O’zbеkistоn rеspublikasi оliy va o’rta maхsus

3- Tеоrеma (Garmоnik funktsiyaning istalgan tartibdagi хоsilaga ega bo`lishi.). Agar funksiya sohada garmonik bo’lsa, u holda bu sohaning ichki nuqtalarida barcha tartibli hosilalarga ega bo’ladi. Xaqiqatdan ham, soxaninng ixtiyoriy ichki nuqtasini olaylik. soha ichida butunligicha joylashgan butunicha joylashgan S’ sirt bilan shu nuqtani o’rab olamiz. soxada funksiya garmonik bo’lsa, u holda bu funksiya sirt bilan chegaralangan soha ham garmonik funksiya bo’lib,
integral tasviriga ko’ra,
(4)
o’rinli bo’ladi. nuqta sirtga qarashli bo’lmaganligi uchun - funksiya uzluksiz va o’zgaruvchi bo’yicha istalgan tartibli uzluksiz hosilaga ega. Shunga ko’ra (4) formulaning o’ng tomonini integral ostida bo’yicha istalgan tartibda differensiallash mumkin. Bundan esa, bizning xulosamiz kelib chiqadi.


4-§. Shar uchun Dirixle masalasining yechimi. Puasson formulasi.


- ixtiyoriy chegaralangan soxa bo’lsin. funksiya har bir uchun Laplas tenglamasini va chegaraviy shartni qanoatlantirsin, bunda esa chegarada berilgan xaqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya bo’lsin.
Bunday funksiyani topish masalasi Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi va funksiyaga Dirixle masalsining klassik yechimi deb ataladi. Garmonik funksiya uchun isbot qilingan ekstremum prinsipi xossasiga ko’ra, Dirixle masalasi bittadan ko’p yechimga ega bo’la olmaydi. Xaqiqatdan ham, agar va bu masalaning yechimi bo’sa, u holda ayirma sohaning chegarasida nolga teng bo’ladi va shuning uchun ekstremum prinsipiga ko’ra ya’ni uchun bo’ladi.
D sohada shar bo’lgan xolda Grin funksiyasini oshkor ko’rinishda quramiz. soha shardan iborat bo’lib, va shu sharning ichki nuqtalari bo’lsin. nuqta nuqtaga sferaga nisbatan simmetrik nuqtadir.
shar uchun Dirixle masalasining Grin funksiyasi
(1)

Shaklga ega ekanligini ko’rsatamiz. Xaqiqatdan xam,

bo’lib, , uchun funksiya va bo’yicha garmonik bo’ladi. uchun

(2)

Shunga ko’ra, funksiya Grin funksiyasining barcha talablarini qanoatlantiradi.

uchun (2) ko’ra,

Bundan , (14) formulani

shaklida hosil qilamiz. Bu esa uchun Puasson formulasidir.
Agar sharda - garmonik funksiya bo’lib, yopiq sharda uzluksiz va , uchun chegaraviy shartni qanoatlantirsa, u holda funksiya chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Shuning uchun

ya’ni

yoki almashtirishdan keyin,

xosil bo’ladi.
funksiya sharda garmonik, chegaragacha uzluksiz va
,
chegaraviy shartni qanoatlantirsin. funksiya sharda garmonik, uchun uzluksiz va , bo’lsa u holda yuqoridagi isbot qilingan formulaga ko’ra

bo’ladi. bundan, shar uchun

ya’ni


(3)

bo’lib, oxirgi (4) tenglik odatda shar uchun Puasson formulasi deyiladi.

Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishida quyidagi mavzular o’rganildi va quyidagi natijalar isbоtlandi:

• 
  Garmonik funksiyalar va ularning xossalari.
  
• 
  Garmonik funksiyalarning integral tasviri. Puasson formulasi.
  
• 
  Shar uchun Dirixle masalasining yechimi. Puasson formulasi.
  

Bitiruv malakaviy ishida garmonik funksiyalarning quyidagi integral tasvir o’rinli ekanligi keltrilib chiqarildi: