O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§6. Kvadratik formalarni bosh o’qlarga keltirish. 
Quyidagi ixtiyoriy haqiqiy kvadratik formani qaraymiz  
∑
=
=
n
k
i
k
i
ik
T
x
x
a
Ax
x
1
,
 . 
Uning  matritsasi 
𝐴𝐴 = (𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑘𝑘
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
  haqiqiy,  simmetrik  bo’ladi.  Shuning 
uchun 
𝜑𝜑 qandaydir Λ  haqiqiy diogonal matritsaga ortogonal- o’xshash bo’ladi, 
ya’ni shunday 
𝑄𝑄 haqiqiy ortogonal matritsa mavjudki, unda  
                        
Λ = Q
−1
𝐴𝐴𝑄𝑄   ,   �Λ = (λ
i
δ
ik
)
i,k=1
n
, 𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇
= 𝐸𝐸�                    (7.37) 
bo’ladi.  Bu yerda 
λ
1
, λ
2
, … , λ
n
− 𝐴𝐴  matritsaning harakteristik sonlari.  
Ortogonal  matritsa  uchun 
𝑄𝑄
−1
= 𝑄𝑄
𝑇𝑇
   bo’lgani  uchun  (7.37)  dan  kelib 
chiqadiki, 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  forma o’zgaruvchilarni 
𝑥𝑥 = 𝑄𝑄𝑄𝑄    (𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑇𝑇
= 𝐸𝐸),    
                      𝑥𝑥
𝑖𝑖
= ∑
𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑄𝑄
𝑘𝑘
�∑
𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑞𝑞
𝑘𝑘𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑗𝑗=1
= 𝛿𝛿
𝑖𝑖𝑘𝑘
, 𝑖𝑖, 𝑘𝑘, = 1,2, … , 𝑛𝑛�              (7.38) 
Orotgonal almashtirishda quyidagi ko’rinishga keladi:  
                                                    𝑄𝑄
𝑇𝑇
Λ𝑄𝑄 = ∑ λ
i
𝑄𝑄
i
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
                                             (7.39) 
Teorema.  7.7. 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − haqiqiy  kvadratik  formani  har  doim  ortogonal 
alamshtirish    yordamida  (7.39)  kanonik  ko’rinishga  keltirish  mumkin  bo’lib, 
λ
1
, λ
2
, … , λ
n
  lar 
𝐴𝐴 matritsaning xarakteristik sonlari bo’ladi.  
 
Kvadratik formani ortogonal almashtirish yordamida kanonik ko’rinishga 
keltirish  uni  bosh  o’qlarga  keltirish  deyiladi.  Bunday  nomlanish  shu  bilan 
bog’liqki,unda  
                                        
∑
𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
   𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑘𝑘
= 𝑐𝑐   (𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑛𝑛𝑠𝑠𝑡𝑡 ≠ 0)                (7.40) 
ikkinchi    tartibli    gipersirt  tenglamasi  o’zgaruvchilarni  (7.38)  ortogonal 
almashtirishda quyidagi kanonik ko’rinishni oladi:  

 
177 
                                   
∑
𝑄𝑄
𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑄𝑄
𝑖𝑖
2
𝑣𝑣
𝑖𝑖
2
= 1  �
𝑄𝑄
𝑖𝑖
𝑣𝑣
𝑖𝑖
2
=
λ
i
𝑐𝑐
;  𝜀𝜀
i
= ±1;   𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛�   (7.41) 
 
(7.39)  formuladan  kelib  chiqadiki, 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  formaning  rangi  𝑟𝑟,  𝐴𝐴 
matritsaning noldan farqli xarakteristik sonlari soniga teng bo’lib, 
𝜎𝜎 signatura 𝐴𝐴 
matritsaning  musbat  va  manfiy  xarakteristik  sonlari  sonining  ayirmasiga  teng 
bo’ladi.  
 
Bundan,  hususiy xolda quyidagi tasdiq kelib chiqadi.  
Agar  kvadratik  forma  koeffitsientlari  uzluksiz  o’zgarganda  uning  rangi 
o’zgarmasa,  u  xolda  koeffitsientlarni  bunday  o’zgarishida  uning  signaturasi 
ham o’zgarmay qoladi.  
(7.39)  formuladan  yana  kelib  chiqadiki, 
𝐴𝐴  haqiqiy  simmetrik  matritsa 
yarim  musbat  aniqlangan  (musbat aniqlangan)  bo’ladi,  faqat  va  faqat  shu 
holdaki,  qachonki, 
𝐴𝐴  matritsaning  barcha  xarakteristik  sonlari  manfiymas 
(musbat) bo’lsa, ya’ni u quyidagi ko’rinishda ifodalansa  
                
𝐴𝐴 = 𝑄𝑄(λ
i
δ
ik
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
𝑄𝑄
−1
[λ
i
≥ 0  (λ
i
> 0), i = 1,2, … n]       (7.42) 
                
𝐹𝐹 = 𝑄𝑄(�λ
i
δ
ik
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
𝑄𝑄
−1
                                                             (7.43) 
yarim  musbat  aniqlangan  (musbat  aniqlangan)  matritsa 
𝐴𝐴  yarim  musbat 
aniqlangan (musbat  aniqlangan) matritsaning kvadrat ildizi bo’ladi:  
                             
𝐹𝐹 = √𝐴𝐴                                                                          (7.44) 
 
§ 7.  Kvadratik formalar dastasi. 
 Ikkita  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑘𝑘
    𝑣𝑣𝑣𝑣       𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = � 𝑏𝑏
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑘𝑘
 
haqiqiy  kvadratik  formalar  yordamida  tuzilgan 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥   (λ −parametr) 
forma kvadratik formar dastasi deyiladi.  
Agar 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  forma  musbat  aniqlangan  bo’lsa,  u  holda  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
dasta regulyar deyiladi.  
0
=
− B
A
λ
 

 
178 
tenglama 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  kvadratik  formalar  dastasining  xarakteristik 
tenglamasi deyiladi.   
Bu  tenglamaning  qandaydir  ildizini 
λ
0
  bilan  belgilaymiz. 
𝐴𝐴 − λ
0
𝐵𝐵 
matritsa  xos  matritsa  bo’lgani  uchun  shunday 
𝑧𝑧 = (𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
)
𝑡𝑡
≠ 0  ustun 
mavjudki, unda  
(𝐴𝐴 − λ
0
𝐵𝐵)𝑧𝑧 = 0 
yoki  
𝐴𝐴𝑧𝑧 = λ
0
Bz    (z ≠ 0) 
bo’ladi.  
 
