O’zbеkistоn rеspublikasi оliy va o’rta maхsus

3-§.Garmonik funksiyaning integral tasviri. Puasson integrali.
1.1.2-teorema. (Puasson integrali) Agar funksiya da garmonik va da uzluksiz bo‘lsa, u holda uchun quyidagi tenglik o‘rinli.
(1)
bu yerda - sfera sirtini yuza elementi va
Isboti. Umumiylikka zid ish qilmagan holda deb olamiz. Boshqa hollarda funksiya o‘rniga funksiyani qaraymiz. funksiyani garmonik qoldig‘ini hisoblab bo‘lishidan boshlasak,va demak, qaysiki uchun sharda sinfga tegishli. O‘shanda o‘rniga soha uchun Grin teoremasini tadbiq qilamiz, bu yerda -yetarlicha kichik son va

funksiya o‘rnida biz funksiya haqidagi 1-teoremadan foydalanamiz va deb belgilaymiz. U holda da va funksiyalar garmonik tenglik Grin teoremasiga ko’ra o’rinli. Demak, da . Endi da ni hisoblaymiz. ni orqali, ni orqali va fazodagi ixtiyoriy nuqtani orqali belgilaymiz. -koordinatalar boshi bo‘lsin. , va - burchak bo‘lsin. Shunda

Bundan,

Agar bo‘lsa, u holda , сhunki ,

bo‘lgan hol uchun ham yuqoridagiga o‘xshash natija olamiz:

.
Shunday qilib, da quyidagiga egamiz:

Ravshanki, da da quyidagi tenglikga ega bo‘lamiz




bu yerda -o‘zgarmas. Bundan

Haqiqatdan biz quyidagi ifodani olamiz:

bu yerda o'zgarmas -o‘lchovli fazoda birlik gipersfera sirtiga teng, .
Biz uchun biror sharda funksiyani garmonik deb faraz qilgan edik. Agar bu shart bajarilmasa, u holda 1-teoremani o‘rniga qo‘yib tadbiq qilamiz, bu yerda . Shunda funksiya da uzluksiz, ravshanki, (1) formulaning o‘ng qismi da uzluksiz, bu yerdan teoremaning umumiy isboti kelib chiqadi.
2- Tеоrеma. Agar , bo’lsa, u holda


(2)

Integral tasvir o’rinli bo’ladi, bunda - Laplas tenglamasini fundamental yechimi, - esa fazodagi birlik sferaning yuzi, - esa sohaning chegarasi .

(2) formulani keitirib chiqarish uchun sohadan nuqtani da yotuvchi radiusli yopiq shr bilan birgalikda ajratib va D sohaning qolgan qismini olsak, u – sirt va sfera bilan chegaralangan bo’ladi.

( 3) yoki (6) formuladan deb olsak,

(3) tenglik hosil bo’ladi. sferada

ekanligini hisobga olib, oldingi paragrafdagi (7) tenglikka ko’ra, (3) dan da limitik holatda (2) integral tasvirni hosil qilamiz.