O’zbеkistоn rеspublikasi оliy va o’rta maхsus

2-§. Garmonik funksiyalar.
Bizga fazoda sohada funksiya berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar va funksiya uchun
(*)
bo’lsa, u holda funksiya sohada garmonik funksiya deyiladi.
(*) tеnglamaning chap qismidagi diffеrеnsial оpеratоrga Laplas оpеratоri dеyiladi va kabi bеlgilanadi. (1) tеnglama Laplas tenglamasi deyiladi.
Quyidagi funksiyani bevosita tekshirish yordamida ikkita va nuqtalarga bog’liq
(1)

funksiya uchun bo’yicha va bo’yicha ham, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi, bunda esa va orasidagi masofalardir.

Xaqiqatdan ham, uchun (1) dan

ekanligini hosil qilamiz. Bu ifodani qo’yish yordamida

ayniyatga ega bo’lamiz. funksiya va ga nisbatan simmetrik, shuning uchun bu funksiya bo’yicha bo’lganda ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. funksiya Laplas tenglamasining elementar yoki fundamental yechimi deb ataladi.
S - silliq (yopiq yoki yoyiq ) gipersirt fazodan olingan va -esa unda berilgan xaqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya bo’lsin.

ifoda dagi ga qarashli bo’lmagan barcha nuqtalarda garmonik funksiyadan iborat, ya’ni uchun , bunda - esa -gipersirtdagi o’zgaruvchi bo’yicha yuza elementi. Bu xulosaning to’g’riligi uchun funksiyaning garmonik ekanligi va integralni integral ostida differensiallashdan kelib chiqadi.
Bevosita tekshirish yordamida ko’rsatish mumkinki , agar funksiya sohada garmonik bo’lsa, u holda

funksiya o’zining barcha aniqlanish sohasida garmonik bo’ladi.
soxa o’zining yetarlicha silliq chegarasiga ega, hamda va bo’lib bunda bo’lsin. soha bo’yicha

ayniyatlarni integrallab va

Gauss -Ostragradiskiy formulasidan foydalanib,
(2)
(3)
ekanligini hosil qilamiz, bunda - hajm elementi, - esa ga nuqtada o’tkazilgan tashqi normalardir. Xuddi shunga o’xshash, ixtiyoriy uchun
(4)
Grinning birinchi formulasini hosil qilamiz . Xaqiqatdan ham
, deb olib, Gausss – Ostragradskiy formulasidan Grin formulasini hosil qilamiz. Endi va funksiyalarni o’rinlarini almashtirib
(5)
formulaga ega bo’lamiz. (4) tenglikdan (5) tenglikni ayirib,
(6)

Grinning ikkinchi formulasini hosil qilamiz.

bo’lgan holda garmonik funksiyalar va golomorf funksiyalar orasidagi bog’liqlikni ko’rib chiqamiz.
Bеlgilash kiritamiz

U hоlda

bo`ladi.
Garmоnik va gоlоmоrf funktsiyalar оrasida quyidagiga bоg`lanish mavjud.