λ
0
  soni 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  dastaning  xarakteristik  soni  deyilib,  𝑧𝑧 −  mos 
bosh ustun yoki bu dastaning bosh vektori deyiladi.  
 
Teorema. 7.8.  Kvadratik formalarning  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
regulyar dastasini  
|𝐴𝐴 − λ𝐵𝐵| = 0 
xarakteristik tenglamasi xar doim 
𝑧𝑧
𝑘𝑘
= (𝑧𝑧
1𝑘𝑘
, 𝑧𝑧
2𝑘𝑘
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛𝑘𝑘
)(𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)  
                                      
𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
= λ
k
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
(𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                                  (7.45)                     
bosh  vektorlar  mos  keluvchi, 
𝑛𝑛  ta  λ
k
(k = 1,2, … , n)  haqiqiy  xarakteristik 
ildizlarga ega. Bu 
𝑧𝑧
𝑘𝑘
 bosh vektorlarni shunday tanlash mumkinki, unda  
                                 
(𝑧𝑧
𝑖𝑖
)
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 𝛿𝛿
𝑖𝑖𝑘𝑘
   (𝑖𝑖, 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                              (7.46) 
munosabat bajariladi.  
Isboti. (7.45) tenglikni quyidagicha yozish mumkin  
                      
𝐵𝐵
−1
𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
= λ
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 𝛿𝛿
𝑖𝑖𝑘𝑘
  (𝑖𝑖, 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                    (7.45
’
)   
Shunday qilib, teorema 7.8. ga ko’ra  
                                           
𝐷𝐷 = 𝐵𝐵
−1
𝐴𝐴                                                 (7.47)           
matritsa quyidagilarga ega: 
 1) oddiy strukturaga; 
 2) 
λ
1
, λ
2
, … , λ
n
 xaqiqiy xarakteristik sonlarga;  
3)bu 
xarakteristik 
sonlarga 
mos 
kelib, (7.46) 
munosabatni 
qanoatlantiruvchi 
 𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
 xos ustunlar (vektorlar) ga.  

 
179 
𝐷𝐷 = 𝐵𝐵
−1
𝐴𝐴  matritsa  ikkita  simmetrik  matritsalarning  ko’paytmasidan 
iborat  bo’lib,  o’zi  simmetrik  bo’lmasligi  mumkin.  Shuning  uchun 
𝐷𝐷
𝑇𝑇
= 𝐴𝐴𝐵𝐵
−1
 
bo’ladi. 
𝐹𝐹 = √𝐵𝐵 deb olib, (7.47) tenglikdan quyidagini xosil qilamiz:  
                                               
𝐷𝐷 = 𝐹𝐹
−1
𝑆𝑆𝐹𝐹,                                          (7.48) 
bu yerda 
                                                         
𝑆𝑆 = 𝐹𝐹
−1
𝐴𝐴𝐹𝐹
−1
                                       (7.48
|
) 
simmetrik matritsa. 
𝐷𝐷 matritsani 𝑆𝑆 simmterik matritsaga o’xshash ekanligidan 1) 
va 2) tasdiqlar kelib chiqadi. 
𝑢𝑢
𝑘𝑘
(𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛) orqali 𝑆𝑆 simmetrik matritsa xos 
vektorlari normalangan sistemasini belgilaymiz:  
             
𝑆𝑆𝑢𝑢
𝑘𝑘
= 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝑢𝑢
𝑘𝑘
(𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛), (𝑢𝑢
𝑘𝑘
)
𝑇𝑇
𝑢𝑢
𝑙𝑙
= 𝛿𝛿
𝑘𝑘𝑒𝑒
(𝑘𝑘, 𝑙𝑙 = 1,2, … , 𝑛𝑛)      (7.49) 
va  
                                                
𝑢𝑢
𝑘𝑘
= 𝐹𝐹𝑧𝑧
𝑘𝑘
(𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                              (7.50) 
deb  olib, (7.48), (7.4
8′), (7.49), (7.50) tengliklardan  quyidagini topamiz:  
𝐷𝐷𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑘𝑘
,
(𝑧𝑧
𝑘𝑘
)
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑙𝑙
= 𝛿𝛿
𝑘𝑘𝑙𝑙
,     𝑘𝑘, 𝑙𝑙 = 1,2, … , 𝑛𝑛  
ya’ni 3) tasdiq isbotlandi va teorema 7.8. to’la isbotlandi.  
(7.46) dan 
𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
  ustunlarni chiziqli bog’liqmasligi kelib chiqadi.  
                                                
∑
𝑐𝑐
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 0
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
                                               (7.51) 
bo’lsin. U xolda ixtiyoriy 
𝑖𝑖(1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛) uchun (7.46) ga asosan  
0 = (𝑧𝑧
𝑙𝑙
)
𝑇𝑇
𝐵𝐵 �� 𝑐𝑐
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
� = � 𝑐𝑐
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑙𝑙
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
= 𝑐𝑐
𝑙𝑙
 
bo’ladi.  Shunday  qilib, (7.51)  da  barcha 
𝑐𝑐
𝑙𝑙
(𝑙𝑙 = 1,2, … , 𝑛𝑛)  nolga  teng  va 
𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
 ustunlar orasida hech qanday chiziqli bog’liqlik mavjud emas.  
 
