O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§3. Lagranj metodi. 
 Kvadratik  formani  kvadratlar  yig’indisiga  keltirishning  Lagranj 
metodini  qarab chiqamiz.  
Quyidagi kvadratik forma berilgan bo’lsin   
∑
=
=
n
k
i
k
i
ik
Т
x
x
a
Ax
х
1
,
 
Quyidagi ikkita xolni qaraymiz: 
1). Qandaydir g 
(1≤g ≤n) uchun  diogonal  koeffitsent  𝑣𝑣
𝑔𝑔𝑔𝑔
≠ 0. U holda  
                                            
x
A
x
x
a
a
Ax
x
Т
n
k
k
gk
gg
Т
1
2
1
1
+






=
∑
=
                      (7.13) 
deb  olib,  bevosita  tekshirib  ko’rishimiz  mumkinki,  
x
A
x
t
1
  kvadratik  forma  
𝑥𝑥
𝑔𝑔
 o’zgaruvchini  o’zida saqlamaydi.  Bu usul  kvadratik  formadan  kvadratlarni  
ajratib olish usuli  deyilib, A  matritsaning   dioganal  elementlari noldan farqli  
bo’lganda, har doim uni  qo’llash mumkin. 
2). 
0
=
gg
a
,  
0
=
hh
a
,  
,
0
≠
gh
a
  Bu  holda  (7.1)  ni  quyidagicha 
o’zgartiramiz: 
            
x
A
x
x
a
a
a
x
a
a
a
Ax
x
T
n
k
k
hk
gk
hg
n
k
k
hk
gk
hg
T
2
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
+






−
−






+
=
∑
∑
=
=
        (7.14) 
Quyidagi  
∑
=
n
k
k
gk
x
a
1
,      
,
1
∑
=
n
k
k
hk
x
a
 
formalar  chiziqli  bog’liq  emas,  chunki  birinchisi  
h
x
  ni  o’zida  saqlab, 
𝑥𝑥
𝑔𝑔
ni 
saqlamaydi,  ikkinchisi  esa 
𝑥𝑥
𝑔𝑔
  ni  o’zida  saqlab, 
𝑥𝑥
ℎ
  ni  saqlamaydi.  Shuning 
uchun  (7.14)  ga kvadrat  qavslardagi  formalar chiziqli bog’liq emas. 
 Shunday  qilib,  
Ax
x
Т
  kvadratik  formadan  ikkita  chiziqli  bog’liq 
bo’lmagan  kvadratlarni  ajratib  oldik.  Bu  kvadratlarning  har  biri 
𝑥𝑥
𝑔𝑔
va 
n
x
 
o’zgaruvchilarni  o’zida  saqlaydi,  
x
A
x
Т
2
  forma  esa  bu  o’zgaruvchilarni 
o’zida saqlamaydi.  

 
168 
   Bu usulni ketma-ket qo’llab,  
Ax
x
Т
ni kvadratlar yig’indisiga  keltirish 
mumkin. 
(7.13)  va  (7.14)  formulalarni  mos  ravishda  quyidagicha  ham  yozish 
mumkin. 
                               
x
A
x
x
Ax
x
a
Ax
x
Т
g
Т
gg
Т
1
2
)
(
4
1
+








∂
∂
=
                                  
(7. 13
′
)   
(
1
13
.
1
) 
x
A
x
x
Ax
x
x
Ax
x
x
Ax
x
x
Ax
x
a
Ax
x
T
h
Т
g
Т
h
Т
g
Т
gh
Т
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
8
1
+
















∂
∂
−
∂
∂
−








∂
∂
+
∂
∂
=
        
(7. 14
′
) 
Misol 7.1  Quyidagi  kvadratik  formani  kvadratlar yig’indisi ko’rinishida 
ifodalang: 
4
3
3
2
4
1
3
1
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ay
x
T
−
+
+
−
−
+
+
+
=
   
Avval
 (7. 13
′
)    formulani  qo’llaymiz. (g=1) 
4
3
2
1
1
4
4
4
8
)
(
x
x
x
x
x
Ay
x
T
+
−
−
=
∂
∂
 
x
A
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
Ax
x
T
T
T
1
2
4
3
2
1
1
2
4
3
2
1
)
2
(
)
4
4
4
8
(
16
1
+
+
−
−
=
+
+
−
−
=
 
  bu yerda  
4
3
4
2
3
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
A
x
T
−
+
=
. 
Bu 
formaga 
(7. 14
′
) 
formulani 
qo’llaymiz: 
)
3
,
2
(
=
=
h
g
 
x
A
x
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
x
x
A
x
T
T
T
2
2
4
2
3
2
3
2
2
2
4
2
3
2
3
2
1
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
4
2
2
(
8
1
)
2
2
(
8
1
+
+
−
−
+
=
+
+
−
−
+
=
bu yerda  
2
4
2
2x
x
A
x
T
=
. 
Demak,  
2
4
2
4
2
3
2
3
2
2
4
3
2
1
2
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
T
+
+
−
−
+
+
+
−
−
=
 
bo’lib,   r=4, 
𝜎𝜎=2, 
,
3
=
π
  
𝛾𝛾 =1    bo’ladi. 
 
