O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi buxoro oziq-ovqat va yengil sanoat texnologiyasi instituti «Menejment» kafedrasi

Normal chiziqli tenglamalar sistemasining koeffitsientlarini hisoblash. 
Xo`jal
iklar 
1 ga mi-
neral 
o`g’itlar 
(shartli 
birliklarda)
, s/ga, x 
Paxta 
hosil-
dorligi, 
s/ga, y 
x
2
y
2
y∙x 

,
,
у
х
х


1 2 7 0 6
3 6 4 7
43
,
4



›
›
›
hosila 
ishorasi 
у
у
у



2 8 8
,
hosila 
ishoras
i 
2
)
ˆ
(
x
y
A 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
1 - 
2 - 
3 - 
4 - 
5 - 
6 - 
7 - 
3 
3 
4 
4 
5 
6 
6 
25 
20 
28 
30 
31 
35 
33 
9 
9 
16 
16 
25 
36 
36 
625 
400 
784 
900 
961 
1225 
1089 
75 
60 
112 
120 
155 
210 
198 
23,65 
23,65 
27,29 
27,29 
30,94 
34,59 
34,59 
- 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
559,32 
559,32 
744,44 
744,44 
957,28 
1196,4 
1196,4 
Jami 

x=31 

y=202 

x
2
=
147 

y
2
=5
984 

xy= 
930 
202 
Bu ma`lumotlarni (10.1) formulaga qo`yib, normal chiziqli tenglamalar 
tizimini ushbu ko`rinishda yozishimiz mumkin. 
7
3 1
2 0 2
3 1
1 4 7
9 3 0
0
1
0
1
а
а
а
а




bundan (10.2) binoan 
706
,
12
68
864
)
31
(
147
7
31
930
147
202
2
0








a
; 
(10.3) ga binoan esa 
647
,
3
68
248
)
31
(
147
7
31
202
7
930
2
1








a
. 
SHunday qilib korrelyatsion bog’lanish regressiyasining to`g’ri chiziqli 
tenglamasi quyidagicha: 
x
y
x
647
,
3
706
,
12
ˆ


Demak, g’o`zaga berilgan har bir tsentner o`g’it hosildorlikni o`rtacha 
3,65 s/ga oshiradi. O`g’it berilmagan maydondan 12,7 s/ga hosil olinishi nazariy 
jihatdan kutiladi. Bu tenglamaga x ning har bir qiymatini qo`yib, mineral 
o`g’itgagina bog’liq bo`lgan hosildorlikning nazariy darajalarini aniqlash 
mumkin. (10.2-jadval, 6-ustunga qarang) 
Paxta hosildorligining haqiqiy va ushbu nazariy darajalari orasidagi 
farqlar boshqa noma`lum omillar ta`siri ostida yuzaga chiqqan. Regressiya 

---

81 
tenglamasining a
0
hadi ozod had deb ataladi va u musbat yoki manfiy 
qiymatlarga ega bo`lishi mumkin. 
Bog’lanish zichligini baholashda haqiqatga qo`pol yaqinlashish sifatida 
nemis psixiatri G.T.Fexner taklif qilgan me`yordan foydalanish mumkin. Bu 
ko`rsatkich bir xil ishorali juft tafovutlar soni bilan har xil ishorali juft tafovutlar 
soni orasidagi ayirmani bu sonlarning yig’indisiga nisbati bilan aniqlanadi: 




B
+
A
B
-
A
=
Fexner
K
(9.4) 
Bu erda 

A- bir xil ishoraga ega bo`lgan 
x
x
y
y


в а
ayirmalarini 
umumiy soni; 

B - har xil ishorali 
x
x
y
y


в а
ayirmalarini umumiy soni. 
10.2-jadval 7 va 8-ustunlarida 
x
x
y
y


в а
ayirmalarining ishoralari 
ko`rsatilgan. Bir-biriga mos juft ishoralar soni 

A=6, mos bo`lmagan juft 
ishoralar soni 

B=1. 
71
,
0
7
5
1
6
1
6
B
+
А
B
-
А
=









Fexner
K
Ammo Fexner koeffitsienti belgilarning o`rtachadan tafovutlarini hisobga 
olmaydi, vaholanki ular turlicha miqdoriy ifodaga ega bo`ladi. To`g’ri chiziqli 
bog’lanishning zichlik darajasi korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi: 




r
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
n
x y
x y
n
x y
x
y
n
x
x
n
y
y
x y
x
y
x
y


