(7.46)  munosabatni  qanoatlantiruvchi 
𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
  bosh  ustunlardan 
tuzilgan  
Z
= (𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
) = (𝑧𝑧
𝑖𝑖𝑘𝑘
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
 
matritsani  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  formalar  dastasi  uchun  bosh  matritsa  deyiladi.  𝑍𝑍 
matritsa  xosmas 
(|𝑧𝑧| ≠ 0)  matritsa  bo’ladi,  chunki  uning  ustunlari  chiziqli 
bog’lanmagan.  

 
180 
 
(7.45)  ning  ikkala  tomonini  chapdan 
𝑧𝑧
𝑙𝑙
𝑇𝑇
  satr  matritsaga  ko’paytirib, 
quyidagini xosil qilamiz  
                             
 𝑧𝑧
𝑖𝑖
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝑧𝑧
𝑖𝑖̇
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝛿𝛿
𝑖𝑖,𝑘𝑘
(𝑖𝑖, 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)              (7.52) 
𝑍𝑍 = (𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
)  bosh  matritsani  kiritib, (7.46)  va  (7.52)  ni  quyidagi 
ko’rinishda ifodalashimiz mumkin.  
                             
 𝑍𝑍
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑍𝑍 = �𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝛿𝛿
𝑖𝑖,𝑘𝑘
�
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
,   𝑍𝑍
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑍𝑍 = 𝐸𝐸                                 (7.53) 
(7.53) formulalardan ko’rinadiki,  
                                                 
𝑥𝑥 = 𝑍𝑍𝑄𝑄                                                           (7.54) 
xosmas almashtirish 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 va 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 kvadratik formalarni  
                                               
∑
𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑄𝑄
𝑘𝑘
2
     va      ∑
𝑄𝑄
𝑘𝑘
2
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
                             (7.55) 
kvadratlar yig’indisiga keltiradi.  
 
(7.54)  almashtirishning  bu  xossasi 
𝑍𝑍  bosh  matritsani  xarakterlaydi. 
Xaqiqatan, (7.54)  almashtirish 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  va  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  formalarni  (7.55)  kanonik 
ko’rinishga keltirsin. U holda (7.53) tenglik o’rinli bo’lib, 
𝑍𝑍 matritsa  ustunlari 
uchun (7.46) va (7.52) tengliklar o’rinli bo’ladi.  
(7.53)  dan 
𝑍𝑍  ni  xosmas  (|𝑧𝑧| ≠ 0)  matritsa  ekanligi  kelib  chiqadi.  (7.52) 
tenglikni quyidagicha yozamiz:  
                                              
𝑧𝑧
𝑖𝑖
𝑇𝑇
(𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
− 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
) = 0  (𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛),         (7.56) 
bu yerda 
𝑘𝑘 −  ixtiyoriy  fiksirlangan  qiymatga  ega 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛.  (7.56) tengliklar 
sistemasini bitta tenglikka keltirish mumkin 
𝑍𝑍
𝑇𝑇
(𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
− 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
) = 0,    
bundan,  
𝑍𝑍
𝑇𝑇
− xosmas bo’lgani uchun  
𝐴𝐴𝑧𝑧
𝑘𝑘
− 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑘𝑘
= 0 
ni, ya’ni ixtiyoriy 
𝑘𝑘 uchun (7.45) ni xosil qilamiz.  
Demak, 
𝑍𝑍 − bosh matritsa. Shunday qilib, quyidagi teoremani isbotladik.    
Teorema 7.9. Agar   
𝑍𝑍 = (𝑧𝑧
𝑖𝑖𝑘𝑘
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
 
 matritsa  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − λ𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  formalar  regulyar  dastasining  bosh  matritsasi 
bo’lsa, u xolda  

 
181 
                                                          
𝑥𝑥 = 𝑍𝑍𝑄𝑄                                                  (7.57)                
almashtirish  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  𝑣𝑣𝑣𝑣  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  formalarni bir vaqtda mos ravishda  
                                         � 𝜆𝜆
𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑄𝑄
𝑘𝑘
2
            𝑣𝑣𝑣𝑣              � 𝑄𝑄
𝑘𝑘
2
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
                                       (7.58)            
kvadratlar yig’indisiga keltiradi, bu yerda  
𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
  lar 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
dastaning 
𝑍𝑍  matritsa  𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
    ustunlariga  mos  keluvchi  xarakteristik 
sonlari.  
 
Aksincha,  qandaydir  (7.57)  almashtirish 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  va  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  kvadratik 
formalarni bir vaqtda (7.58) ko’rinishga keltirsa, u holda 
𝑍𝑍 = (𝑧𝑧
𝑖𝑖𝑘𝑘
)
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
 matritsa 
formalarning 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
dastasi bosh matritsasi bo’ladi.  
 
Misol. 7.3. Umumlashgan koordinatalar sistemasida  
                                      
2𝑥𝑥
2
− 2𝑦𝑦
2
− 3𝑧𝑧
2
− 10𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥𝑧𝑧 − 4 = 0              (7.59)   
ikkinchi tartibli sirt tenglamasi va  
                                 
2𝑥𝑥
2
+ 3𝑦𝑦
2
+ 2𝑧𝑧
2
+ 2𝑥𝑥𝑧𝑧 = 1                                       (7.60) 
birlik sfera tenglamasi berilgan. (7.59) tenglamani  bosh o’qlarga keltirish talab 
qilinadi.  
 
