O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§
𝟗𝟗.  Kvadratik formalar ustida amallar. 
Quyidari n  o’zgaruvchili kvadratik formani qaraymiz:  
                                     
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥,                                                        (7.87) 
bu yerda 
𝑥𝑥 = (𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
)
𝑇𝑇
, 𝐴𝐴 = (𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
)
𝑖𝑖,𝑗𝑗 =1
𝑛𝑛
, 𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
= 𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑖𝑖
.  𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅-  ixtiyoriy 
xaqiqiy son.  
Ta’rif  7.6 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) kvadratik formani 
 
  haqiqiy  songa  ko’paytmasi  deb, 
quyidagi tenglik bilan aniqlanuvchi kvadratik formaga aytiladi: 
                          
αf(x, x) = x
T
(αA)x = σ ��|α|x�
T
A ��|α|x�,                (7.88) 
bu yerda 
𝜎𝜎 = � 1 agar  α ≥ 0 bo’lsa,
−1  agar  α > 0  bo’lsa.
 
(7.88) tenglikdan ko’rinadiki,  
                        
𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝜎𝜎𝑓𝑓 ��|𝛼𝛼|𝑥𝑥, �|𝛼𝛼|𝑥𝑥�,                                               (7.89) 
Xaqiqatan,  

 
194 
                        𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝛼𝛼𝐴𝐴)𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 � � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =1
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 𝜎𝜎 ∙ |𝛼𝛼| � � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =1
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 𝜎𝜎 � � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
��|𝛼𝛼|𝑥𝑥
𝑖𝑖
� ��|𝛼𝛼|𝑥𝑥
𝑗𝑗
�
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =1
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 𝜎𝜎 ��|𝛼𝛼|𝑥𝑥�
𝑇𝑇
𝐴𝐴 ��|𝛼𝛼|𝑥𝑥� 
= 𝜎𝜎𝑓𝑓 ��|𝛼𝛼|𝑥𝑥, �|𝛼𝛼|𝑥𝑥�,                                
Ta’rif  7.7.  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  va  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  kvadratik  formalarni 
yig’indisi deb quyidagi kvadratik formaga aytiladi:  
                              
f(x, x) + g(x, x) = x
T
(A + B)x                              (7.90)       
1. 
Kvadratik  formalar  ustida  aniqlangan  qo’shish  va  songa 
ko’paytirish amallari quyidagi xossalarga ega bo’ladi.  
1) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) +  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 
2) 
�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) +  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + (𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)), 
3) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  sharti  qanoatlantiruvchi  𝑥𝑥
𝑇𝑇
0𝑥𝑥=0 
element mavjud, 
4) 
Ixtiyoriy 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)    uchun  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + �−𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� = 0 shartni 
qanoatlantiruvchi   -
 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  qarama-qarshi element mavjud, 
5) 
𝛼𝛼�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� = 𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝛼𝛼𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 
6) 
(𝛼𝛼 ± 𝛽𝛽)𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) ± 𝛽𝛽𝑓𝑓𝑐𝑐(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 
7) 
(𝛼𝛼𝛽𝛽)𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝛼𝛼(𝛽𝛽𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝛽𝛽�𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)�, 
8) 
1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)= 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 
Haqiqatan,  
1) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) +  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐵𝐵 + 𝐴𝐴)𝑥𝑥 =
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 =   𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 
         2)
�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) +  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� + 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = (𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥) + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝑄𝑄𝑥𝑥 =
𝑥𝑥
𝑇𝑇
�(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝑄𝑄�𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + (𝐵𝐵 + 𝑄𝑄)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐵𝐵 + 𝑄𝑄)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 +
(𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝑄𝑄𝑥𝑥) =  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + (𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)), 
        3) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 0 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
0𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + 0)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥), 

