O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§6. Hosmas matritsadan 
m
-darajali ildiz chiqarish. 
Quyidagi tenglamani qaraymiz: 
A
X
m
=
                                 
 
 
(6.54) 
bu yerda 
A
-berilgan, 
X
-izlanayotgan 
n
-tartibli  matritsalar, 
m
-butun musbat 
son. 
 
Bu paragrafda 
0
≠
A
  bo’lgan xolni qaraymiz. Bu holda A matritsaning 
barcha xarakteristik sonlari noldan farqli bo’ladi. 
A
 matritsaning elementa  bo’luvchilarini  
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
                        
(6.55) 

 
149 
lar orqali belgilab, 
A
 matritsani quyidagicha Jordan formasiga keltiramiz: 
1
1
1
1
1
)
,...,
(
~
−
−
+
+
=
=
U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
u
λ
λ
         
 
(6.56) 
 
Izlanayotgan 
X
  matritsaning xarakteristik sonlarini 
m
-darajali 
A
 
matritsaning xarakteristik soniga teng bo’lgani uchun 
X
  matritsaning 
xarakteristik sonlari ham noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun bu xarakteristik 
sonlarda 
m
f
λ
λ
=
)
(
  dan olingan hosila nolga aylanmaydi.Ammo bu holda  
X
 
matritsaning elementar bo’luvchilari 
X
  matritsani  
m
-darajaga ko’targanda 
yoyilmaydi. Bundan kelib chiqadiki,  
X
  matritsaning elementar bo’luvchilari 
quyidagilar bo’ladi: 
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1
ξ
λ
ξ
λ
ξ
λ
−
−
−
                                     (6.57) 
bu yerda  
j
m
j
λ
ξ
=
 
m
j
j
λ
ξ
=
)
,...,
2
,
1
(
n
j
=
. 
 
Endi 
m
j
j
j
H
E
+
λ
  ni quyidagicha aniqlaymiz. 
λ
-tekislikda markazi 
j
λ
nuqtada bo’lib, nolni o’z ichiga olmaydigan doira olamiz. Bu doirada  
m
λ
 
funksiyani 
m
ta ajralgan tarmoqlariga ega bo’lamiz. Bu tarmoqlarini doira 
markazida qabul qiladigan qiymatlariga qarab ajratish  mumkin. 
m
λ
bilan 
j
λ
 
nuqtada  izlanayotgan 
X
  matritsaning 
j
ξ
xarakteristik soni bilan ustma-ust 
tushadigan qiymatni qabul qiluvchi tarmoqni belgilaymiz va shu tarmoqdan 
kelib chiqib, quyidagi qator yordamida 
m
j
j
j
H
E
+
λ
  dan olingan funksiyani 
aniqlaymiz: 
...
1
1
1
!
2
1
1
2
2
1
0
1
1
0
1
0
+





 −
+
+
=
+
−
−
j
m
j
m
j
m
m
j
j
j
H
m
m
H
m
E
H
E
λ
λ
λ
λ
           (6.58) 
Qaralayotgan 
m
λ
 funksiyadan 
j
λ
 olingan hosila nolga teng emas, u holda 
(6.58) matritsa faqat bitta 
j
p
j
)
(
λ
λ −
 elementar bo’luvchiga ega bo’lib,  
m
j
j
λ
ξ
=
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j
=
. 
Bundan kelib chiqadiki,  
{
}
m
u
u
u
m
m
H
E
H
E
H
E
+
+
+
λ
λ
λ
,....,
,
2
2
2
1
1
1
            
kvazidioganal  matritsa  (6.57) , ya’ni izlanayotgan 
X
  matritsa  elementar 
bo’luvchilariga ega. Shuning uchun shunday T xosmas matritsa mavjudki, unda 

 
150 
{
}
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
−
+
+
+
=
T
H
E
H
E
H
E
T
X
m
u
u
u
m
m
λ
λ
λ
                 
(6.59) 
T  matritsani aniqlash  uchun 
λ
λ
=
m
m
)
(
  ayniyatdagi 
λ
  ning o’rniga 
j
j
j
H
E
+
λ
 , 
)
,...,
2
,
1
(
n
j
=
 ni qo’yib,  
j
j
j
m
m
j
j
j
H
E
H
E
+
=
+
λ
λ
)
(
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j
=
 ni hosil qilamiz.  
 