Bu holda  
𝐴𝐴 = �
2
0
1
0 −2 −5
1 −5 −3
� ,          𝐵𝐵 = �
2 0 1
0 3 0
1 0 2
� 
 
 
Dastaning  xarakteristik  tenglamasi  quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:  
                              
�
2 − 2𝜆𝜆  
0
 1 − 𝜆𝜆
0  
  −2 − 3𝜆𝜆
−5
1 − 𝜆𝜆
 −5
 − 3 − 2𝜆𝜆
� = 0                           (7.61)      
 
Bu tenglama 
𝜆𝜆
1
= 1, 𝜆𝜆
2
= 1,   𝜆𝜆
3
= −4  uchta ildizga ega. 𝜆𝜆
1
= 1 xarakteristik 
songa  mos  bosh  vektor  koordinatalarini 
𝑢𝑢, 𝜗𝜗,   𝜔𝜔  bilan  belgilaymiz.  𝑢𝑢, 𝜗𝜗,   𝜔𝜔 

 
182 
miqdorlarni  koeffitsientlari  (7.61)  aniqlovchi  elementlari  bilan  ustma-ust 
tushuvchi quyidagi sistemadan topamiz.  
0 ∙ 𝑢𝑢 + 0 ∙ 𝜗𝜗 + 0 ∙ 𝜔𝜔 = 0 
0 ∙ 𝑢𝑢 − 5 ∙ 𝜗𝜗 − 5 ∙ 𝜔𝜔 = 0 
                                             
0 ∙ 𝑢𝑢 − 5 ∙ 𝜗𝜗 − 5 ∙ 𝜔𝜔 = 0. 
Bundan,   
𝜗𝜗 + 𝜔𝜔 = 0 
𝜆𝜆 = 1  xarakteristik  songa  ikkita  ortonormallangan  bosh  vektor  javob  berishi 
kerak.  Birinchi  vektor  koordinatalarini  ixtiyoriy  ravishda 
𝜗𝜗 + 𝜔𝜔 = 0  shartni 
qanoatlantiradigan qilib olamiz. Ularni 
𝑢𝑢 = 0,    𝜗𝜗,   𝜔𝜔 = −𝜗𝜗 dek tanlaymiz.  
Ikkinchi bosh  vektor koordinatalarini  
𝑢𝑢
′
,
𝜗𝜗
′
,      𝜔𝜔
′
= −𝑣𝑣
′
 
dek tanlab, ortogonallik sharti 
(𝑧𝑧
′
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑧𝑧
2
= 0) ni yozamiz.  
2𝑢𝑢𝑢𝑢
′
+ 3𝜗𝜗𝜗𝜗
′
+ 2𝜔𝜔𝜔𝜔
′
+ 𝑢𝑢𝜔𝜔
′
+ 𝑢𝑢
′
𝜔𝜔 = 0 
Bundan, 
𝑢𝑢
′
= 5𝜗𝜗
′
  kelib  chiqadi.  Shunday  qilib,  ikkinchi  bosh  vektor 
koordinatalarini  
𝑢𝑢
′
= 5𝜗𝜗
′
,    𝜗𝜗
′
,    𝜔𝜔
′
= −𝜗𝜗′  bo’ladi. 
Shuningdek  xarakteristik  aniqlochida 
𝜆𝜆 = −4  deb olib, mos bosh vektor 
koordinatalarini  
𝑢𝑢
′′
,   𝜗𝜗
′′
= −𝑢𝑢
′′
,   𝜔𝜔
′′
= −3𝑢𝑢′′ 
ko’rinishda aniqlaymiz.  
 
𝜗𝜗,   𝜗𝜗
′
  𝑣𝑣𝑣𝑣  𝑢𝑢′′   miqdorlar  bosh  vektor  koordinatalari  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 1  birlik 
sferani qanoatlantirishi kerak degan shartdan topiladi, ya’ni (7.60)  tenglamadan 
topiladi. Bundan quyidagini topamiz:  
𝜗𝜗 =
1
√5
,    𝜗𝜗
′
=
1
3√5
,    𝑢𝑢
′′
= −
1
3
 
Shuning uchun bosh matritsa quyidagicha bo’ladi, 

 
183 
𝑍𝑍 =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
0
  
√5
3
  −
1
3
1
√5
    
1
3√5
      
1
3
−
1
√5
  −
1
3√5
      
2
3⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
 
mos  koordinatalarni  almashtirish 
𝑥𝑥 = 𝑍𝑍𝑄𝑄  (7.59)  va  (7.60)  tenglamalarni 
quyidagicha kanonik ko’rinishga keltiradi:  
𝑄𝑄
1
2
+ 𝑄𝑄
2
2
− 4𝑄𝑄
3
2
− 4 = 0                 𝑣𝑣𝑣𝑣                      𝑄𝑄
1
2
+ 𝑄𝑄
2
2
+ 𝑄𝑄
3
2
= 1. 
Birinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin  
𝑄𝑄
1
2
4 +
𝑄𝑄
2
2
4 −
𝑄𝑄
3
2
1 = 1
 
Bu    bir    yaproqli  aylanma  giperboloid  tenglamasi  bo’lib,  uning  haqiqiy  o’qi 
ikkiga,  mavxum  o’qi  birga  teng.  Aylanish    o’qi  orti  koordinatalari 
𝑧𝑧  matritsa 
uchinchi  ustunidan  aniqlanadi,  ya’ni  ular 
−
1
3
,   
1
3
,    
2
3
  ga  teng.  Qolgan  ikkita 
ortogonal o’qlar koordinatalari birinchi va ikkinchi ustunlarda beriladi.  
 
§8. Formalar regulyar dastasi harakteristik  
sonlarining ekstremal xossasi. 
Bizga  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 = � 𝑣𝑣
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑘𝑘
         𝑣𝑣𝑣𝑣      𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = � 𝑏𝑏
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑥𝑥
𝑘𝑘
 
kvadratik  formalar  berilgan  bo’lib, 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 − musbat aniqlanga bo’lsin. 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 −
𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 − regulyar dasta xarakteristik sonlari  
                                             
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
                                  (7.62) 
shartni  qanoatlantirsin. Bu xarakteristik sonlarga mos bosh vektorlarni  
𝑧𝑧
𝑘𝑘
= (𝑧𝑧
1𝑘𝑘
, 𝑧𝑧
2𝑘𝑘
, . . , 𝑧𝑧
𝑛𝑛𝑘𝑘
)
𝑡𝑡
  (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛) 
bilan  belgilaymiz.  

 
184 
O’zgaruvchilarni  bir  vaqtda  nolga  teng  bo’lmagan 
(𝑥𝑥 ≠ 0)  barcha 
mumkin  bo’lgan  qiymatlarini  qarab,  formalarni   
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
  nisbatining  eng  kichik 
qiymati (minimumi) ni aniqlaymiz. Buning uchun  
𝑥𝑥 = 𝑍𝑍𝑄𝑄    (𝑥𝑥
𝑖𝑖
= � 𝑧𝑧
𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑖𝑖,𝑘𝑘=1
𝑄𝑄
𝑘𝑘
, 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛) 
almashtirish    yordamida  yangi   
𝑄𝑄
1
, 𝑄𝑄
2
, … , 𝑄𝑄
𝑛𝑛
  o’zgaruvchilarga  o’tish  qulaydir.  
Bu yerda   
𝑧𝑧  berilgan  dastaning  bosh  matritsasi.  Yangi  o’zgaruvchilarda 
qaralayotgan formalar nisbati quyidagi ko’rinishni oladi:  
                                            
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
=
𝜆𝜆
1
𝑄𝑄
1
2
+𝜆𝜆
2
𝑄𝑄
2
2
+⋯+𝜆𝜆
𝑛𝑛
𝑄𝑄
𝑛𝑛
2
𝑄𝑄
1
2
+𝑄𝑄
2
2
+⋯+𝑄𝑄
𝑛𝑛
2
                                   (7.63)                       
Son  o’qida 
𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
  sonlarga  mos 
𝑛𝑛  ta  nuqtalar  olib,  bu  nuqtalarga 
mos  ravishda   
𝑚𝑚
𝑖𝑖
= 𝑄𝑄
𝑖𝑖
2
,     𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛  massalarni
 
qo’yamiz.  U  holda, (7.63) 
formulaga  asosan 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
  nisbat bu sonli  nuqtalarning massalar markazi bo’ladi. 
Shuning uchun  
𝜆𝜆
1
≤
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
 
munosabat o’rinli bo’ladi.  
Bu tengsizlikning birinchi qismida qachon tenglik bajarilishini aniqlaymiz. 
Buning uchun (7.62) da teng xarakteristik sonlarni ajratamiz. 
                                       
 𝜆𝜆
1
= ⋯ = 𝜆𝜆
𝑝𝑝
1
< 𝜆𝜆
𝑝𝑝
1
+1
= ⋯ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
1
+𝑝𝑝
2
< ⋯              (7.64)      
 
𝜆𝜆
1
 nuqtadan boshqa nuqtalardagi massalar nolga teng ya’ni  
𝑄𝑄
𝑃𝑃
1
+1
= ⋯ = 𝑄𝑄
𝑁𝑁
= 0 
bo’lgandagina  va  faqat shu holda og’irlik markazi   shu 
𝜆𝜆
1
  nuqtaga  tushadi. Bu 
holda  mos 
𝑥𝑥  bosh  ustunlar,  𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
  larning  chiziqli  kombinatsiyasidan 
iborat  bo’ladi.  Ammo,  bu  barcha  ustunlar 
𝜆𝜆
1
  ga  teng  xarakteristik  songa  javob 
beradi, u holda  
𝑥𝑥    𝜆𝜆 = 𝜆𝜆
1
 uchun bosh ustun (vektor) bo’ladi. 
 
Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotladik.  
Teorema.7.10                      
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
regulyar dastaning eng kichik xarakteristik soni  

 
185 
𝜆𝜆
1
= 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
 
bu minimum 
𝜆𝜆
1
 xarakteristik son uchun bosh bo’lgan vektorlardagina erishiladi.  
Shunga  o’xshash  ,,minimallik”  xarakteristikasini  keyingi 
𝜆𝜆
2
  xarakteristik 
son uchun ham berish uchun 
𝑧𝑧
1
 vektorga ortogonal bo’lgan, ya’ni  
𝑧𝑧
1𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0 
tenglamani qanoatlantiruvchi barcha 
𝑥𝑥 vektorlarni qarash bilan chegaralanamiz.  
 
Bunday vektorlar uchun  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 =
𝜆𝜆
2
𝑄𝑄
2
2
+ ⋯ + 𝜆𝜆
𝑛𝑛
𝑄𝑄
𝑛𝑛
2
𝑄𝑄
2
2
+ ⋯ + 𝑄𝑄
𝑛𝑛
2
 
bo’lib,  
𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝜆𝜆
2
> �𝑧𝑧
1𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0� 
bo’ladi. Bunda tenglik belgisi, faqat  
𝜆𝜆
2
  xarakteristik son uchun bosh bo’lib, 𝑧𝑧
1
 
ga ortogonal  bo’lgan vektorlardagina bajariladi.  
 
Boshqa xarakteristik sonlarga ham o’tib, quyidagi teoremaga kelamiz.  
 
Teorema.7.11  Ixtiyoriy 
𝑝𝑝  (1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛)  uchun  (7.62)  qatordagi  𝜆𝜆
𝑝𝑝
 
xarakteristik son  
  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
  nisbat minimumidan iborat, ya’ni  
                                                        
𝜆𝜆
𝑝𝑝
= 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
                                       
bo’lib, 
𝑥𝑥  vektor  𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑝𝑝−1
  ortonormallangan  bosh  vektorlarga  ortogonal, 
ya’ni  
                                  
𝑧𝑧
1𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0, 𝑧𝑧
2𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0, … , 𝑧𝑧
𝑝𝑝−1𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0                 (7.65) 
bo’ladi.  
Bunda  (7.65)  shartlarni  qanoatlantirib, 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
  xarakteristik  son  uchun  bosh  vektor 
bo’lgan vektorlardagina minimumga erishiladi.  
Teorema  7.11ni  qo’llashning  noqulayligi  shundan  iboratki,  unda 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
 
xarakteristik son avvalgi 
𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑝𝑝−1
 bosh vektorlarga bog’liq bo’lib, bu bosh 
vektorlar  ma’lum bo’lgandagina  teoremani  qo’llash  mumkin. Bundan tashqari 
bosh vektorlarni  tanlash ma’lum ixtiyoriylikka ega.  

