O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§1. 
XB
AX
=
  tenglama 
 
Bizga quyidagi matritsali tenglama berilgan bo’lsin:  
XB
AX
=
                                                
 (6.1) 
bu yerda   
n
l
k
kl
m
j
i
ij
b
B
a
A
1
,
1
,
,
=
=
=
=
, 
jk
x
X
=
, 
)
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
(
n
k
m
j
=
=
 
 
A
  va 
B
  matritsalarning  kompleks sonlar maydonidagi elementar 
bo’luvchilarini yozib chiqamiz: 
(
) (
)
(
) (
)
m
p
p
p
A
u
p
u
p
p
u
=
+
+
+
−
−
−
...
,
,...,
,
:
)
(
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
 
(
) (
)
(
) (
)
n
q
q
q
B
u
q
v
q
q
v
=
+
+
+
−
−
−
...
,
,...,
,
:
)
(
2
1
2
1
2
1
µ
λ
µ
λ
µ
λ
 
 
Bu elementlar bo’luvchilarga mos holda 
A
  va 
B
  matritsalarni 
quyidagicha Jordanning normal ko’rinishiga keltiramiz: 
1
~
−
=
U
A
U
A
,  
1
~
−
=
V
B
V
B
                                                            (6.2) 
bu yerda 
U
  va 
V
 lar mos ravishda 
m
 va 
n
 tartibli, xosmas kvadrat matritsalar, 
A
~
  va 
B
~
  quyidagicha Jordan ko’rinishidagi matritsalar: 
{
}
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
,...,
,
2
2
1
1
u
u
p
p
u
p
p
p
p
H
E
H
E
H
E
A
+
+
+
=
λ
λ
λ
, 
{
}
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
,...,
,
2
2
1
1
v
v
q
q
u
q
q
q
q
H
E
H
E
H
E
B
+
+
+
=
µ
µ
µ
.                 (6.3) 
(6.2) ni (6.1) ga qo’yib, 
1
1
~
~
−
−
=
V
B
XV
X
U
A
U
 
ni hosil qilamiz. Bu tenglikni chapdan 
1
−
U
 ga o’ngdan 
V
 ga ko’paytirib,  
XVB
U
XV
AU
1
1
−
−
=
                                             (6.4) 
tenglikni hosil qilamiz. Izlanayotgan 
X
 matritsa o’rniga  
XV
U
X
1
~
−
=
                                                          (6.5) 
matritsani kiritib, (6.4) ni quyidagicha yozamiz: 
B
X
X
A
~
~
~
~
=
                                                              (6.6) 
 
 

 
135 
Biz (6.1) matritsali tenglamani xuddi shunday ko’rinishdagi (6.6) tenglama bilan 
almashtirdik, ammo (6.6) dagi berilgan matritsalar Jordanning normal 
ko’rinishiga ega. 
 
 
X
~
 matritsani bloklarga ajratamiz: 
( )
(
)
v
u
X
X
,
,
3
,
2
,
1
;
,
,
3
,
2
,
1
~


=
=
=
β
α
αβ
 
bu yerda 
β
α
αβ
xq
p
X
−
 o’lchovli to’g’ri to’rtburchakli matritsa. 
Blok matritsani kvazidiogonal matritsaga ko’paytirish  qoidasidan 
foydalanib, (6.6) tenglamaning chap va o’ng tomonlarida ko’paytirish  amalini 
bajaramiz. Natijada bu tenglama 
v
u
⋅
  ta matrissali tenglamalarga ajraladi: 
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
.
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
,
v
u
H
E
X
X
H
E
q
q
p
p


=
=
+
=
+
β
α
µ
λ
β
β
α
α
β
αβ
αβ
α
 
Bularni quyidagicha yozamiz: 
(
)
(
)
v
u
G
X
X
H
X
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1


=
=
−
=
−
β
α
λ
µ
β
αβ
αβ
α
αβ
α
β
           (6.7) 
bu yerda  
( )
( )
(
)
v
u
H
G
H
H
q
p
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
,
,


=
=
=
=
β
α
β
α
β
α
                  (6.8) 
(6.7) tenglamalardan birini olib qaraymiz. Bunda 2 xol bo’lishi mumkin. 
 
1. 
β
α
µ
λ
≠
. (6.7) ning ikkala tomonini 
α
β
λ
µ
−
  ga ko’paytirib,o’ng 
tomonidagi har bir hadda 
αβ
α
β
λ
µ
X
)
(
−
 
ko’paytuvchini 
β
αβ
αβ
α
G
X
X
H
−
  bilan 
almashtiramiz.Bu jarayonni 
1
−
r
  marta takrorlab, quyidagi tenglamani hosil 
qilamiz: 
( )
∑
=
+
−
=
−
r
r
G
X
H
X
τ
σ
τ
β
αβ
σ
α
τ
αβ
α
β
λ
µ
1
)
(
                  
(6.9) 
(6.8) ga asosan  
0
=
=
β
α
β
α
q
p
G
H
                       
 
 
(6.10) 
Agar (6.9) da 
1
−
+
>
p
q
p
r
α
 deb olsak, u holda (6.9) ning o’ng tomonidagi 
yig’indining  har  bir  hadida  
α
α
σ
q
r
p
≥
≥
,
 

 
136 
munosabatlarning    hech bo’lmaganda bittasi bajarilib, (6.10) ga asosan 
0
=
σ
α
H
 
yoki 
0
=
τ
β
G
 bo’ladi. Bundan  
α
β
λ
µ
≠
 bo’lgani uchun quyidagini topamiz: 
0
=
αβ
X
             
 
 
 
 
 (6.11)      
 
2. 
β
α
µ
λ
=
. Bu holda (6.7) dan quyidagi hosil bo’ladi: 
β
αβ
αβ
α
G
X
X
H
=
                
 
 
 (6.12) 
 
α
H
  va 
β
G
  matritsalarning diogonal ostidagi birinchi elementlari birga 
teng bo’lib, qolgan barcha elementlari nollardan iborat. 
α
H
va 
β
G
  matritsalar 
strukturasining bu spetsifikasini hisobga olib, 
(
)
β
α
αβ
ξ
q
k
p
i
X
ik
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1


=
=
=
 
deb olib, (6.12) matritsali tenglamani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi skalyar 
munosabatlar sistemasi bilan almashtiramiz: 
(
)
β
α
α
ξ
ξ
ξ
ξ
q
k
p
i
p
i
k
i
k
i
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
;
0
0
1
,
,
1


=
=
=
=
=
−
+
             (6.13) 
(6.13) tengliklar quyidagini bildiradi.  
1)
αβ
X
matritsaning diogonaliga paralel bo’lgan chiziqqa o’zaro teng 
elementlar yotadi.  
2) 
0
1
2
1
31
21
=
=
=
=
=
=
=
−
β
α
α
α
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
q
p
p
p


    
β
α
q
p
=
    bo’lsin . Bu holda     
αβ
X
   kvadrat  matritsa bo’lib u   1) va  2)  
shartga ko’ra quyidagicha bo’ladi : 
                   
(
)
α
α
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
p
p
T
c
c
c
c
c
c
X
=
=
−
0
...
0
...
...
...
.
...
...
...
.
...
0
...
'
1
'
    
          
 
  (6.14) 
bu yerda 
αβ
c
 , 
αβ
c′
 , ... , 
( )
α
αβ
p
c
  -ixtiyoriy parametrlar . 
β
α
q
p
<
   da  









Τ
=
−
α
α
β
αβ
p
p
q
X
,
0
                  
 
 
 
(6.15) 
bo’lib , 
β
α
q
p
>
     da  esa, 

 
137 
                                
}






−
Τ
=
ta
q
p
X
p
β
α
αβ
α
0
                   
                         (6.16) 
(6.14), (6.15) va (6.16)  matritsalar    to’g’ri yuqori uchburchak fo’rmaga 
ega deyiladi.
αβ
X
dagi ixtiyoriy parametrlar soni 
a
p
va 
β
q
 sonlarning kichigiga 
teng.  Quyida keltirilgan sxema 
αβ
X
  matritsani 
β
α
µ
λ
=
dagi  strukturasini 
ko’rsatadi, (bu yerda ixtiyoriy parametrlar a,b,c,d orqali belgilangan) : 
a
b
a
c
b
a
d
c
b
a
X
0
0
0
0
0
0
=
αβ
,    
(
)
4
=
=
α
α
q
p
,  
 
a
b
c
a
b
a
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
αβ
’   
(
)
5
,
3
=
=
α
α
q
p
, 
                                  
