O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim vazirligi

2.2. 3 karrali integral
Matematik analizning umumiy kursida ikki karrali integrallarni o’rganayotganimizda Grin formulasi bilan tanishganmiz. Bu formula ikki karrali integrallar bilan egri chiziqli integrallar orasidagi bog’lanishni ifodalar edi. Uning uch karrali integraldagi analogi Ostrogradskiy formulasi deb yuritilib, u uch karrali integrallarni sirt integrallari bilan bog’laydi

sirt va z o’qiga parallel bo’lgan S3 silindrik sirtlar bilan chegaralangan V  jismni qaraylik. Bu jismning xy tekislikdagi proeksiyasi bulakli – silliq K  egri chiziq bilan chegaralangan bo’lsin.
Faraz qilaylik (V) sohada hosilalari bilan birga uzluksiz bo`lgan (sohaning chegarasidan tashqarisida) R(x,y,z) fuknsiyalar uchun
 (3.1)
Formulaga ega bo`lamiz. Bu erda S shu jism bilan chegaralangan sirt va o’ng tomondagi integral uning tomonlarining ichkarisi bo’yicha olingan.
.
Agar qaralayotgan sirtni integralga qo’llasak, (1.3) va (1.3*) formulalarga ko’ra

bo’ladi. Bunda o’ng tomondagi birinchi integral S2 sirtning yuqori tomoni bo’yicha ikkinchi integral esa S1 ning pastki tomoni bo’yicha olingan. Ushbu S3 sirtning tashqarisi bo’yicha olingan

integralni yuqoridagi tenglikning o’ng tomoniga qo’shsak tenglik o’zgarmaydi. Chunki bu
integral nolga teng. Bu uchta sirtlarni birlashtirsak (2.1) formulaga kelamiz. (2.1) formula
Ostrogradskiy formulasining xususiy holini ifodalaydi
Xuddi shunga o`xshash, agar (v) sohada va hosilalari bilan birga uzluksiz bo`lgan P(x,y,z) va Q(x,y,z) fuknsiyalar uchun
 (3.2)
 (3.3)
formulalarga ega bo’lamiz
Bu uchta (3.1), (3.2), (3.3) formulalarni qo’shib, Ostrogradskiyning umumiy formulasini hosil qilamiz:
(3.4)
Tenglikning o’ng tomonidagi integral ikkinchi tur sirt integralining umumiy
ko’rinishini ifodalaydi. Bu integral formula soha bo’yicha integralni shu sohani o’z ichiga
olgan yopiq sirt bo’yicha integralga almashtiradi.
Agar qaralayotgan sirt integralni birinchi tur deb qarasak, Ostrogradskiy formulasining
boshqa ko’rinishdagi integralini hosil qilamiz.
(3.5)
bu erda ,  , lar S sirtning ichki normalining koordinata o’qlari bilan tashkil etgan burchaklari.
Uch karrali integralning umumiy ta`rifini tuzishda jismning hajmi tushunchasi (ikki karrali integral ta`rifi asosida tekis shakl yuzi tushunchasi yotgani kabi) asosiy rol o`ynaydi.
Berilgan jisimning hajmi mavjud bo`lishi sharti uni chegaralovchi sirtning nol hajmga ega bo`lishidir. Biz faqat ana shunday sirtlar bilan shug`ullanamiz va, demak, biz ko`radigan hollarda hajmning mavjudligi shu bilan ta`minlanadi. Shuni qayd qilib o`tamizki, sirtlarning bu sinfiga, xususan, silliq va bo`lakli-sillliq sirtlar tegishlidir.
Biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo`lsin. Bu sohani sirtlar to`ri yordamida chekli sondagi bo`laklarga ajratamiz; ularning hajmlari mos ravishda bo`lsin. element dan ixtiyoriy nuqta olamiz, funksiyaning shu nuqtadagi qiymati ni hajm ga ko`paytiramiz va ushbu integral yig`indini tuzamiz:
Bu yig`indining, barcha sohalar diametrlarining eng kattasi nolga intilgandagi limiti funksiyaning sohadagi uch karrali integrali deyiladi. U

simvol bilan belgilanadi.
Bunday chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo`lishi mumkin; bunday funksiya uchun, integral yig`indi dan tashqari, yana Dabru yig`indilari

kiritiladi, bu yerda
Odatdagi yo`l bilan integral mavjudligi ucun
yoki
( ayirma funksiyaning sohadagi tebranishi) shartning zarur va yetarliligi isbot etiladi. [Integral mavjud bo`lsa, ikkala S,s yig`indilar limiti ham unga teng bo`lishini qayd qilib o`taylik.]
Bundan bevosita ko`rinadiki, har qanday uzluksiz funksiya integrallanuvchidir.
Bu sinfni bir oz kengaytirish ham mumkin. Aniqrog`i: barcha uzilishlari chekli sondagi nol hajmli sirtlarda yotgan har qanday chegaralangan funksiya integrallanuvchi bo`ladi.
Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning xossalari. Bu xossalarni sanab o`tamiz.
. Uch karrali integralning mavjudligi va miqdori funksiyaning nol hajmga ega bo`lgan chekli sondagi sirtlarda qabul qiladigan qiymatlariga bog`liq emas.
. Agar bo`lsa,

va chapdagi integralning mavjudligidan o`ng tomondagi integralning mavjudligi kelib chiqadi va aksincha.
. Agar bo`lsa va o`ngdagi integralning mavjudligidan chapdagi integralning mavjudligi kelib chiqadi.
. Agar sohada ikkita va funksiya integrallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va
.
. Agar sohada integrallanuvchi va funksiyalar uchun shu sohada tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda:
.
. Agar integrallanuvchi bo`lsa funksiya ham integrallanuvchi bo`ladi va ushbu tengsizlik o`rinlidir:
.
. Agar da integrallanuvchi funksiya

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda
.
Boshqacha aytganda, o`rta qiymat haqidagi teorema

o`rinli .
funksiya uzluksiz bo`lgan holda bu formulani quyidagi ko`rinishda yozsa ham bo`ladi:
(3) bunda sohaning biror nuqtasidir.
Uch o`lchovli sohaning funksiyasiga , xususan additive funksiya tushunchasi kiritiladi. O`zgaruvchi soha bo`yicha integral
(4) additv funksiyaga muhim misol bo`ladi ( ga qarang). Ilgarigiga o`xуhash funksiyaning soha bo`yicha berilgan nuqtadagi hosilasi tushunchasi kiritiladi: nuqtani o`z ichiga olgan soha shu nuqtaga qisila borganдagi limit

shunday deb ataladi.
. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo`lsa, (4) integralning soha bo`yicha nuqtadagi hosilasi integral ostidagi funksiyaning xuddi shu nuqtadagi qiymatiga, ya`ni ga teng bo`ladi.
Shunday qilib, farazimizga ko`ra (4) integral uzluksiz funksiya uchun ma`lum ma`noda “ boshlang`ich funksiya “ vazifasini bajarar ekan.
Uch karrali integralni hisoblash. Bu yerda ham masala quyi karrali integrallardan tuzilgan takroriy integrallarni hisoblashga keltiriladi. Ko`rilayotgan sohada funksiya uzluksiz bo`lsin deb faraz qilaylik; bu bilan quyida uchraydigan barcha integrallarning mavjudligi ta`minlanadi. Dastavval, funksiya integrallanayotgan jism to`g`ri parallelepiped

dan iborat bo`lgan holni ko`raylik. Bu parallelepipedning teksligiga proeksiyasi

to`g`ri to`rtburchak bo`ladi. U holda, avvalo,
(5)
ga ega bo`lamiz.
Bu yerdagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib, uch karrali integralni hisoblashni, uzil-kesil, ketma-ket uchta oddiy integralni hisoblashga keltiramiz:
. (6)
Aksincha, birinchi ikkita integralni ikki karrali integralga birlashtirsak,
(7)
deb yoza olamiz; bu yerda O`z-o`zidan ravshanki, yuqoridagi munosabatlarning hammasida larning rollarini almashtirish mumkin.
Endi uch karrali integral to`g`ri parallelepipeddan farqli jism bo`yicha olinayatgan bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu jism va tekisliklar orasida joylashgan va ning tayinlangan qiymatiga mos kelib, tekisliklarga parallel har bir tekislik bilan yuzaga ega bo`lgan biror shakl bo`ylab kesishgan deylik; bilan uning tekisligiga proeksiyasini belgilaylik. U holda
(5a)
Bu – (5) formulaning o`xshatmasidir.
Endi jism quyidan va yuqoridan mos ravishda va sirtlar bilan chegaralangan “ silindirik g`o`lacha “ bo`lsin. Bu sirtlarning tekisligiga bo`lgan proeksiyalari nol yuzli egri chiziq bilan chegaralangan biror shakl bo`lsin. Yon tomondan jismni yasovchilari o`qiga parallel bo`lgan hamda yo`naltiruvchisi egri chiziq bo`lgan silindirik sirt bilan chegaralangan desak, u holda (7) formulaga o`xshash bo`lgan
(7a) formulani hosil qilamiz.
Agar soha ikkita
va
egri chiziqlar va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo`lsa, u holda jism yuqoridagi ko`rilgan ikkala holga ham mos keladi: yo (5a) dagi, yoki (7a) dagi ikki karrali integralni takroriy integralga almashtirib,
(6a) formulani иosil qilamiz. Bu (6) formulani umumlashgan holidir.
Yuqorida kп`rilgan eng soda holdagidek, bu yerda ham olingan formulalar bilбn birga larning o`rinlarini almashtirishdan hosil bo`ladigan ularga o`xshash formulalar ham o`rinlidir.
Misollar. 1) va tekisliklar bilan chegaralangan tetraydr bo`yicha olingan

integral hisoblansin.
Yechish. Bu jisimning tekisligiga proeksiyasi va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakdir. Ravshanki, ning o`zgarish oralig`i dan ga qadar, shu oraliqdagi o`zgarmas bo`lganda esa, o`zgaruvchi dan ga qadar o`zgaradi. Agar ham, ham tayinlangan bo`lsa, nuqta vertical bo`ylab tekislikdan tekislikka qadar harakatlana oladi; shunday qilib, ning o`zgarish chegaralari va bo`ladi. (6a) formulaga ko`ra:
.
Ichki integraldan boshlab, integrallarni ketma – ket hisoblaymiz:


va, nihoyat,

2) Dirixle integrali

shartlar ostida hisoblansin.
(5a) ko`rinishdagi formulada bo`yicha integrallash o`rniga bo`yicha integrallash qo`yib, bu misolga qo`llansak,

ni hosil qilamiz.
almashtirish o`tkazib, ikki karrali integralni
(*)
integralga keltiramiz;