(6.54) va (6.59) dan quyidagi kelib chiqadi: 
{
}
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
−
+
+
+
=
T
H
E
H
E
H
E
T
A
u
u
u
λ
λ
λ
                     
(6.60) 
 
(6.56) va (6.60)  dan  quyidagini topamiz: 
A
UX
T
~
=
                                       
 
(6.61) 
bu yerda 
A
X
~
 - 
A
~
 matritsa bilan o’rin almashinuvchi, ixtiyoriy xosmas matritsa (
A
X
~
ning ifodasi  §2 da keltirilgan). 
 
(6.61) ni (6.59) ga qo’yib, (6.54) tenglamani barcha yechimlarini o’z 
ichiga oluvchi formulani hosil qilamiz: 
{
}
1
1
~
2
2
2
1
1
1
~
,....,
,
−
−
+
+
+
=
U
X
H
E
H
E
H
E
UX
X
A
m
u
u
u
m
m
A
λ
λ
λ
    (6.62) 
 
(6.54) tenglamaning barcha yechimlarini A matritsaning 
m
 darajali ildizi 
deb, 
m
A
  ko’pqiymatli simvol bilan belgilaymiz. 
m
A
  umumiy holda A 
matritsaning funksiyasi bo’lmaydi, ya’ni A ning ko’phadi ko’rinishida 
tasvirlanmaydi. 
 
Eslatma.Agar A matritsaning barcha elementar bo’luvchilari juft-jufti 
bilan o’zaro tub, ya’ni 
u
λ
λ
λ
,...,
2
1
  sonlar har xil bo’lsa, 
A
X
~
matritsa  quyidagicha 
kvazidiogonal ko’rinishga ega bo’ladi:  
{
}
u
A
X
X
X
X
,...,
,
2
1
~
=
 
bu yerda  
j
X
  matritsa 
j
j
j
H
E
+
λ
matritsa  bilan o’rin almashinuvchi, demak 
j
j
j
H
E
+
λ
  ning ixtiyoriy funksiyasi bilan, xususiy holda 
m
j
j
j
H
E
+
λ
  bilan o’rin 
almashinuvchi bo’ladi 
)
,...,
2
,
1
(
n
j
=
. Shuning uchun bu holda (6.62) quyidagicha 
bo’ladi: 
{
}
1
2
2
2
1
1
1
,....,
,
−
+
+
+
=
U
H
E
H
E
H
E
U
X
m
u
u
u
m
m
λ
λ
λ
 

 
151 
 
Shunday qilib, agar 
A
 matritsaning elementar bo’luvchilari juft-jufti bilan 
o’zaro tub bo’lsa, 
m
A
X
=
uchun formulada faqat diskret ko’pqiymatlilik bo’ladi. 
Bu holda ixtiyoriy 
m
A
 qiymatni 
A
 ning ko’phadi sifatida tasvirlash mumkin. 
 
Misol. Quyidagi matritsaning barcha kvadrat ildizlarini toping: 
1
0
0
0
1
0
0
1
1
=
A
,   
ya’ni 
A
X
=
2
  tenglamani barcha yechimlarini toping. 
 
Bu holda 
A
  matritsaning Jordonnning normal formasiga ega. Shuning 
uchun (6.62) da 
A
A
~
=
, 
E
U
=
  deb olish  mumkin 
A
X
~
  matritsa  quyidagi 
ko’rinishda bo’ladi:  
e
d
a
c
b
a
X
A
0
0
0
~
=
, 
bu yerda  
e
d
c
b
a
,
,
,
,
 -ixtiyoriy parametrlar. 
 
(6.62) formula quyidagi ko’rinishni oladi: 
 
           
𝑋𝑋 = �
𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑐𝑐
0 𝑣𝑣 0
0 𝑑𝑑 𝑒𝑒
�  �
𝜀𝜀
𝜀𝜀
2
0
0 𝜀𝜀 0
0 0 𝜂𝜂
�   �
𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑐𝑐
0 𝑣𝑣 0
0 𝑑𝑑 𝑒𝑒
�
−1
,    𝜀𝜀
2
= 𝜂𝜂
2
= 1      (6.63) 
X
  ni o’zgartirmay, (6.62) formulada 
A
X
~
  ni  shunday skalyarga 
ko’paytirish  mumkinki, unda 
1
~
=
A
X
  bo’ladi. Bu qaralayotgan holda   
1
2
=
e
a
 
tenglikka olib keladi, bundan 
2
−
= a
e
. 
 