 
195 
       4) 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + �−𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 − 𝐴𝐴)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
0𝑥𝑥 = 0, 
      5)
  𝛼𝛼�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)� = 𝛼𝛼(𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥) = 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑥𝑥 =       
= 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝛼𝛼𝐴𝐴 + 𝛼𝛼𝐵𝐵) = 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) ± 𝛼𝛼𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥),  
     6) 
 (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝐴𝐴𝑋𝑋 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝛼𝛼𝐴𝐴 + 𝛽𝛽𝐴𝐴)𝑥𝑥 = 
= 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝛼𝛼𝐴𝐴 + 𝛽𝛽𝐴𝐴)𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝛼𝛼𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝛽𝛽𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝛽𝛽𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) +
  𝛽𝛽𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥),  
     7)
 (𝛼𝛼 ∙ 𝛽𝛽)𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)(𝛼𝛼 ∙ 𝛽𝛽)𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝛼𝛼𝛽𝛽)𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝛼𝛼(𝛽𝛽𝐴𝐴)𝑥𝑥 = 
= 𝛼𝛼𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝛽𝛽𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝛼𝛼�𝛽𝛽𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)�.  
     
8)  1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)=1 ∙ 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 =𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 =   𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥). 
Demak,  n o’zgaruvchili kvadratik formalar to’plami chiziqli fazo tashkil 
qiladi.  
2.  Agar 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥   kvadratik forma aniq (o’zgarmas) ishorali bo’lsa, 
u  xolda 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝛼𝛼𝐴𝐴𝑥𝑥  kvadratik  forma  ham  aniq  (o’zgarmas)  ishorali 
bo’lib, 
𝛼𝛼 > 0 da ularning ishoralari bir xil, 𝛼𝛼 < 0 da esa har- xil bo’ladi.  
Bu  tasdiqning  to’g’riligi 
𝐴𝐴  va 𝛼𝛼 ∙ 𝐴𝐴      matritsalarni  bir  vaqtda  aniq 
(o’zgarmas) ishorali ekanligidan kelib chiqadi.   
3.  Agar   
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  va  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  regulyar  kvadratik  formalar  bir  xil  aniq 
(o’zgarmas)  ishorali  bo’lib, 
𝛼𝛼 > 0    bo’lsa,  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝛼𝛼𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  kvadratik 
formalar dastasi  ham huddi shunday aniq (o’zgarmas) ishorali bo’ladi.  
Haqiqatan,  aniqlik uchun 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) va 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)  kvadratik formalar musbat 
aniqlangan  bo’lsin  deb  olamiz. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) > 0  va  𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) > 0  bo’lib,  bundan 
𝛼𝛼 > 0  da  𝛼𝛼𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0)  bo’lgani  uchun  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝛼𝛼𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) > 0  ekanligi  kelib 
chiqadi.  
Endi  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 va 𝑔𝑔(𝑦𝑦, 𝑦𝑦) = 𝑦𝑦
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑦𝑦,               𝑥𝑥 = (𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
)
𝑇𝑇
,   
𝑦𝑦 = (𝑦𝑦
1
, 𝑦𝑦
2
, … , 𝑦𝑦
𝑚𝑚
)
𝑡𝑡
, 𝐴𝐴 = (𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
)
𝑖𝑖,𝑗𝑗 =1
𝑛𝑛
, 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
= 𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑖𝑖
;   𝐵𝐵 = �𝑏𝑏
𝑘𝑘,𝑒𝑒
�
𝑘𝑘,𝑒𝑒=1
𝑚𝑚
, 𝑏𝑏
𝑘𝑘,𝑒𝑒
= 𝑏𝑏
𝑒𝑒,𝑘𝑘
  
kvadratik formalarni qaraymiz.  
Agar 
𝑚𝑚 = 𝑛𝑛  bo’lib,  𝑥𝑥  va  𝑦𝑦  chiziqli  bog’langan,  ya’ni  𝜆𝜆 ≠ 0  mavjudki, 
unda 
𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0 bo’lsa,  

 
196 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑦𝑦, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(−𝜆𝜆𝑥𝑥, −𝜆𝜆𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝜆𝜆
2
𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) =
= 𝑥𝑥
𝑇𝑇
(𝐴𝐴 + 𝜆𝜆
2
𝐵𝐵)𝑥𝑥    
kvadratik formalar dastasi xosil bo’ladi.  
𝑚𝑚 ≠ 𝑛𝑛  bo’lganda  vektor  koordinatalarini  0  lar  bilan  to’ldirib,  𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 
holga keltirishimiz mumkin.  
 