 
186 
Bu noqulaylikdan qutilish uchun 
𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
 o’zgaruvchilarga qo’yilgan 
bog’lanishlar haqida tushuncha kiritamiz.  
𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
 o’zgaruvchilarning  
         
𝐿𝐿
𝑘𝑘
(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙
1𝑘𝑘
𝑥𝑥
1
+ 𝑙𝑙
2𝑘𝑘
𝑥𝑥
2
+ ⋯ + 𝑙𝑙
𝑛𝑛𝑘𝑘
𝑥𝑥
𝑛𝑛
,   (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)            (7.65′) 
chiziqli formasi berilgan bo’lsin. 
 
𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
  o’zgaruvchilarga  yoki 
𝑥𝑥  vektorga  𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑛𝑛
    h  ta 
bog’lanishlar qo’yilgan deyiladi, agarda faqat  
                           
 𝐿𝐿
𝑘𝑘
(𝑥𝑥) = 0    (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                                                 (7.65′′) 
tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi o’zgaruvchilargina qaralsa.  
 
(7.65′)  dagi  belgilashlarni  saqlab  qolgan  holda  ixtiyoriy  chiziqli  forma 
uchun quyidagicha belgilash kiritamiz:  
                           
𝐿𝐿�
1
(𝑥𝑥) = 𝑧𝑧
𝑘𝑘𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥      (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                                    (7.66)    
Bundan tashqari 
(7.65′′) bog’lanishlar qo’yilgan vektorlar uchun 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
   ni 
quyidagicha belgilaymiz:  
𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑛𝑛
�. 
Bu belgilashlarda (1,64) quyidagicha yoziladi  
                            
𝐿𝐿
𝑝𝑝
= 𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿�
1
, 𝐿𝐿�
2
, … , 𝐿𝐿�
𝑝𝑝−1
� (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛).                   (7.67)               
Endi  
                            
𝐿𝐿
1
(𝑥𝑥) = 0, 𝐿𝐿
2
(𝑥𝑥) = 0, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
(𝑥𝑥) = 0,                            (7.68) 
va 
                            
𝐿𝐿�
𝑝𝑝+1
(𝑥𝑥) = 0, … , 𝐿𝐿�
𝑛𝑛
(𝑥𝑥) = 0                                               (7.88)            
bog’lanishlarni qaraymiz. (7.68) va (7.69) dagi bog’lanishlar soni 
𝑛𝑛 dan kichik 
bo’lgani  uchun  bu  bog’lanishlarning  xammasini  qanoatlantiruvchi 
𝑥𝑥
(1)
≠ 0 
vektor  mavjud  bo’ladi. (7.69)  bog’lanishlar 
𝑥𝑥  vektorni  𝑧𝑧
𝑝𝑝+1
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
  bosh 
vektorlar  bilan  ortogonalligini  ifodalaydi,  shuning  uchun 
𝑥𝑥
(1)
  vektor 
koordinatalarida  
𝑄𝑄
𝑝𝑝+1
= ⋯ = 𝑄𝑄
𝑛𝑛
= 0 bo’lib, (7.63) ga asosan 
𝑥𝑥
(1)
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
(1)
𝑥𝑥
(1)
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
1
=
𝜆𝜆
1
𝑄𝑄
1
2
+ ⋯ + 𝜆𝜆
𝑝𝑝
𝑄𝑄
𝑝𝑝
2
𝑄𝑄
1
2
+ ⋯ + 𝑄𝑄
2
2
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
 

 
187 
bo’ladi. Ammo bu holda  
𝜇𝜇(
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
) ≤
𝑥𝑥
(1)
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
(1)
𝑥𝑥
(1)
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
1
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
 
 
Bu  tengsizlik  (7.67)  bilan  birga  qaralganda  ko’rinadiki, 
𝜇𝜇  miqdor 
𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
  bog’lanishlarda 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
  dan  ortmay, 
𝐿𝐿�
1
, 𝐿𝐿�
2
, … , 𝐿𝐿�
𝑝𝑝−1
  maxsus 
bog’lanishlar olinganda 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
 ga erishadi.  
 
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.  
 
Teorema.  7.12.  Agar  biz  ixtiyoriy  p
−1  uchun  𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
  
bog’lanishlarda 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 −
 
ikkita forma nisbati minimumini qarab, bog’lanishlarni variatsiyalasak, u holda 
bu minimumlarning maksimumi  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
 ga teng, ya’ni  
                                
𝜆𝜆
𝑝𝑝
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛)          (7.70)               
bo’ladi.  
 
Teorema.  7.11. 
𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
   xarakteristik  sonlarni  “minimumlik” 
xarakteristikasini, 
Teorema. 
7.12 
esa  “maksimal 
– 
minimallik” 
xarakteristikasini beradi.  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
dastadagi 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  formani  −𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥  forma  bilan  almashtirganimizda  dastaning 
barcha  xarakteristik  sonlari  ishorasini  almashtirilib,  ularga  mos  bosh  vektorlar 
o’zgarmay qoladi. Shunday qilib,  
−𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
dastaning xarakteristik sonlari 
𝜆𝜆
𝑛𝑛
≤ −𝜆𝜆
𝑛𝑛−1
≤ ⋯ ≤ −𝜆𝜆
1
 bo’ladi.  
 
Bundan tashqari,  
                                              
𝛾𝛾 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
� = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
                      (7.71)                     
belgilash  kiritib,  variatsiyalanuvchi  vektorlarga 
𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
  bog’lanishlar 
qo’yilgan holda quyidagilarni yozishimiz mumkin  

 
188 
𝜇𝜇 �−
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
� = −𝛾𝛾(
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
) 
va  
𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �−
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
� = −𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝛾𝛾 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
ℎ
�. 
Shuning uchun, 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
 
nisbatga  7.10,  7.11,  7.12  teoremalarni  qo’llab, (7.64), (7.67), (7.70)  formulalar 
o’rniga mos ravishda quyidagilarni xosil qilamiz:  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥,
 
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
= 𝛾𝛾 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
�
𝑛𝑛
, 𝐿𝐿�
𝑛𝑛−2
, … , 𝐿𝐿�
𝑛𝑛−𝑝𝑝+2
�, 
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
= min �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� ,
(𝑝𝑝 = 2, … , 𝑛𝑛). 
Bu  formulalar 
𝜆𝜆
1
, 𝜆𝜆
2
, … , 𝜆𝜆
𝑛𝑛
  sonlarni  mos  ravishda  “maksimallik”  va 
“minimal  -  maksimallik”  xossalarini  aniqlaydi.  Bularni  teorema  ko’rinishida 
quyidagicha ifodalaymiz. 
 
Teorema. 7.13. 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
formalar regulyar dastasi xarakteristik sonlari  
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
 
bo’lib,  dastaning  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan  bosh  vektorlari 
𝑧𝑧
1
, 𝑧𝑧
2
, … , 𝑧𝑧
𝑛𝑛
 
bo’lsin. U holda  
1)   
𝜆𝜆
𝑛𝑛
− eng katta xarakteristik son formalar nisbati maksimumi, ya’ni  
                                     
𝜆𝜆
𝑛𝑛
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑡𝑡
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑡𝑡
𝐵𝐵𝑥𝑥
                                                     (7.72)  
bo’lib,  bu  maksimumga  faqat  dastaning 
𝜆𝜆
𝑛𝑛
   xarakteristik  soniga  mos 
vektorlaridagina erishiladi.  
2)  Oxiridan 
𝑝𝑝 − 
xarakteristik 
son 
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
            (2 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛)   
variatsiyalanuvchi 
𝑥𝑥 vektorga  

 
189 
                                       
𝑧𝑧
𝑛𝑛
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0,     𝑧𝑧
𝑛𝑛−1
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0,    𝑧𝑧
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 0      (7.73)                                  
bog’lanishlar qo’yilgan shartda shu formalar nisbati maksimumi bo’ladi 
                                       
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
                                                (7.74) 
ya’ni  
                                     
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
= 𝛾𝛾 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿�
𝑛𝑛
, 𝐿𝐿�
𝑛𝑛−1
, … , 𝐿𝐿�
𝑛𝑛−𝑝𝑝+2
�                       (7.75) 
Bu  maksimumga  faqat  dastaning 
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
  xarakteristik  soniga  mos  va  (7.73) 
shartlarni qanoatlantiruvchi bosh vektorlaridagina erishiladi.  
3)  Agar  
𝐿𝐿
1
(𝑥𝑥) = 0, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
(𝑥𝑥) = 0    (2 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛) 
bog’lanishlardagi 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
 
formalar nisbati maksimumida bog’lanishlar variatsiyalansa, u holda bu 
maksimumlarning eng kichik qiymati (minimumi) 
𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
 ga teng, ya’ni  
                              
 𝜆𝜆
𝑛𝑛−𝑝𝑝+1
= 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝛾𝛾 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
�                              (7.76)   
Quyidagi 
ℎ ta o’zaro bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar berilgan bo’lsin  
                             
𝐿𝐿
1
0
(𝑥𝑥) = 0, 𝐿𝐿
2
0
(𝑥𝑥) = 0, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
(𝑥𝑥) = 0                               (7.77)                                
U holda bu bog’lanishlar yordamida 
𝑥𝑥
1
, 𝑥𝑥
2
, … , 𝑥𝑥
𝑛𝑛
  o’zgaruvchilarni 
ℎ tasini 
qolganlari orqali ifodalash mumkin. Qolgan o’zgaruvchilarni  
𝑣𝑣
1
, 𝑣𝑣
2
, … , 𝑣𝑣
𝑛𝑛−ℎ
 lar 
bilan belgilaymiz. Shuning uchun (7.77) bog’lanishlar qo’yilganda 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
formalarning regulyar dastasi 
𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝐴𝐴
0
𝑣𝑣 − 𝜆𝜆𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝐵𝐵
0
𝑣𝑣 
dastaga  o’tib, 
𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝐵𝐵
0
𝑣𝑣 − yana musbat aniqlangan forma bo’ladi. Keying dasta 
faqat 
𝑛𝑛 − ℎ ta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgani uchun  u  
                                                
𝜆𝜆
1
0
≤ 𝜆𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛−ℎ
0
                                     (7.78)               
𝑛𝑛 − ℎ ta xarakteristik songa ega bo’ladi.  

 
190 
 
(7.77) bog’lanishlarni  qo’yganda barcha o’zgaruvchilarni 
𝑛𝑛 − ℎ ta o’zaro 
bog’liq  bo’lmagan 
𝑣𝑣
1
, 𝑣𝑣
2
, … , 𝑣𝑣
𝑛𝑛−ℎ
  lar  bilan  xar  xil  ifodalash  mumkin.  Ammo 
(7.78)  xarakteristik  sonlar  bu  xar  xillikka  bog’liq  bo’lmay,  to’la  aniqlangan 
qiymatlarga ega bo’ladi. Bu hech bo’lmaganda xarakteristik sonlarning minimal 
– makimal xossalaridan kelib chiqadi   
                                   
𝜆𝜆
1
0
= 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝐴𝐴
0
𝑣𝑣
𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝐵𝐵
0
𝑣𝑣
= 𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿
1
0
, 𝐿𝐿
2
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
�                       (7.79)                         
va  umumiy xolda  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
0
𝐵𝐵
0
; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� = 
                               = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵
; 𝐿𝐿
1
0
, 𝐿𝐿
2
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
; 𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
�                       (7.80) 
shu  bilan  birga  (7.80)  formulada  faqat 
𝐿𝐿
1
, 𝐿𝐿
2
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
  bog’lanishlar 
variatsialanadi.  
Teorema 7.14.  Agar 
  𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
,
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
formalarning regulyar  dastasi xarakteristik sonlar bo’lib, 
𝜆𝜆
1
0
≤ 𝜆𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛−ℎ
0
 
esa  shu  dastaga 
ℎ  ta  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  bog’lanishlar  qo’yilgandagi 
xarakteristik sonlar bo’lsa, u holda  
                                   
𝜆𝜆
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝+ℎ
  (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − ℎ)                        (7.81) 
Isboti. 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
  tengsizlik  (7.70)  va  (7.80)  formulalardan  kelib  chiqadi. 
Xaqiqatan, yangi bog’lanishlar qo’shilganda 
𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� 
minimum miqdori ortadi  yoki o’zgarmay qoladi. Shuning uchun  
𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� ≤ 𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� 
bo’lib,  bundan 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� ≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
= max �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
�              
kelib chiqadi.  