𝑋𝑋
𝐴𝐴�
−1
  matritsaning elementlarini hisoblaymiz. Buning uchun 
A
X
~
 
koeffisiyentilaridan tuzilgan matritsani chiziqli almashtirishni yozamiz: 
3
2
1
1
cx
bx
ax
y
+
+
=
, 
2
2
ax
y
=
, 
3
2
2
3
x
a
dx
y
−
+
=
. 
Bu sistemani 
3
2
1
,
,
X
X
X
 ga nisbatan yechib, quiydagi teskari almashtirishni hosil 
qilamiz: 

 
152 
3
2
2
1
1
1
)
(
acy
y
cd
b
a
y
a
x
−
−
−
=
−
−
, 
                                            
2
1
2
y
a
x
−
=
, 
                                            
3
2
2
3
y
a
ady
x
+
−
=
. 
 
Bundan , 
2
1
2
1
1
2
1
~
0
0
0
0
0
0
a
ad
a
ac
b
a
cd
a
a
d
a
c
b
a
X
A
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
 
bo’lib, (6.63) dan 
                
η
η
ε
ε
ε
η
ε
η
ε
ε
η
η
ε
ε
ε
η
ε
η
ε
ε
w
v
vw
da
c
a
acd
X
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
1
2
−
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
,       (6.64) 
d
a
w
c
a
v
1
2
,
−
=
=
  
Demak, 
X
 yechim ikkita 
v
 va 
w
 ixtiyoriy parametrlar va ikkita 
ε
 va 
η
 ixtiyoriy 
belgilarga bog’liq. 
 
§7. Xos matritsadan 
m
-darajali ildiz chiqarish.  
 
Bu paragrafda 
0
=
A
 holni qaraymiz. 
 
Bu holda ham 
0
≠
A
 holdagi kabi 
A
 matritsani quyidagicha Jordonning 
normal formasiga keltiramiz: 
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
)
,...,
,
,
,...,
(
2
1
1
1
−
+
+
=
U
H
H
H
H
E
H
E
U
A
t
u
u
q
q
q
p
p
u
p
p
λ
λ
,            (6.65) 
bu yerda 
u
p
u
p
)
(
,....,
)
(
1
1
λ
λ
λ
λ
−
−
-
A
 matritsaning nolmas xarakteristik sonlariga 
mos elementar bo’luvchilari, 
t
q
q
q
λ
λ
λ
,...,
,
2
1
 esa nolli xarakteristik sonlarga mos 
elementar bo’luvchilari. 
 
U holda  
{
}
1
2
1
,
−
=
U
A
A
U
A
                                             
(6.66) 
bu yerda 
{
}
{
}
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
`(
)
(
)
(
1
1
,...,
,
;
,...,
2
1
1
1
t
u
u
q
q
q
p
p
u
p
p
H
H
H
A
H
E
H
E
A
=
+
+
=
λ
λ
  
(6.67) 

 
153 
ko’rinib turibdiki, 
1
A
-xosmas matritsa, ya’ni 
0
1
≠
A
, 
2
A
esa nilpotentlik indeksi  
(
)
t
q
q
q
,...,
,
max
2
1
=
µ
 bo’lgan nilpotent matritsa, ya’ni 
0
2
=
µ
A
. 
 
Berilgan (6.54) tenglamadan kelib chiqadiki, 
A
 matritsa izlanayotgan 
X
 
matritsa bilan o’rin almashinuvchi, demak, unga o’xshash bo’lgan quyidagi 
matritsalar bilan ham o’rin almashinuvchi: 
{
}
2
1
1
, A
A
AU
U
=
−
 va 
XU
U
1
−
          
 
(6.68) 
 
§2 dagi teorema  6.3 da isbotlanganidek, (6.68)  matritsalarning o’rin 
almashinuvchanligidan va 
1
A
 va 
2
A
 matritsalarni  umumiy xarakteristik sonlarga 
ega emasligidan kelib chiqadiki, (6.68) ning ikkinchi matritsasi mos ravishda 
kvazidiogonal formaga ega 
{
}
2
1
1
, X
X
XU
U
=
−
                 
 
 (6.69). 
 