Agar 
𝑥𝑥  va  𝑦𝑦  vektorlar  chiziqli  bog’lanmagan  bo’lsa,  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑦𝑦, 𝑦𝑦) 
yig’indini quyidagi ko’rinishdagi bitta kvadratik forma orqali ifodalash mumkin.  
 
      
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑦𝑦, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑦𝑦 = (𝑥𝑥
𝑇𝑇
, 𝑦𝑦
𝑇𝑇
)�
𝐴𝐴    0
0    𝐵𝐵
� �
𝑥𝑥
𝑦𝑦
�
        (7.91) 
 
(7.91)  kvadratik  forma 
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚  o’zgaruvchili  bo’lib,  unga  mos  matritsa 
𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 tartibli bo’ladi.  
§
𝟏𝟏𝟏𝟏  n-o’zgaruvchili kvadratik formalarni ikki o’zgaruvchili kvadratik 
formalar yig’indisi shaklida yozish. 
Ma’lumki,  kvadratik  formalar  amaliy  ahamiyatga  ega  bo’lib,  bunda 
kvadratik  formalarning  ishoralarini  aniqlash  muhim  ahamiyatga  ega.  Ammo 
kvadratik  formadagi  o’zgaruvchilar  soni  ortib  borishi  bilan  unga  mos 
matritsaning  tartibi  ortib  borib,  unga  Silvestr  kriteriysini  qo’llash  yoki  uni 
harakteristik  sonlarini  topish  qiyinlashib  boradi.  SHuning  uchun  maqsadimiz 
berilgan  kvadratik  formani  imkon  qadar  kamroq  o’zgaruvchili  kvadratik 
formalar yig’indisi ko’rinishida ifodalashdan iborat.  
 
Teorema  7.18  (7.87)  kvadratik  forma  uchun  
𝑛𝑛 > 1 da quyidagi tenglik 
o’rinli  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 =
=
1
𝑛𝑛 − 1 � �(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑗𝑗
) � 
𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑖𝑖        
(𝑛𝑛 − 1)𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
(𝑛𝑛 − 1)𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑣𝑣
𝑗𝑗𝑗𝑗
�
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
�
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
�      (7.92) 
 
Isboti.  (7.92)  tenglikni  isbotlash  uchun  avval  o’zgaruvchilar  soni 
𝑛𝑛 = 2 
va 
𝑛𝑛 = 3 bo’lgan  xususiy xollarni qarab chiqamiz.  
1. 
𝑛𝑛 = 2  bo’lsin, u holda (7.92) quyidagicha yoziladi.  

 
197 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = (𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
)(
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
2.2
) �
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
� 
2. 
𝑛𝑛 = 3 bo’lsin,  u holda quyidagiga ega bo’lamiz:  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝑣𝑣
1,1
∙ 𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
2.2
∙ 𝑥𝑥
2
2
+ 𝑣𝑣
3,3
∙ 𝑥𝑥
3
2
+ 
+2𝑣𝑣
1,2
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
+ 2𝑣𝑣
1,3
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
3
+ 2𝑣𝑣
2.3
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
3
= 
=
1
2 𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 2𝑣𝑣
1,2
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
+
1
2 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+
1
2 𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 2𝑣𝑣
1,3
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
3
+ 
+
1
2 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
+
1
2 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+ 2𝑣𝑣
2.3
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
3
+
1
2 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
= 
=
1
2 �𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 4𝑣𝑣
1,2
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
+ 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
� +
1
2 �𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 4𝑣𝑣
1,3
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
3
+ 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
� + 
+
1
2 �𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+ 4𝑣𝑣
2.3
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
3
+ 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
� = 
=
1
2
(𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
) �
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
2.2
� �
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
� +
1
2
(𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
3
) �
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
1,3
𝑣𝑣
1,3
𝑣𝑣
3,3
� �
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
3
� + 
+
1
2
(𝑥𝑥
2
, 𝑥𝑥
3
) �
𝑣𝑣
2.2
𝑣𝑣
2.3
𝑣𝑣
2.3
𝑣𝑣
3,3
� �
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
� = 
=
1
2 � ��𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑗𝑗
� �
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑗𝑗
� �
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
�
3
𝑗𝑗 =2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
2
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖
 