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
b
a
c
b
a
X
=
αβ
,          
(
)
3
,
5
=
=
α
α
q
p
. 
X
~
  matritsadagi ixtiyoriy parametrlar sonini aniqlash  uchun 
( )
λ
αβ
d
  bilan 
(
)
α
λ
λ
p
0
−
  va 
(
)
β
µ
λ
q
−
  elementar bo’luvchilarning eng katta bo’luvchisini, 
αβ
δ
  
bilan esa 
( )
λ
αβ
d
  ko’phadning darajasini belgilaymiz. 
β
α
µ
λ
≠
  holda 
0
=
αβ
δ
, 
β
α
µ
λ
=
 xolda esa,  
(
)
β
α
αβ
δ
q
p
,
min
=
 bo’ladi. Shunday qilib, xar ikkala xolda ham 
αβ
X
  dagi ixtiyoriy parametrlar soni 
αβ
δ
  ga teng bo’lib, 
X
~
  dagi ixtiyoriy 
parametrlar soni quyidagi formula bilan aniqlanadi: 
∑∑
=
=
=
u
v
N
1
1
α
β
αβ
δ
 
 
Bu olingan natijalarni quyidagi teorema ko’rinishida ifodalash mumkin: 
 
Teorema 6.1.                 
xB
Ax
=
 , 
bu yerda  
( )
( )
( )
( )
{
}
1
1
1
1
,
,
...
,
~
1
1
−
−
=
+
+
=
=
=
U
H
E
H
E
U
U
A
U
a
A
u
n
p
p
n
p
p
m
k
i
ik
λ
λ
 
( )
( )
( )
( )
{
}
1
1
1
1
,
,
~
1
1
−
−
=
+
+
=
=
=
V
H
E
H
E
V
V
B
V
b
B
v
v
q
q
v
q
q
n
ik
ik
µ
µ

, 

 
138 
tenglamaning yechimi  
1
~
~
−
=
V
UX
X
B
A
             
 
 
 
(6.17) 
formula bilan berilib, 
B
X
X
A
X
B
A
~
~
~
~
~
~
=
−
 tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi va 
B
A
X
~
~
 quyidagicha bloklarga ajraladi: 
( )
β
α
αβ
αβ
xq
p
X
X
X
B
A
−
=
,
~
~
  o’lchovli matritsa    
(
)
v
u
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
=
=
β
α
  ,   
agar 
β
α
µ
λ
≠
   bo’lsa  ,  
0
=
αβ
X
 bo’lib, 
β
α
µ
λ
=
 da   
αβ
X
 ixtiyoriy to’g’ri yuqori 
uchburchak  matritsa bo’ladi.  
B
A
X
~
~
 shuningdek, 
X
 
N
ta ixtiyoriy 
n
c
c
c
,
...
,
,
2
1
parametrlar orqali chiziqli 
bog’lanadi, ya’ni 
                                    
i
n
i
i
X
C
X
∑
=
=
1
                                                (6.18) 
bu yerda 
                                    
∑∑
=
=
=
u
v
N
1
1
α
β
αβ
δ
,                                              (6.19)  
bu yerda 
(
)
α
α
αβ
λ
λ
δ
p
−
−
 va 
(
)
β
β
µ
λ
q
−
 larning eng katta umumiy bo’luvchisining 
darajasi. 
              Agar 
A
  va 
B
matritsalar umumiy xarakteristik songa ega bo’lmasa, u 
holda 
,
0
,
0
=
=
X
N
yani  (6.1) tenglama faqat 
0
=
X
 nolli yechimga ega bo’ladi.  
           (6.1)  matritsali tenglama 
n
m
•
  ta chiziqli bir jinsli tenglamalar 
sistemasiga ekvivalent bo’lib, 
)
,
...
,
2
,
1
;
,
...
,
2
,
1
(
n
k
m
j
x
jk
=
=
  noma’lumlar  
izlanayotgan 
X
 matritsaning  elementlari bo’ladi: 
                       
∑
∑
=
=
=
m
j
n
k
kk
ik
jk
ij
b
x
x
a
1
1
(
)
n
k
m
i
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
=
=
    (6.20)  
§ 2.
B
A
=
 bo’lgan hususiy hol. O’rin almashinuvchi matritsalar. 
(6.1) tenglamaning quyidagicha hususiy holini qaraymiz: 
xA
Ax
=
                               
 
 
 
(6.21) 
Bu yerda 
m
k
i
ik
a
A
1
,
=
=
  -berilgan, 
-izlanayotgan matritsa. Bu holda 
Frobenusning quyidagi masalasiga kelamiz:berilgan   matritsa bilan o’rin 
almashinuvchi bo’lgan barcha 
X
 matritsalarni aniqlang. 
n
k
i
ik
x
X
1
,
=
=
A

 
139 
A
 martisani quyidagicha Jordonning normal formasiga keltiramiz: 
{
}
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
,
,
~
1
1
−
−
+
+
=
=
U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
p
p
u
p
p
λ
λ