 
 
 

 
169 
§4. Yakobi  formulasi 
(7.1)  kvadratik  formaning  rangini  r  bilan  belgilab,  A  matritsaning  k-
tartibli minoralarini 
                      
,
0
...
2
1
...
2
1
≠






=
k
k
A
D
k
 k=1,2…,r                                  (7.15) 
deb  olamiz.  Bundan, 
0
1
11
≠
= D
a
  bo’ladi,  u  holda  Lagranj  metodi  yordamida   
Ax
x
Т
 formadan bitta kvadrat  ajratib, quyidagini hosil qilamiz: 
                               
,
)
...
(
1
1
2
1
2
12
1
11
11
x
A
x
x
a
x
a
x
a
a
Ax
x
Т
n
n
Т
+
+
+
=
                      (7.16) 
bu yerda  
                            
∑
=
=
n
k
i
k
i
ik
Т
x
x
a
x
A
x
2
,
,
)
1
(
1
 
,
)
1
(
,
)
1
(
i
k
ik
a
a
=
 
n
k
i
,...,
2
,
1
,
=
               (7.17) 
1
x
 o’zgaruvchini o’zida saqlamaydi. (7.16) tenglikdan  kelib chiqadiki, 
x
A
x
Т
1
 
ning koeffitsientlari 
                             
,
11
1
1
,
)
1
(
,
a
a
a
a
a
k
i
k
i
k
i
−
=
n
k
i
,...,
2
,
1
,
=
                                    (7.18) 
formulalar  bilan  aniqlanadi.  U  holda  bu  koeffitsientlar  quyidagi  matritsaning  
mos elementlari bilan ustma-ust tushadi: 














=
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
22
1
12
11
1
...
0
.......
..........
..........
...
0
...
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
G
 
Bu matritsa esa A matritsaga  Gauss usulining  birinchi bosqichini qo’llab hosil 
qilingan. 
        Shunday  qilib,  Lagranj  metodi  bo’yicha  bitta  kvadrat  ajratish  jarayoni  
mazmun    jihatidan  Gauss  algoritmining  birinchi  bosqichi  bilan  ustma-ust 
tushadi.  Ikkinchi kvadratni  ajratib olish uchun  Gauss  algoritmining ikkinchi 
bosqichini bajarish  kerak bo’ladi va hokazo. 
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(
=
=
  simmetrik  matritsaga  r  ta  bosqichdan  iborat  bo’lgan 
Gauss  algoritmini  to’la qo’llab, quyidagi  matritsani  hosil qilamiz: 

 
170 
























=
−
−
+
−
+
+
0
...
0
0
...
0
0
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
0
...
0
0
...
0
0
...
...
0
0
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
...
0
...
...
)
1
(
)
1
(
1
,
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
)
1
(
22
)
1
(
22
1
1
1
1
12
11
r
rn
r
r
r
r
rr
n
r
n
r
r
r
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
G
 
Bunga mos  holda  
Ax
x
Т
  kvadratik  forma  quyidagicha  kvadratlar  yig’indisi  
ko’rinishida ifodalanadi: 
                                     
,
)
...
(
1
2
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
n
k
kn
k
k
kk
r
k
k
kk
Т
x
a
x
a
a
Ax
x
−
−
=
−
+
+
=
∑
                    (7.19) 
                                     
(
)
n
j
a
a
j
j
,...,
2
,
1
,
1
)
0
(
1
=
=
 
O’zaro bog’liq bo’lmagan chiziqli formalar uchun  
                                   
)
,...,
2
,
1
(
...
,
1
)
0
(
1
)
1
(
)
1
(
r
k
a
a
x
a
x
a
X
k
k
n
k
kn
k
k
kk
k
=
=
+
+
=
−
−
           (7.20) 
qisqa belgilashlar kiritamiz. 
                                