Endi umumiy holni qaraymiz.  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = � � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
=
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =𝑛𝑛
� 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
2
+ 2 � � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
 
Ohirgi ifodadagi birinchi yig’indini quyidagicha o’zgartirib yozamiz:  
� 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
2
=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑣𝑣
11
𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+, … , 𝑣𝑣
𝑛𝑛,𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑛𝑛
2
= 
=
𝑣𝑣
1,1
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
1
2
+ ⋯ +
𝑣𝑣
1,1
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
1
2
+
𝑣𝑣
2.2.
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
2
2
+ ⋯ +
𝑣𝑣
2.2.
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
2
2
+ 
               
                  n-1ta                           n-1ta                                               
 + ⋯ +
𝑣𝑣
𝑛𝑛,𝑛𝑛
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
𝑛𝑛
2
+ ⋯ +
𝑣𝑣
𝑛𝑛,𝑛𝑛
𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
𝑛𝑛
2
= 
                        
                       n-1ta 

 
198 
=
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
� +
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
1,3
𝑥𝑥
3
2
� +
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
𝑛𝑛,𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑛𝑛
2
� + 
+
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+ 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
� +
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+ 𝑣𝑣
4,4
𝑥𝑥
4
2
� + ⋯ +
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+
𝑣𝑣𝑛𝑛,𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛2+
 
+…+
1
𝑛𝑛−1
�𝑣𝑣
𝑛𝑛−1,𝑛𝑛−1
𝑥𝑥
𝑛𝑛−1
2
+ 𝑣𝑣
𝑛𝑛−1,𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑛𝑛
2
� = 
=
1
𝑛𝑛 − 1 � ��𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑖𝑖
2
+ 𝑣𝑣
𝑗𝑗,𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑗𝑗
2
�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖<𝑗𝑗
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
 
Bundan,   
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) =
1
𝑛𝑛 − 1 � �(𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑖𝑖
2
+ 2(𝑛𝑛 − 1)𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
+ 𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑗𝑗
𝑥𝑥
𝑗𝑗
2
)
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
=
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
 
=
1
𝑛𝑛 − 1 � ��𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑗𝑗
�
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
�
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑛𝑛 − 1𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑛𝑛 − 1𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑗𝑗
� �
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
�
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
      
ni hosil qilamiz.  
 
Musbat  (manfiy)  aniqlangan  kvadratik  formalar  yig’indisi  musbat 
(manfiy)  aniqlangan  ekanligidan,  (7.92)  tenglikka  asosan  (7.87)  kvadratik 
forma uchun quyidagilarni  hosil qilamiz:  
 
Agar (7.87) kvadratik forma uchun  
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑗𝑗
− 𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑗𝑗
2
(𝑛𝑛 − 1)
2
≥ 0,   𝑖𝑖 = 1,2. … , 𝑛𝑛 − 1;   𝑗𝑗 = 2.3, … , 𝑛𝑛;   𝑖𝑖 < 𝑗𝑗         (7.93) 
shartlar  bajarilib,  
                    
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
> 0    �𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
<  0�  𝑖𝑖 = 1,1, … , 𝑛𝑛                                               (7.94) 
bo’lsa, u manfiymas (musbatmas) bo’ladi.  
 