(6.54) tenglamadagi 
A
 va 
X
 matritsalarni ularga o’xshash bo’lgan  
{
}
2
1
, A
A
  va 
{
}
2
1
, X
X
 
matritsalar bilan almashtirib, (6.54) tenglamani quyidagi ikkita tenglama bilan 
almashtiramiz:  
1
1
A
X
m
=
, 
 
 
 
             (6.70) 
 
2
2
A
X
m
=
  
 
 
 
             (6.71) 
0
1
≠
A
 bo’lgani uchun (6.70) tenglamaga avvali paragrafdagi natijalarni qo’llab, 
1
X
 ni (6.62) formula bo’yicha topamiz: 
{
}
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
1
,....,
−
+
+
=
A
m
p
p
u
m
p
p
A
X
H
E
H
E
X
X
u
u
λ
λ
       
(6.72) 
 
Shunday qilib, (6.71) tenglamani qarash qoldi, ya’ni 
{
}
)
(
)
(
)
(
2
,...,
,
2
1
t
q
q
q
H
H
H
A
=
                                   (6.73) 
Jordonning normal formasiga ega bo’lgan , 
)
,...,
,
max(
2
1
t
q
q
q
=
µ
  nilpotentlik 
indeksili 
2
A
  nilpotentlik  matritsaning 
m
-darajali barcha ildizlarini tanish  bilan 
shug’ullanamiz. 
0
2
=
µ
A
 va (6.71) dan  
0
2
=
µ
m
X
 

 
154 
 
Bu oxirgi tenglikdan ko’rinadiki, 
2
X
 izlanayotgan matritsa Y nilpotentlik 
indeksli  nilpotent  matritsa  bo’lib,   
(
)
µ
µ
m
Y
m
≤
≤
−1
. 
2
X
  matritsani Jordon 
formasiga o’tkazamiz: 
{
}
1
)
(
)
(
)
(
2
,...,
,
2
1
−
=
T
H
H
H
T
X
t
v
v
v
,                        
(6.74) 
)
,...,
,
(
2
1
y
v
v
v
s
≤
. 
(6.74) tenglikni ikkala tomonini 
m
-darajaga ko’tarib, quyidagini hosil qilamiz: 
{
}
1
)
(
)
(
)
(
2
2
]
[
,...,
]
[
,
]
[
2
1
−
=
=
T
H
H
H
T
X
A
m
v
m
v
m
v
m
t
            
(6.75) 
 
m
v
H
]
[
)
(
  matritsa  qanday elementar bo’luvchilarga ega ekanligini 
aniqlaymiz. 
v
e
e
e
H
,...,
,
2
1
−
  bazisli 
v
-o’chovli vektor fazodagi 
)
(v
H
matritsali chiziqli 
operator bo’lsin. 
)
(v
H
matritsaning ko’rinishinidan kelib chiqadiki, 
1
1
2
1
,...,
,
0
−
=
=
=
v
v
e
e
H
e
e
H
e
H
                                          
(6.76) 
 
Bu tengliklar ko’rsatadiki, 
H
operator uchun 
v
e
e
e
,...,
,
2
1
  vektorlar 
v
λ
 
elementar bo’luvchiga mos Jordancha vektorlar zanjirini tashkil qiladi. 
 
(6.76) tengliklarni quyidagicha yozamiz: 
1
−
=
j
j
e
e
H
  
)
0
,
,...,
2
,
1
(
0
=
=
e
v
j
. 
 