11
)
0
(
0
1
)
1
(
,
1
;
,...,
2
,
1
,
a
a
D
r
k
D
D
a
k
k
k
k
kk
=
=
=
=
−
−
                     (7.21) 
 ekanligini e’tiborga olsak, (7.19) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: 
                                
2
1
1
k
k
k
r
k
Т
X
D
D
Ax
x
−
=
∑
=
  
)
1
(
0
=
D
                                   (7.22) 
Bu formulalar Yakobi formulalari deyiladi.  
Yakobi  formulalaridagi  
k
X
  chiziqli  formalar  koeffitsientlari  uchun 
quyidagi tengliklar o’rinli: 
                                
r
k
k
k
A
q
k
k
k
A
a
k
q
k
,...,
2
,
1
,
1
...
1
1
...
1
1
...
1
1
...
1
)
1
(
=






−
−






−
−
=
−
−
                                    (7.23) 
)
,...,
2
,
1
(
r
k
X
k
=
   lar o’rniga 
                                
k
k
k
X
D
Y
1
−
=
  
)
1
;
,...,
2
,
1
(
0
=
=
D
r
k
                           (7.24) 

 
171 
chiziqli  bog’liq bo’lmagan formalarni    kiritib, Yakobi formulalarini  quyidagi-
cha yozish mumkin: 
                                           
k
k
k
r
k
Т
D
D
Y
Ax
x
1
1
−
=
∑
=
                                               (7.25) 
Bu yerda   
                    
,
,...,
2
,
1
,
...
1
1
,
r
k
x
C
X
C
x
C
Y
n
kn
k
k
k
k
kk
k
=
+
+
+
=
+
+
                     (7.26) 
                    
)
,...,
2
,
1
;
,...,
1
,
(
,
1
...
2
1
1
...
2
1
r
k
n
k
k
q
q
k
k
k
A
C
kq
=
+
=






−
−
=
              (7.27) 
(7.25)  –  Yakobi  formulalaridan  quyidagi  teoremaning  o’rinli  ekanligi 
kelib chiqadi: 
Teorema 7.2. Agar rangi  r ga teng bo’lgan  
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x
∑
=
=
1
,
 
kvadratik forma uchun  
                                   
r
k
k
k
A
D
k
,...,
2
,
1
,
0
...
2
1
...
2
1
=
≠






=
                        (7.28) 
bo’lsa,  u  holda  musbat  kvadratlar  soni  
π
  va  manfiy  kvadratlar  soni 
𝛾𝛾  mos 
ravishda  
                                    
r
D
D
D
,...,
,
,
1
2
1
                                                       (7.29) 
qatordagi   P-o’zgarmas  ishoralar  soni  va  V-  o’zgaruvchan   ishoralar  soni  
bilan   ustma-ust  tushadi, yani  
)
,...,
,
,
1
(
),
,...,
,
,
1
(
1
2
1
2
1
r
r
D
D
D
V
D
D
D
=
=
γ
π
 
 va  signatura 
                                  
)
,...,
,
,
1
(
2
2
1
r
D
D
D
V
r
−
=
σ
                                     (7.30) 
bo’ladi.  
   Misol  7.2.  Quyidagi  kvadratik  formani  kvadratlar    yig’indisi  
ko’rinishida  yozing: 
4
3
4
2
3
2
4
1
3
1
2
1
2
4
2
2
2
1
2
8
6
2
2
4
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
Т
+
+
−
−
+
−
−
+
=
 

 
172 
A=












−
−
−
−
−
−
−
3
1
4
1
1
0
3
1
4
3
3
2
1
1
2
1
 
matritsani  Gauss formasiga keltiramiz. 
G=












−
−
−
−
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
1
1
2
1
 
Bundan,   r=2  
,
1
11
=
a
    
1
)
1
(
22
−
=
a
  ekanligi  kelib  chiqadi.  U  holda  (7.19)  
formulaga  asosan  
2
4
3
2
2
4
3
2
1
)
2
(
)
2
(
x
x
x
x
x
x
x
Ax
x
Т
+
−
−
−
−
+
−
=
 
hosil  bo’ladi.   
 