Agar (7.93) shartlarning kamida bittasi uchun 
               
𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
𝑣𝑣
𝑗𝑗 ,𝑗𝑗
− (𝑛𝑛 − 1)
2
𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑗𝑗
2
> 0;   1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1,   2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛, 𝑖𝑖 < 𝑗𝑗     (7.95) 
bo’lib,  (7.94)  shartlar  bajarilsa, (7.87)  kvadratik  forma  musbat  (manfiy) 
aniqlangan bo’ladi.  
 
Ko’plab  mehanik  sistemalarning  harakat  tenglamalari  to’rtinchi  tartibli 
differentsial  tenglamalar  sistemasi  orqali  ifodalanishini  hisobga  olib,  to’rt 

 
199 
o’zgaruvchili  kvadratik  formalar  musbat  (manfiy)  aniqlanganlik  shartlarini 
keltiramiz:  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑣𝑣
1,1
𝑥𝑥
1
2
+ 𝑣𝑣
2.2
𝑥𝑥
2
2
+ 𝑣𝑣
3,3
𝑥𝑥
3
2
+ 𝑣𝑣
4,4
𝑥𝑥
4
2
+ 2𝑣𝑣
1,2
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
+ 2𝑣𝑣
1,3
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
3
+ 
+2𝑣𝑣
1,4
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
4
+ +2𝑣𝑣
2.3
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
3
+ +2𝑣𝑣
2.4
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
4
+ +2𝑣𝑣
3,4
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
4
                               (7.96)     
kvadratik  formani  qaraymiz. Bu kvadratik formaning matritsasi   
A=
�
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
1,3
𝑣𝑣
1,2
𝑣𝑣
2.2
𝑣𝑣
2.3
𝑣𝑣
1,3
𝑣𝑣
2.3
𝑣𝑣
3,3
    
𝑣𝑣
1,4
𝑣𝑣
2.4
𝑣𝑣
3,4
𝑣𝑣
1,4
𝑣𝑣
2.4
    𝑣𝑣
3,4
𝑣𝑣
4,4
� 
bo’lib, (7.93), (7.94),  (7.95)   shartlarga  ko’ra  (7.96)  kvadratik  forma  musbat 
aniqlangan bo’lishi uchun  
                                                  𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
> 0,   𝑖𝑖 = 1,2,3,4;                                        (7.97) 
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
2.2
− 9𝑣𝑣
1,2
2
> 0,    𝑣𝑣
𝑛𝑛
𝑣𝑣
3,3
− 9𝑣𝑣
1,3
2
≥ 0, 
                           
𝑣𝑣
1,1
𝑣𝑣
4,4
− 9𝑣𝑣
1,4
2
≥ 0,       𝑣𝑣
2.2
𝑣𝑣
3,3
− 9𝑣𝑣
2.3
2
≥ 0,                  (7.98) 
   𝑣𝑣
2.2
𝑣𝑣
4,4
− 9𝑣𝑣
2.4
2
≥ 0,
𝑣𝑣
3,3
𝑣𝑣
3,3
− 9𝑣𝑣
3,4
2
≥ 0, 
 
Manfiy aniqlangan bo’lishi uchun esa (2.12)   shartlar bilan bir  vaqtda  
                                      𝑣𝑣
𝑖𝑖,𝑖𝑖
< 0,
𝑖𝑖 = 1,2.3,4,                                                   (7.99) 
 shartlar bajarilishi yetarlidir.  
 
Eslatma: (7.98)  shartlardagi qat’iy tengsizlik, qolgan ixtiyoriy tengsizlik 
bilan almashtirilishi mumkin.  
 