Bundab ko’rinadiki,  
m
j
j
m
e
e
H
−
=
  
)
0
...
,
,...,
2
,
1
(
1
1
0
=
=
=
=
=
+
−m
e
e
e
v
j
           
(6.77) 
v
 sonini quyidagicha yozamiz: 
)
(
m
r
r
km
v
<
+
=
, 
bu yerda  k, r  butun manfiymas sonlar.  
v
e
e
e
,...,
,
2
1
 bazis vektorlarni quyidagicha 
joylashtiramiz: 
x
km
km
km
km
m
k
m
k
m
m
m
m
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
+
+
+
+
−
+
−
+
+








2
1
2
)
1
(
1
)
1
(
2
2
1
2
1
                                             (6.78) 
 
Bu jadvalda 
m
 ta ustun bo’lib, birinchi 
r
 ta ustunda 
1
+
k
 ta vektor, qolgan 
ustunlarda 
k
 ta vektorlar bor. (6.77) tengliklardan ko’rinadiki (6.78) jadvalning 

 
155 
har bir ustunidagi vektorlar sistemasi 
m
H
operatorga nisbatan vektorlarning 
Jordan  zanjirini tashkil etadi. Agar (6.78) dagi vektorlarni satrlar bo’yicha 
ketma-ket nomerlanishini ustunlar bo’yicha qilib olsak, u holda hosil qilingan 
yangi bazisda 
m
H
 operatorning matritsasi quyidagicha normal Jordan formasiga 
ega bo’ladi: 








−
+
+






 

 

ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
H
H
H
H
)
(
)
(
1
)
1
(
,...,
,
,...,
, 
bundan,  
{
}
1
,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
,
)
(
,...,
,
,...,
]
[
−
+
+
=
m
v
k
k
k
k
m
v
m
v
P
H
H
H
H
P
H
,      
(6.79) 
bu yerda bir bazisdan boshqa bazisga o’tish matritsasi 
m
v
P
,
quyidagi ko’rinishda 
bo’ladi: 
.
..........
..........
..........
0
...
1
0
0
...
0
0
....
..........
..
...
..
.......
1
0
...
0
0
.......
0
0
...
0
1
,



ta
m
m
v
P
=
                                  
(6.80)  
 
v
H
 matritsa bitta 
v
λ
 elementar bo’luvchiga ega bo’lib, 
v
H
 ni 
m
-darajaga 
ko’targanda bu elementar bo’luvchi deyiladi.(6.79) dan ko’rinadiki 
m
v
H
]
[
)
(
 
matritsa quyidagi elementar bo’luvchilarga ega: 








−
+
+








ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
)
(
)
(
1
)
1
(
,...,
,
,...,
λ
λ
λ
λ
 
 
Endi (6.75) tenglikka qaytib,  
i
i
i
r
m
k
v
+
=
, 
)
,...,
2
,
1
,
0
,
0
(
s
i
k
m
r
i
i
=
>
<
≤
                       (6.81) 
deb olamiz. 
U holda (6.79) ga asosan (6.75) ni quyidagicha yozamiz: 
1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
−
−
−
+
+
−
+
+








=
=
T
P
H
H
H
H
H
H
H
H
TP
X
A
ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
ta
r
m
k
k
ta
r
k
k
m

 

 


 

 


 

 


 

 

    (6.82) 
bu yerda 
}
,...,
,
{
,
,
,
2
1
m
v
m
v
m
v
s
P
P
P
P
=
 . 

 
156 
 
(6.82) ni (6.73) bilan solishtirib, ko’ramizki, 
...
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
2
2
2
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
H
H
H
H
H
H
H
H
+
+
+
+
         (6.83) 
kataklar tartibigacha aniqlikda  
)
(
)
(
)
(
,...,
,
2
1
t
q
q
q
H
H
H
                                                                   (6.84) 
kataklar bilan ustma-ust tushishi kerak. 
  
3
2
1
,...,
,
v
v
v
λ
λ
λ
  elementar bo’luvchilarni  
2
X
  uchun mumkin bo’lgan deb 
aytamiz, agarda matritsani 
m
-darajaga ko’targandan co’ng bu elementar 
bo’luvchilar yoyilib, 
2
A
  matritsaning berilgan 
t
q
q
q
λ
λ
λ
,...,
,
2
1
  elementar 
bo’luvchilari sistemasini yuzaga keltirsa. Elementar bo’luvchilarning mumkin 
bo’lgan sistemasi soni har doim chekli bo’ladi, chunki 
µ
m
v
v
v
≤
)
,...,
,
max(
3
2
1
, 
2
3
2
1
...
n
v
v
v
=
+
+
+
,                        (6.85) 
bu yerda 
2
n
-
2
A
 matritsaning (darajasi) tartibi. 
 