(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
) )(
(
)
2
2
2
2
2
2
 
 
(9.5) 
Korrelyatsiya koeffitsienti -1 bilan +1 orasida yotadi. Musbat ishora 
to`g’ri bog’lanish, manfiy ishorada esa teskari bog’lanish ustida so`z boradi. 
9.2-jadval ma`lumotlariga binoan: 
913
.
0
)
31
31
147
7
)(
202
202
5984
7
(
31
202
930
7











xy
r
Korrelyatsiya va regressiya koeffitsientlari orasida quyidagicha o`zaro 
bog’lanish mavjud: 
x
y
y
x
xy
r
a
a
r






1
1
yoki
(9.6) 
Ozod had esa 
x
y
r
x
y
x
a
y
a






1
1
0
ˆ
Korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati determinatsiya koeffitsienti deb 
ataladi va u natijaviy belgi umumiy o`zgaruvchanligining qaysi qismi 
o`rganilayotgan omil x hissasiga to`g’ri kelishini ko`rsatadi. 

---

82 
9.4. Ranglar korrelyatsiya koeffitsienti 
Juft bog’lanish zichligini baholash me`yori sifatida ingliz psixiatri 
CH.Spirmen tomonidan taklif etilgan ranglar korrelyatsiya koeffitsientidan ham 
foydalanish mumkin. Ranglar - bu saflangan qatorda to`plam birliklari uchun 
berilgan tartib raqamlari. Agar X va Y belgilar uchun ranglarni
i
x
P
, 
i
y
P
orqali 
belgilasak, ularning korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi ko`rinishga ega: 
r
P
x
P
y
P
x
i
P x
P
y
i
P
i
n
P
x
i
P x
i
n
P
y
i
P
i
n
у
у











(
) (
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
(9.7) 
Bu erda 
P x
P у
в а
- 1 ...n
natural sonlar qatorining o`rtacha ranglari. 
Ma`lumki, natural sonlar qatorining o`rtachasi (n+2)/2 ga teng, ularning 
o`rtachadan 
tafovutlari 
kvadratlarining 
yig’indisi, 
ya`ni 
(
)
(
)
P
x
i
P
n
n
P
P
n
n
x
y
у
i








2
3
2
3
1 2
1 2
в а
. Demak, (10.8) formula maxraji
(n
3
-n):12 ifodaga teng. 
Ranglar orasidagi farqlarni 
d
P
P
i
x
y
i
i


desak, u holda ularning 
kvadratlari yig’indisi: 






n
i
i
i
d
n
n
d
1
2
3
2
2
12
Bu ifoda ranglar korrelyatsiya koeffitsientining suratidir. Topilgan 
ifodalarni (10.8) ga qo`yib, quyidagi formulaga ega bo`lamiz: 
r
n
n
d
n
n
d
n
n
P P
i
i
n
i
i
n
x
y











(
)
3
2
1
3
2
1
3
1 2
2
2
1
6
(9.8) 
Bu erda 
i
i
У
X
i
P
Р
d


n - qator ranglar soni. 
Bu ifoda Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi. 
Bu ko`rsatkichni afzallik jihati shundan iboratki, son bilan ifodalab 
bo`lmaydigan belgilar uchun ham saflangan qatorlar tuzish mumkin. 
Endi 9-jadval ma`lumotlari asosida saflangan qatorlar tuzib, 1 ga g’o`zaga 
berilgan mineral o`g’it bilan paxta hosildorligi orasidagi bog’lanish zichligini 
Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsienti orqali baholaylik. 
9-jadval 
Mineral o`g’it sarfi va hosildorlik ranglari orasidagi bog’lanishni aniqlash 
Xo`jaliklar 
1 ga mineral 
o`g’itlar sarfi 
uchun ranglar P
xi
Hosildorlik 
ranglari P
yi
D=P
xi
-P
yi
d
2
1 
1 
2 
-1 
1 
2 
2 
1 
+1 
1 
3 
3 
3 
0 
0 