                       
(6.22) 
U  holda (6.17) formulada 
A
B
U
V
~
~
,
=
=
  deb olib, 
A
A
X
~
~
  ni 
A
X
~
  orqali belgilab, 
(6.21) tenglamaning barcha yechimlarini, ya’ni 
A
  matritsa o’rin almashinuvchi 
barcha matritsalarni quyidagicha ko’rinishda hosil qilamiz: 
1
~
−
=
U
UX
X
A
                         
 
 
 
(6.23) 
bu yerda 
A
X
~
  orqali 
A
~
matritsa  bilan o’rin almashinuvchi barcha martisalarni 
belgilangan .Avvalgi paragrfdagi kabi, 
A
X
~
 matritsa 
2
U
 blo’klarga ajraladi: 
( )
u
A
X
X
1
,
~
=
=
β
α
αβ
 
Bu ajralish 
A
~
  Jordan matritsani bloklarga ajralishiga mos bo’lib, 
αβ
X
  matritsa 
β
α
λ
λ
≠
 da nol matritsa, 
β
α
λ
λ
=
 da ixtiyoriy to’g’ri yuqori uchburchak matritsa 
bo’ladi. 
 Misol uchun 
A
 matritsaning elementar bo’luvchilari  
(
) (
) (
) (
)
2
2
2
3
1
4
1
,
,
,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
 
bo’lganda 
A
X
~
 matritsaning elementlarini yozamiz. 
 
Bu holda 
A
X
~
 matritsa quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi: 
 
z
w
t
r
s
r
v
m
p
m
q
p
m
n
k
n
l
k
n
e
f
e
g
f
e
a
b
a
c
b
a
d
c
b
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 
140 
a,b,c,d,e,f,g,h,k,l,m,p,q,r,s,t,w,z-ixtiyoriy parametrlar. 
A
X
~
  matritsadagi parametrlar soni  
∑
=
=
u
N
1
,
β
α
αβ
δ
  bo’lib, 
(
)
α
α
αβ
λ
λ
δ
p
−
  va 
(
)
β
β
λ
λ
q
−
    ko’phadning eng katta umumiy bo’luvchisining darajasini bildiradi. 
A
 
matritsaning 
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
,
,
,
,
1
2
1
=
=
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
n
t
t
i
i
i
i
i


 
invariant 
ko’phadlarni qaraymiz.  Bu  ko’phadlarning darajalarini mos ravishda 
0
1
2
1
=
=
>
≥
≥
≥
+


t
t
n
n
n
n
  lar orqali belgilaymiz. Ma’lumki, har bir invariant 
ko’phad    bir nechta o’zaro tub bo’lgan elementar bo’luvchilar ko’paytmasidan 
iborat bo’ladi, u holda 
N
 uchun formulani quyidagicha yozish mumkin: 
∑
=
=
t
j
g
gj
N
1
,
γ
                 
 
 
(6.24) 
bu yerda 
( )
λ
γ
g
gj
i
−
  va 
( )
λ
j
i
  ko’phadlar eng katta umumiy bo’luvchisining 
darajasi 
(
)
t
j
g
,
,
2
,
1
,

=
. Ammo 
( )
λ
g
i
  va 
( )
λ
j
i
  ko’phadlarning eng katta 
bo’luvchisi ularning biri bo’ladi, shuning uchun 
(
)
j
g
gj
n
n ,
min
=
γ
. Bundan 
quyidagini hosil qilamiz: 
(
)
t
n
t
n
n
N
1
2
3
2
1
−
+
+
+
=

 
N
  soni 
A
  matritsa bilan o’rin almashinuvch chiziqli bog’liq bo’lmagan 
matritsa soni bo’ladi. Biz quyidagi teoremaga keldik: 
 
Teorema  6.2. 
n
k
i
ik
a
A
1
,
=
=
  matritsa bilan o’rin almashinuvch bo’lgan, 
chiziqli bog’liqmas matritsalar soni quyidagi fo’rmula bilan aniqlanadi: 
(
)
t
n
t
n
n
N
1
2
3
2
1
−
+
+
+
=

                 
 
 
(6.25) 
bu yerda 
t
n
n
n
,
...
,
,
2
1
  -mos ravishda 
( ) ( )
( )
λ
λ
λ
t
i
i
i
,
,
,
2
1

  o’zgarmas bo’lmagan, 
A
 
matritsaning invariant ko’phadlari darajalari.  
t
n
n
n
n
+
+
+
=

2
1
            
 
 
 (6.26) 
(6.25) va (6.26) dan: 
,
n
≥
Ν
                
 
 
 
 
(6.27) 
bo’lib, tenglik belgisi 
1
=
t
  da, ya’ni 
A
  matritsaning barcha elementar 
bo’luvchilari juft-jufti bilan o’zaro tub bo’lganda bajariladi.  