Agar 
𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
, lar matritsaning xarakteristik sonlari bo’lib, 
 
𝐴𝐴 = 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣𝑔𝑔( 𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
)  bo’lsa, (7.92)  forma quyidagi ko’rinishni oladi:  
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 =
1
𝑛𝑛 − 1 � ��𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑗𝑗
�
𝑛𝑛
𝑗𝑗 =2
𝑖𝑖<𝑗𝑗
�
𝜆𝜆
𝑖𝑖
0
0 𝜆𝜆
𝑗𝑗
�
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1
�
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑗𝑗
�                   (7.100)     
§11. Erkinlik darajasi 
n
 bo’lgan sistemalarning  kichik tebranishlari. 
n
 ta erkinlik darajasi bo’lgan konservativ mexanik sistemani o’zining 
turug’un muvozanat xolati yaqinidagi erkin tebranishlarini qaraymiz. 
Sistemani muvozanat xolatdan og’ishini o’zaro bog’liq bo’lmagan  
n
q
q
q

,
,
2
1
 umumlashgan kordinatalar  yordamida beramiz. Bunda muvozanat 

 
200 
xolatga 
0
,...,
0
,
0
2
1
=
=
=
n
q
q
q
 mos keladi. U holda sistemaning kinetik 
energiyasi 
n
q
q
q

,
,
2
1
 umumlashgan tezliklarning kvadratik formasi ko’rinishida 
tasvirlanadi. 
(
)
∑
=
=
n
k
i
k
i
n
ik
q
q
q
q
q
b
T
1
,
2
1
,
,
,



 
(
)
n
ik
q
q
q
q
b

,
,
2
1
 koeffitsentlari 
n
q
q
q

,
,
2
1
larning darajalari bo’yicha qatorga 
yoyib, 
(
)
(
)
n
k
i
b
q
q
q
q
b
ik
n
ik



,
2
,
1
,
,
,
2
1
=
+
=
 
Bu yoyilmaning faqat 
ik
b
 o’zgarmas xadlarini olib, quyidagiga ega bo’lamiz: 
 
(
)
n
k
i
b
b
q
q
b
T
ki
ik
n
k
i
k
i
ik
,...,
2
,
1
,
,
1
,
=
=
=
∑
=


 
 
Kinetik energiya har doim musbat bo’lib, faqat 
0
...
2
1
=
=
=
=
n
q
q
q
 dagina 
nolga aylanadi. SHuning uchun    
∑
=
=
n
k
i
k
i
ik
q
q
b
T
1
,


 - musbat aniqlangan kvadratik 
formadir. 
Sistemaning potentsial energiyasi 
(
)
n
q
q
q
q
П

,
,
2
1
 - umumlashgan 
koordinatalarning funktsiyasi bo’ladi. Umumiylikni buzmasdan 
0
)
0
,...,
0
,
0
(
0
=
=
П
П
 deb olamiz. U holda potentsial energiyani 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larning 
darajasi bo’yicha qatorga yoyib, quyidagini hosil qilamiz: 
∑
∑
−
=
+
+
=
n
i
n
k
i
k
i
ik
i
i
q
q
a
q
a
П
1
1
,
......
 
ma’lumki muvozanat holatda potentsial energiya statsionar qiymat qabul 
qiladi, u holda 
)
,...,
2
,
1
(
,
0
0
n
i
q
П
a
i
i
=
=






∂
∂
=
 
Bundan 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larga nisbatan ikkinchi tartibli bulgan xadlarni saqlab 
qolib, quyidagicha ega bo’lamiz: 
(
)
∑
=
=
=
=
n
k
i
ki
ik
k
i
ik
n
k
i
a
a
q
q
a
П
1
,
,
,
,
2
,
1
,
,

 

 
201 
 SHunday  qilib, 
П
-potentsial  Energiya  va  T-  kinetik  energiya  quyidagi  
kavdratik formulalar bilan aniqlanadi: 
                                 
∑
∑
=
=
=
=
n
k
i
n
k
i
k
i
ik
k
i
ik
q
q
b
T
q
q
a
П
1
,
1
,
,
,


                              (7.101) 
Bu yerdagi ikkinchi kvadratik forma musbat aniqlangan. 
             Endi  xarakat  differentsial  tenglamalarini  Lagranjning  ikkinchi  tur 
tenglamalari ko’rinishda yozamiz: 
                                  