 
191 
 
(7.81) tengsizlikning ikkinchi qismi quyidagi munosabatga ko’ra o’rinli 
bo’ladi.  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
= 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
�
≤ 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
, 𝐿𝐿
𝑝𝑝
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝+ℎ−1
� = 𝜆𝜆
𝑝𝑝+ℎ.
 
Bu yerda, birinchi qismda faqat 
𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
 bog’lanishlar variatsialanadi, ammo 
𝐿𝐿
𝑝𝑝
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝+ℎ−1
 lar fiksirlangan  
𝐿𝐿
1
0
, … , 𝐿𝐿
ℎ
0
  bog’lanishlar bilan almashtiriladi.  
                             
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 va 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥                                  (7.82) 
formalarning  regulyar dastalari berilgan bo’lib, 
𝑥𝑥 ≠ 0  da  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 ≤
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥
                    
bo’lsin. U holda  
𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴
𝐵𝐵 ; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
� ≤ 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥𝜇𝜇 �
𝐴𝐴̃
𝐵𝐵�
; 𝐿𝐿
1
, … , 𝐿𝐿
𝑝𝑝−1
�      (𝑝𝑝 = 1,2, … 𝑛𝑛) 
bo’ladi.  Shuning uchun (7.82)  dagi dastalarining  xarakteristik sonlarini mos 
ravishda  
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
  va 
𝜆𝜆̃
1
≤ 𝜆𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆̃
𝑛𝑛
 
 lar bilan belgilab,  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
    (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛) 
tengsizlikka ega bo’lamiz.  
 
Demak, quyidagi teorema o’rinli  
Teorema 7.15. Agar (7.82) regulyar dastalar berilgan bo’lib, 
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
  va 
𝜆𝜆̃
1
≤ 𝜆𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆̃
𝑛𝑛
 
 mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda  
                                                     
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥
≤
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴�𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥
                                               (7.83)                                                         
ayniy munosabatdan  
                              
𝜆𝜆
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
                 (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                                    (7.84)               
kelib chiqadi.  
 
(7.83) tengsizlikda  

 
192 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥 
bo’lgan xususiy xolni qaraylik. Bu holda     
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 
manfiymas kvadratik forma bo’lib, o’zaro bog’liq bo’lmagan musbat kvadratlar 
ko’rinishida yozilishi mumkin:  
                                                    
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + ∑ [Χ
i
(x)]
2
𝑟𝑟
𝑖𝑖=1
 
U holda  r   o’zaro bog’liq bo’lmagan  
                                                   
𝑋𝑋
1
(𝑥𝑥) = 0, 𝑋𝑋
2
(𝑥𝑥) = 0, … , 𝑋𝑋
𝑟𝑟
(𝑥𝑥) = 0,  
bog’lanishlar qo’yganimizda 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 va  𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥 
formalar ustma – ust tushib, (7.82) dastalar bir hil  
𝜆𝜆
1
0
≤ 𝜆𝜆
2
0
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛−2
0
 
xarakteristik ildizlarga ega bo’ladi:  
 
(7.82) dagi xar bir dastaga teorema 7.14 ni qo’llab,  
𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
0
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝+2
                   (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − 2) 
ga  ega bo’lamiz. Bunga (7.84) ni birlashtirib, quyidagi teoremaga  kelamiz.  
Teorema 7.16.  Agar (7.82) dagi dastalar uchun 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴̃𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 + �[Χ
i
(x)]
2
𝑟𝑟
𝑖𝑖=1
 
bu    yerda 
𝑋𝑋
𝑖𝑖
(𝑥𝑥)(𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟)  -  o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  chiziqli  formalar, 
(7.84) shart bajarilib, 
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
 va 
𝜆𝜆̃
1
≤ 𝜆𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆̃
𝑛𝑛
 
mos ravishda ularning xarakteristik sonlari bo’lsa, u holda  
𝜆𝜆
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝+𝑟𝑟
     (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛)              (7.85) 
tengsizlik  o’rinli bo’ladi.  
 
Xuddi shuningdek quyidagi teoremani ham isbotlash  mumkin.  
Teorema 7.17. Agar  
𝜆𝜆
1
≤ 𝜆𝜆
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆
𝑛𝑛
 va 
𝜆𝜆̃
1
≤ 𝜆𝜆̃
2
≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆̃
𝑛𝑛
 
lar mos ravishda 

 
193 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥  va 𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝜆𝜆𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥 
dastalarning xarakteristik sonlari bo’lib, 
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵�𝑥𝑥 
forma  
𝑥𝑥
𝑇𝑇
𝐵𝐵𝑥𝑥 
formaga 
𝑟𝑟 ta  musbat kvadratlarni qo’shib hosil qilinsa, u holda  
                                  
𝜆𝜆
𝑝𝑝−𝑟𝑟
≤ 𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
≤ 𝜆𝜆
𝑝𝑝
     (𝑝𝑝 = 1,2, … , 𝑛𝑛)                              (7.86)                   
tengsizlik o’rinli bo’ladi.  
 
Eslatma. Agar 
𝑟𝑟 ≠ 0 chekli bo’lsa, teorema (7.16) va teorema (7.17)  
larga mos ravishda qandaydir 
𝑝𝑝 da 
𝜆𝜆
𝑝𝑝
< 𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
 va 
𝜆𝜆̃
𝑝𝑝
< 𝜆𝜆
𝑝𝑝
 
ga  ega bo’lamiz.