O’zbekiston Respublikasi Oliy va O’rta – maxsus ta’lim vazirligi

O’zbekiston Respublikasi Oliy va O’rta – maxsus ta’lim vazirligi.
Chirchiq Sanoat kasb – hunar kolleji.
Fan: Matematika.




Mavzu: Aniq integralning asosiy xossalari.


Bajardi: ____________.
Tekshirdi: Chindaliyeva A.

Chirchiq – 2008

Aniq integralning barcha xossalarini berilgan funksiya qaralayotgan oraliqda integrallanuvchi deb qarab shakllantiramiz va isbotlaymiz.
1 – xossa. Chegaralari bir xil bo’lgan aniq integral nolga teng.


2 – xossa. Aniq integralda yuqori va quyi chegaralarining o’rinlarini almashtirsak, u ishorasini o’zgartiradi.
Nyuton – Leyblis formulasiga ko’ra:

3 – xossa. Aniq integralning qiymati integrellash o’zgaruvchisining belgilanishiga bog’liq emas:

4 – xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisi oldida chiqarish mumkin:

Isbot. [a;b] oraliqni bo’laklarga ixtiyoriy bo’ladi, kf(x), (k = const) funksiya uchun integral yig’indi tuzamiz:

5 – xossa. a, b,c sonlar qanday bo’lmasin hamma vaqt tenglik o’rinli bo’ladi.

Agar a
Bu xossani isbotlamasdan uning geometrik mazmunini tushuntiramiz. aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzi aACc va cCBb trapetsiyalarning yuzlarining yig’indisiga teng bo’ladi.
6 – xossa. funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali har bir qo’shiluvchi funksiya integrallarining yig’indisiga teng:
(1)
Isbot. F(x) + g(x) funksiya uchun integral yig’indi tuzamiz:



7 – xossa. Agar [a;b] oraliqda f(x)> 0 va a < b bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Isbot. [a;b] kesmani istalgan usul bilan [x_k-1;x_k] qismlarga bo’lib, nuqtalarni qanday tanlamaylik, bo’ladi. Bunday holda
bo’lib, bo’ladi.
Bu tenglikdan limitga o’tsak, (1) formulani olamiz. Bu xossa istalgan chekli sondagi qo’shiluvchi funksiyalarga ega bo’lgan yig’indi uchun ham o’rinli bo’lishini isbotlash mumkin.
8 – xossa. Barcha uchun f(x) > g(x) > 0 bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra barcha uchun f(x) > g(x) > 0. 7 – xossaga ko’ra:

6 – xossani e’tiborga olsak, talab qilingan tengsizlikni hosil qilamiz:

Bu xossaning geometrik ma’nosi 65-rasmdan ravshan.
9 – xossa. Agar m va M sonlar f(x) funksiyaning [a;b] kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo’lsa, bunda (a < b), u holda
(2)
bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra barcha uchun m < f(x) < M.
6 – xossaga ko’ra

bo’lishini e’tiborga olsak, (2) tenglikni olamiz.
Geometrik nuqtai nazardan bu xossa aA₂B₂b egri chiziqli trapetsiyaning yuzi aA₁B₁b va aA₃B₃b to’g’ri to’rtburchaklar yuzlari oralig’ida yotishini bildiradi.