(
)
n
i
q
П
q
T
q
T
dt
d
i
i
i
,
,
2
,
1


=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
                            (7.102) 
Bu yerda 
T
 va 
П
 ning o’rniga ularni (7.101) dagi ifodasini qo’yib, quyidagini 
hosil qilamiz: 
                                  
(
)
∑
∑
=
=
=
=
+
n
k
n
k
k
ik
k
ik
n
i
q
a
q
b
1
1
,
,
2
,
1
0



                           (7.103) 
Quyidagi simmetrik matritsalarni kiritib,  
   
( )
( )
(
)
n
T
n
k
i
k
i
n
k
i
ik
q
q
q
q
b
B
a
A
,
,
,
,
,
2
1
1
,
,
1
,

=
=
=
=
 
(7.103) tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz: 
                               
0
=
+ q
A
q
B 

                                                             (
7. 103
′
) 
  (7.103) sistema  yechimini quyidagi garmonik tebranishlar ko’rinishda 
izlaymiz: 
(
)
(
)
(
)
α
ω
α
ω
α
ω
+
=
+
=
+
=
t
v
q
t
v
q
t
v
q
n
n
sin
,
,
sin
,
sin
2
2
1
1

 
matritsani ko’rinishda  
                            
(
)
α
ω +
=
t
v
q
sin
                                                    (7.104) 
Bu yerda 
(
)
T
n
v
v
v
v
,
,
,
2
1

=
-o’zgarmas ampletuda vektorlari, 
ω
-chastata, 
α
- 
boshlang’ich fazo. 
  
(7.104) ni  (
7. 103
′
) ga qo’yib, 
(
)
α
ω
+
t
sin
 ga qisqartirib quyidagini xosil 
qilamiz: 
(
)
2
ω
λ
λ
=
= Bv
v
A
 
 Ammo bu 
kvadratik formalar singulyar dastasi xarakteristik  
tenglamasi 
dan kelib chiqadigan 
 
−
−
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
(
)
0
=
− B
A
λ
(
)
n
k
z
B
z
A
k
k
k
,
,
2
,
1

=
=
λ

 
202 
 
tenglamalar  bilan  ustma-ust  tushadi.  Demak,  izlanayotgan  amplituda  vektori 
bosh  vektor  bo’lib,  chastota  kvadrati 
2
ω
λ
=
   
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
−
  formalar  regulyar 
dastasining mos xarakteristik sonlari bo’ladi. 
)
,....,
,
(
2
1
n
q
q
q
П
- potentsial energiya 
qa’tiy  minimumga  ega  deb  faraz  qilamiz.  U  xolda  Lajan-Drixle  teoremasiga 
asosan  sistemaning  muvozanat  xolati  turg’un  bo’ladi.  Ikkinchi  tomondan, 
Aq
q
П
T
=
 kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.  
Regulyar  dastalar  xaqidagi  teoremaga  asosan  kvadratik  formalarning 
regulyar dastasi  
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
−
 
n  ta xaqiqiy 
n
λ
λ
λ
,...,
,
2
1
 xarakteristik sonlarga ega va bu n ta sonlarga mos               
(
)
[
]
T
nk
k
k
k
n
v
v
v
v
v
v
v
,...
,
,...,
,
2
1
2
1
=
 
bosh vektorlarga ega bo’lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:    
                        
∑
=
=
=
=
n
y
k
i
k
y
i
y
k
i
n
k
i
v
v
b
Bv
v
T
1
,
)
,...,
2
,
1
,
(
µ
µ
µ
δ
                     (7.105) 
Ax
x
T
 formaning musbat aniqlanganligidan,  
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
−
 
dastaning barcha xarakteristik sonlari musbat 
)
,...,
2
,
1
(
0
n
k
k
=
>
λ
 
ekanligi  kelib 
chiqadi. 
Ammo 
bu 
xolda 
ampletuda 
vektorlari                                  
(
)
)
,...,
2
,
1
(
,...,
,
2
1
n
k
v
v
v
v
T
nk
k
k
k
=
=
 
ortanormallashganlik  shartini  qanoatlantiruvchi  quyidagi  n  ta  garmonik 
tebranishlar  mavjud  bo’ladi.  
                           