Har bir mumkin bo’lgan elementar bo’luvchilar sistemasi 
3
2
1
,...,
,
v
v
v
λ
λ
λ
 
uchun (6.71) tenglamaning mos yechimi mavjud ekanligini ko’rsatamiz va bu 
yechimlarni aniqlaymiz . Bu  holda shunday almashtiruvchi 
Q
  matritsa 
mavjudki, unda  
Q
A
Q
H
H
H
H
H
H
H
H
k
k
k
k
k
k
k
k
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
...}
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
{
2
2
2
2
1
1
1
1
−
+
+
+
+
=
     (6.86) 
 
Q
  matritsa kvazidiogonal matritsadagi kataklarning o’rin almashinishini 
amalga oshiradi. Shuning uchun 
Q
  matritsani ma’lum deb xisoblaymiz. (6.86) 
ga asosan (6.82) dan quyidagini hosil qilamiz: 
1
1
2
1
2
−
−
−
=
T
QP
A
TPQ
A
. 
 
Bundan,                         
2
1
A
X
TPQ
=
−
 
yoki                                         
1
2
−
=
QP
X
T
A
                    
 
 
        (6.87) 
bu yerda  
2
A
X
-
2
A
 matritsa bilan o’rin almashinuvchi ixtiyoriy matritsa. 
 
(6.87) ni (6.74) ga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz: 
1
1
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
1
2
}
,....,
,
{
−
−
−
=
A
v
v
v
A
X
PQ
H
H
H
QP
X
X
s
                      
(6.88) 
 
(6.69), (6.72) va (6.88) dan barcha izlangan yechimlarni o’zida saqlovchi 
umumiy formulani hosil qilamiz: 

 
157 
{
}
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
1
2
1
2
1
,...,
,
,....,
}
,
{
−
−
−
−
−
+
+
=
U
X
PQ
X
H
H
H
E
H
E
QP
X
X
U
X
A
s
A
v
v
m
p
p
u
m
p
p
A
A
s
u
u
λ
λ
                 
(6.89)
 
 
Shuni aytib o’tish  kerakki, xos matritsaning 
m
-darajali ildizi har doim 
ham mavjud bo’lavermaydi. Uni mavjudligi 
2
X
 matritsa uchun mumkin bo’lgan 
elementar bo’luvchilar sistemasini mavjudligiga bog’liq. 
 
Tekshirib ko’rish mumkinki,  
)
( p
m
H
X
=
 
tenglama 
1
,
1
>
> p
m
 da yechimga ega emas. 
Misol.                                         
0
0
0
0
0
0
0
1
0
=
A
    
matritsani kvadrat ildizdan chiqaring, ya’ni  
A
X
=
2
 
tenglamani barcha yechimlarini toping. 
Bu holda 
2
2
,
X
X
A
A
=
=
, 
1
,
2
,
2
,
2
2
1
=
=
=
=
q
q
t
m
.X  matritsa  faqat bitta 
3
λ
elementar bo’luvchiga ega 
bo’lishi mimkin. Shuning uchun 
1
,
1
,
3
,
1
1
1
1
=
=
=
=
r
k
v
s
 va  
E
Q
P
P
P
=
=
=
=
−
,
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
2
,
3
 
Bundan tashqari, avvalgi misoldagi kabi (6.88) formulada 
,
0
0
0
2
2
−
=
a
d
a
c
b
a
X
A
2
1
2
1
1
~
0
0
0
a
ad
a
ac
b
a
cd
a
X
A
−
−
−
=
−
−
−
−
 
deb olish mumkin. 
Bu formuladan quyidagini hosil qilamiz: 
,
0
0
0
0
0
0
1
1
)
3
(
)
1
(
2
2
2
2
−
−
=
=
=
=
β
β
α
A
A
A
PX
H
P
X
X
X
X
 
bu yerda  
d
a
ca
2
1
−
−
=
−
α
  va 
3
a
=
β
-ixtiyoriy parametrlar. 

 
158