 1. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani ikkala tomonini x² ga bo’lamiz:

va
larni keltirib tenglamaga qo’yamiz:

Endi

tenglamada v ni shunday tanlab olaylikki,
bo’lsin.
Bu tenglamani qanoatlantiruvchi v ning bitta qiymatini topamiz:
lnv = 2lnx; v = x²
Buni keltirib (*) ga qo’yamiz va u ning qiymatini topamiz:

O’zgaruvchilarni ajratamiz:



u va v ning qiymatini y = uv ga qo’yamiz:

Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

2. tenglamani yeching.
Yechish: Biz bu tenglamani to’g’ridan – to’g’ri formuladan foydalanib yechamiz:


Demak,
Eslatma. Yuqorida ko’tarilgan birinchi tartibli differensial tenglamalardan tashqari yana quyidagi ko’rinishdagi differensial ko’rinishdagi tenglamalar ham uchraydi.
1. (19) Bernulli tenglamasi.
Bernulli tenglamasini yechishda ikkala tomonini yⁿ ab o’lamiz va
u=y^-n+1
almashtirish bajaramiz. Natijada u ga nisbatan chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.

3. 
   M (x,y)dx+N (x,y)dy=0 tenglamada
   

(20)
bo’lsa, uni to’la differensial tenglama deb ataladi. Bu tenglamani ham elementar usul bilan yechsa bo’ladi.