)
,...,
2
,
1
,
(
)
(
2
n
k
t
Sin
v
k
k
k
k
n
=
=
+
λ
ω
α
ω
                            (7.106) 
(
7. 103
′
)  ning  chiziqli  ekanligidan  kelib  chiqadiki,  ixtiyoriy  tebranish  (7.106) 
garmonik tebranishlardan xosil qilinishi mumkin: 
                                    
∑
=
+
=
n
k
k
k
k
k
v
t
Sin
A
q
1
)
(
α
ω
                                    (7.107) 
bu yerda, 
)
,...,
2
,
1
(
,
n
k
A
k
k
=
α
- ixtiyoriy o’zgarmaslar. 

 
203 
(7.107) dan quyidagilarni topamiz: 
                                  
∑
∑
=
=
=
=
n
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
v
Cos
A
q
v
Sin
A
q
1
0
1
0
,
α
ω
α

        (7.108)     
(7.107) yechimini quyidagicha yozish mumkin: 
                                   
(
)
∑
=
+
=
n
k
k
i
k
k
k
i
v
t
Sin
A
q
1
α
ω
                                   (7.109)  
Berilgan mexanik sistema chastotalarini kamaymaydigan tartibda nomerlab 
chiqamiz, ya’ni  
n
ω
ω
ω
≤
≤
≤
<
...
0
2
1
 
Bu bilan 
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
−
 
dasta xarakteristik sonlari 
)
,...,
2
,
1
(
2
n
k
k
k
=
=
ω
λ
 ning joylashishi aniqlanadi. 
n
λ
λ
λ
≤
≤
≤
....
2
1
 
Berilgan sistemaga h  ta o’zaro bog’liq bo’lmagan chekli statsionar 
bog’lanishlarni qo’yamiz.  
n
q
q
q

,
,
2
1
 og’ishlarni kichik miqdorlar deb xisoblab, 
bu bog’lanishlarni 
n
q
q
q

,
,
2
1
 larga nisbatan chiziqli deb qarash mumkin : 
     
.
0
)
(
,
.....
,
0
)
(
,
0
)
(
2
1
=
=
=
q
L
q
L
q
L
n
 
Bu bog’lanishlar qo’yilgandan keyin qaralayotgan sistema  n-h  ta erkin -lik 
darajasiga ega bo’ladi. Bu sistemaning chastotasi 
2
2
2
2
1
....
h
n
−
≤
≤
≤
ω
ω
ω
 
h
L
L
L
,
...
,
,
2
1
 bog’lanishli 
Bx
x
Ax
x
T
T
λ
−
 dastaning 
0
0
2
0
1
...
h
n
−
≤
≤
≤
λ
λ
λ
  
xarakteristik sonlari bilan 
( )
2
0
0
j
j
ω
λ
=
 munosabat orqali bog’langan. SHuning 
uchun  
)
,...,
2
,
1
(
0
h
n
j
h
j
j
j
−
=
≤
≤
+
ω
ω
ω
 
Shunday qilib, sistemaga  h ta bog’lanishlarni qo’yganimizda uning 
chastotasi faqat ortishi mumkin, ammo yangi  j- chastota 
0
j
ω
 miqdori eski j+L – 
chastota 
L
j
+
ω
 miqdordan ortmaydi. 
Xuddi shuningdek aytishimiz mumkinki, sistema bikirligi ortganda, ya’ni 
Aq
q
T
 forma ortganda potentsial energiya uchun (
Bq
q
T
- forma o’zgarmaganda) 

 
204 
chastota faqat ortishi mumkin, sistema inertsiyasi ortganda, ya’ni 
Bq
q
T
 forma 
ortganda esa kinetik energiya uchun
 (
Aq
q
T
 forma o’zgarmaganda) chastota faqat 
kamayishi mumkin.