 
141 
 
( )
λ
g
-
λ
  ning qandaydir ko’phadi bo’lsin. U holda 
( )
A
g
  matritsada 
A
 
matritsa  bilan    o’rin almashinuvchi bo’ladi. Teskari savol tug’iladi:Qanday 
holda ihtiyoriy matritsa 
A
  matritsa  bilan o’rin almashinuvchi bo’lib, 
A
 
matritsaning ko’phadi sifatida tasvirlanadi.Bu holda 
1
2
,
,
,
,
−
t
n
A
A
A
E

  chiziqli 
bog’liqmas matritsalar chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lgan matritsa 
A
 
matritsa bilan o’rin almashinuvchi bo’ladi. 
 
Qaralayotgan holda 
n
n
N
t
≤
=
 bo’lib, (6.27) ga asosan 
n
n
N
t
=
=
 ni hosil 
qilamiz. Shunday qilib, quyidagini hosil qildik. 
 
Natija.  A matritsa bilan o’rin almashinuvchi bo’lgan barcha matritsalar 
faqat va faqat 
  ya’ni A matritsaning barcha elementar bo’luvchilari juft-
jufti bilan o’zaro tub bo’lgandagina ular A matritsaning ko’phadi sifatida 
tasvirlanadi. 
 
Natija. 
A
  matritsa bilan  o’rin  almashinuvchi bo’lgan barcha matritsalar 
faqat va faqat shu holda, qachonki 
n
n
=
1
  ya’ni 
A
E
−
λ
  ning barcha elementar 
bo’luvchilari  o’zaro tub bo’lganda bitta va faqat bitta 
С
 matritsaning ko’phadi 
sifatida tasvirlanadi. Bu holda 
A
  matritsa  bilan o’rin almashinuvchi barcha 
matritsalar 
A
 matritsaning ko’phadi sifatida tasvirlanadi. 
 
Teorema 6.3. Agar ikki 
A
 va 
B
 matritsalar  o’rin almashinuvchi bo’lib, 
ularning biri, masalan, 
A
 quyidagicha kvazidiogonal ko’rinishga ega bo’lsa, 
),
,
(
2
1
A
A
A
=
                 
 
 
 (6.28) 
bu yerda 
1
A
  va
2
A
  umumiy harakteristik songa ega emas, u holda ikkinchi 
B
 
matritsa ham xuddi shunday kvazidiognal ko’rinishga ega bo’ladi: 
                                                   
(
)
2
1
B
B
B
=
               
 
 
    (6.29) 
Isboti. 
B
  matritsani (6.28) kvazidiognal ko’rinishga mos bloklarga 
ajratamiz: 
,
2
1






=
B
y
x
B
B
 
2
1
, B
B
 mos ravishda 
2
1
, A
A
 bilan  bir  hil  o’lchovli. 
BA
AB
=
 ekanligidan, quyidagi to’rta matritsali tengliklarni hosil qilamiz: 
n
n
=
1

 
142 
1.
1
1
1
1
A
B
B
A
=
,     2. 
2
1
xA
x
A
=
,    3. 
1
1
yA
y
A
=
,    4. 
2
2
2
2
A
B
B
A
=
;    (6.30) 
1
A
 va
2
A
 lar umumiy harakteristik songa ega bo’lmaganliklari uchun (6.30) dagi 
2. va 3. tenglamlar 
0
=
x
  va 
0
=
y
  yechimga ega. (6.30) ning 1. va 4. 
tengliklaridan 
1
A
va 
1
B
 , 
2
A
va 
2
B
 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi ekanligi 
kelib chiqadi. 
 
Teorema-6.3´.  Agar 
2
1
2
1
n
n
n
I
I
R
+
=
  bo’lib, 
1
1
n
I
  va 
2
2
n
I
  
A
-operatorga 
nisbatan    invariant qism fazolar bo’lsa va bu qism fazolar minimal ko’phadlar 
o’zaro tub bo’lsa, u holda bu 
1
1
n
I
  va 
2
2
n
I
qism fazolar 
A
-operator bilan o’rin 
almashinuvchi bo’lgan 
B
  ixtiyoriy chiziqli operatorga nisbatan ham invariant 
qism fazolar bo’ladi. 
 
Natija .  Oddiy strukturali o’rin almashinuvchi  matritsalarni bir vaqtda 
bitta o’xshash almashtirish bilan diogonal ko’rinishga keltirish mumkin.