§5. Kvadratik formalarning ishoralari 
Ta’rif 7.4  
∑
=
=
n
k
i
k
i
ik
Т
x
x
a
Ax
x
1
,
 
haqiqiy  kvadratik  forma  manfiymas  (musbatmas)  deyiladi,  agarda 
o’zgaruvchilarning   ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarida  
                                           
0
≥
Ax
x
Т
  
)
0
(
≤
Ax
x
Т
                              (7.31) 
bo’lsa. 
Bu holda  A  simmetrik  matritsa  yarim  musbat  aniqlangan (yarim manfiy 
aniqlangan)  deyiladi. 
Ta’rif 7.5   
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x
∑
=
=
1
,
 
haqiqiy  kvadratik  forma  musbat  aniqlangan  (manfiy  aniqlangan)  deyiladi, 
agarda o’zgaruvchilarning  ixtiyoriy  noldan farqli  (x
≠0) qiymatlarida  

 
173 
                                     
0
>
Ax
x
Т
    
)
0
(
<
Ax
x
Т
                               (7.32) 
bo’lsa. 
Bu holda    A  matritsa  musbat  aniqlangan (manfiy aniqlangan)  deyiladi. 
Musbat      aniqlangan    (manfiy  aniqlangan)  formalar  sinifi  manfiymas 
(musbatmas) formalar sinifining  qismi bo’ladi. 
         Manfiymas    kvadratik  forma  o’zaro  bog’liqmas    kvadratlar  yig’indisi  
ko’rinishida quyidagicha ifodalangan bo’lsin. 
                                          
i
i
r
i
Т
X
a
Ax
x
∑
=
=
1
                                               (7.33) 
(7.33) da  barcha kvadratlar  musbat  bo’lishi kerak,  ya’ni  
                                        
r
i
a
i
,...,
2
,
1
,
0
=
>
                                      (7.34) 
Haqiqatdan,  agar  birorta  
0
<
i
a
  bo’lsa,  
n
x
x
x
,...
,
2
1
  larning  shunday 
qiymatlarini  tanlashimiz mumkinki,  unda 
0
,
0
...
...
,
1
1
1
≠
=
=
=
=
=
=
+
−
i
r
i
i
X
X
X
X
X
 
 bo’lib, 
Ax
x
Т
  manfiy  bo’lib  qoladi. Aksincha,  (7.33)  va  (7.34) dan  
Ax
x
Т
 
formaning  musbatligi  kelib chiqadi.                                                                     
Shunday  qilib,  manfiymas  kvadratik  formalar 
r
=
σ
   
(
)
0
,
=
=
ν
π
r
       
tengliklar  bilan haraktrlanadi. 
  Agar  
−
Ax
x
Т
 musbat  aniqlangan  bo’lsa,  u holda u manfiymas  forma  
ham  bo’lib, (7.33)  va (7.34) shartlar bajariladi.  Kvadratik  formaning musbat 
aniqlanganligidan  r=n  ekanligi  kelib  chiqadi.  Haqiqatdan,  agar  rn
i
x
x
x
,...,
,
2
  o’zgaruvchilarni  bir  vaqtda  nolga  teng  bo’lmagan  qiymatlarini  
tanlash  mumkin  bo’ladiki,  unda  barcha   
𝑋𝑋
𝑖𝑖
  lar  nolga  teng  bo’lib,  
0
=
Ax
x
Т
 
bo’ladi.  Bu  (7.32)  shartga  ziddir.  Aksincha,  agar  (7.33)  da  r=n  bo’lib, (7.34)  
bajarilsa,  
Ax
x
Т
 forma  musbat aniqlangan bo’ladi. 
        Boshqacha  aytganda,  manfiymas  kvadratik  forma  faqat  va  faqat  
singulyar bo’lmagandagina  musbat aniqlangan bo’ladi. 
 

 
174 
Teorema 7.3. (7.1) kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lishi uchun   
                 
,
0
11
1
>
= a
D
 
0
,...,
0
22
12
12
11
2
>
=
>
=
A
D
a
a
a
a
D
n
                        (7.35) 
tengsizliklarni   bajarilishi  zarur  va  yetarlidir. 
  Isboti.  (7.35)  shartlarni  yetarli ekanligi  (7.25)  Yakobi formulalaridan 
kelib chiqadi.  (7.35) shartlarni zarurligini  quyidagicha ko’rsatamiz.  
Ax
x
Т
  formaning  musbat  aniqlanganligidan  kelib  chiqadiki,  quyidagi 
qirqib olingan  
,
1
,
k
i
ik
p
k
i
p
Т
x
x
a
x
A
x
∑
=
=
 (p=1,2,…,n) 
forma  ham  musbat  aniqlangan  bo’ladi.  Ammo,  bu  holda  barcha  formalar  
singulyar bo’lmasligi, ya’ni  
0
≠
=
p
p
A
D
  (p=1,2,…,n) 
bo’lishi  kerak. 
 Endi biz  Yakobining  (7.25) formulalarini  (r=n) da qo’llash imkoniyatiga 
ega  bo’lamiz.  Bu  formulalarning  o’ng  tomonidagi  barcha  kvadratlar  musbat 
bo’lishi kerak, u  holda   
0
,...,
0
,
0
1
2
1
1
>
>
>
−
n
n
D
D
D
D
D
 
Bundan (7.35) shartlarning zarurligi kelib chiqadi. 
Natija:  Musbat aniqlangan 
k
i
ik
n
k
i
Т
x
x
a
Ax
x
∑
=
=
1
,
 
kvadratik  formaning  koeffitsientlaridan  tuzilgan  A  matritsani  barcha  bosh 
minorlari   musbat , ya’ni 
                     
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1
=
≤
≤
≤
≤
>








              (7.36) 
 Eslatma.  Bosh minorlar ketma-ketligining  manfiymas, ya’ni  
0
,...,
0
,
0
2
1
≥
≥
≥
n
D
D
D
 
ekanligidan  
Ax
x
Т
  formaning  manfiymas  ekanligi  kelib chiqmaydi. 

 
175 
Teorema  7.4.  (7.1)  kvadratik  forma  manfiymas  bolishi  uchun  uning  
matritsasini  barcha bosh minorlari  manfiymas, ya’ni 
                           
n
p
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
p
p
p
,...,
2
,
1
;
...
1
(
0
...
...
2
1
2
1
2
1
=
≤
≤
≤
≤
≤
≥








 
bo’lishi zarur va yetarlidir.    
Isboti: Quyidagi yordamchi formani qaraymiz 
2
1
i
n
i
t
t
x
Ax
x
x
A
x
∑
=
+
=
ε
ε
 
(
)
0
>
ε
. 
Bundan, 
(
)
Ax
x
x
A
x
T
Т
=
→
ε
ε
0
lim
   kelib chiqadi. 
Ax
x
T
  formaning  manfiymasligidan  
x
A
x
T
ε
  formaning  musbat 
aniqlanganligi kelib chiqadi, shuning uchun  quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi. 
𝐴𝐴
𝜀𝜀
�
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2 
…   𝑖𝑖
𝑝𝑝
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2
 …   𝑖𝑖
𝑝𝑝
� > 0(1 ≤ 𝑖𝑖
1
≤ 𝑖𝑖
2
… ≤ 𝑖𝑖
𝑃𝑃
≤ 𝑛𝑛;    𝑃𝑃 = 1,2 … , 𝑛𝑛) 
Bundan,  
𝜀𝜀 → 0  da limitga o’tib, (7.36) shartni xosil qilamiz.  
Aksincha (7.36) shart bajarilsin. Bundan kelib chiqadiki,  
𝐴𝐴
𝜀𝜀
�
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2
… 𝑖𝑖
𝑝𝑝
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2
… 𝑖𝑖
𝑝𝑝
�
=
𝜀𝜀
𝑝𝑝
+ ⋯ ≥ 𝜀𝜀
𝑝𝑝
> 0(1 ≤ 𝑖𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖𝑖
𝑃𝑃
≤ 𝑛𝑛;    𝑃𝑃 = 1,2 … , 𝑛𝑛) 
Ammo,  bu holda teorema 7.3 ga asosan  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴
𝜀𝜀
𝑥𝑥 > 0     (𝑥𝑥 ≠ 0) 
Bundan 
𝜀𝜀 → 0 da limitga o’tib,  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴
𝜀𝜀
𝑥𝑥 > 0 
ni  xosil qilamiz.  
 
Kvadratik  formaning  musbatmaslik  va  manfiy  aniqlanganlik  shartlarini, 
mos  ravishda  (7.35)  va  (7.36)  tengsizliklarni 
−𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  formaga  qo’llab  xosil 
qilamiz.  
 
Teorema. 7.5 
  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥   kvadratik forma manfiy aniqlangan bo’lishi uchun  
                                
𝐷𝐷
1
< 0, 𝐷𝐷
2
> 0, 𝐷𝐷
3
< 0, (−1)
𝑛𝑛
𝐷𝐷
𝑛𝑛
> 0                         (7.35
′
 ) 
tengsizliklarning bajarilishi zarur va yetarli.  
 
 

 
176 
Teorema. 7.6   
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  kvadratik forma musbatmas bo’lishi uchun  
(−1)
𝑝𝑝
𝐴𝐴 �
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2
… 𝑖𝑖
𝑝𝑝
𝑖𝑖
1
𝑖𝑖
2
… 𝑖𝑖
𝑝𝑝
�
≥
0  (1 ≤ 𝑖𝑖
1
≤ ⋯ ≤ 𝑖𝑖
𝑃𝑃
≤ 𝑛𝑛;    𝑃𝑃 = 1,2 … , 𝑛𝑛)          (7.36
′
 ) 
tengsizliklarni bajarilishi zarur va yetarli.