---

83 
4 
4 
4 
0 
0 
5 
5 
5 
0 
0 
6 
6 
7 
-1 
1 
7 
7 
6 
+1 
1 
jami 
28 
28 
0 
4 
993
.
0
336
24
1
7
7
4
6
1
3







y
x
P
P
r
Agarda belgilarning ayrim qiymatlari bir xil son bilan ifodalangan bo`lsa, 
ularning ranglarini turli ketma-ket keluvchi tartib sonlar bilan emas, balki 
ulardan olingan o`rtacha miqdorlar bilan ifodalash kerak. 
 
9.5. Guruhlangan ma`lumotlar asosida to`g’ri chiziqli regressiya tenglamasini 
aniqlash. Korrelyatsiya jadvali. 
Hisoblash ishlarining hajmini kamaytirish maqsadida to`plam birliklari 
omil (x) va natijaviy (y) belgilar bo`yicha kombinatsion shaklda guruhlanadi va 
natijada korrelyatsion jadval hosil bo`ladi. So`ngra uning ma`lumotlari asosida 
regressiya tenglamasining parametrlari aniqlanadi.
10-korrelyatsion jadvalda oraliqlar o`rtachalarini belgi variantalari deb 
qabul qilib, jadvalning har bir katagida 3 ta ma`lumot yozamiz. 
Chunonchi, katakning o`rtasida guruh takrorlanish (xo`jaliklar) soni n
xy
, 
yuqori chap burchagida xy ko`paytma, pastki o`ng burchakida esa ularning n
xy
ga 
ko`paytmasi xyn
xy
ko`rsatiladi (xususan 1-qator va 1-ustunga mos kelgan 
katakda n
xy
=10, xy

3

23

69, xyn
xy

69

10

690). Bulardan tashqari, jadvalda 
yig’indi va ko`paytma ko`rinishida umumiy ifodalar berilgan. Masalan, 












12
0
2
10
15
0
5
10
1
1
yx
xy
n
ny
n
nx
10-jadval 
Regressiya tenglamasini parametrlarini aniqlash uchun kerakli jamlama 
axborotlarni tayyorlash 
Paxta hosildorligi 
bo`yicha 
guruhlar,ts/ga 
20-26 
26-32 
32-38 
jami 
nx 
х n
x

х n
x
2

Ham-
ma 
1 ga 
mineral 
o`g’it 
sarfi 
bo`yicha 
guruhlar 
Oraliq 
o`rtacha 
qiymati 
y
x
23 
29 
35 
Si 
х у n
у x

x y 
2-4 
3 
69 
87 
105
10 
5 
0 
15 
45 
135 
690 
435 
0 
1125 
5 
115 
145 
175

---

84 
4-6 
2 
20 
8 
30 
150 
750 
230 
2900 
140
0 
4530 
6-8 
7 
161 
203 
245
0 
15 
1
0 
25 
175 1225 
0 
3045 
245
0 
5495 
Jami 
n
y
12 
40 
18 
70 
370 2110 1115
0 
y n
y

276 
1160 
630 
2066 
- 
- 
- 
y n
y
2

6348 
33640 
22050 
62038 
- 
- 
- 
x
yˆ
26.11 
29,09 
32,07 
29,4 
- 
- 
- 

y
x
n
yˆ
313.32 
1163,60 
577,26 
2054,18 
- 
- 
- 

x
x
n
y
2
ˆ
8180.79 
33849,12 
18512,73 
60542,6
4 
- 
- 
- 
9.4-jadval 
ma`lumotlariga 
asoslanib 
regressiya 
tenglamasining 
parametrlari bunday aniqlanadi: 
;
644
,
21
370
370
2110
70
370
11150
2110
2066
)
(
2
2
2
0
















 


x
x
x
xy
x
xy
xn
n
x
N
xn
xyn
n
x
yn
a
(9.9) 
48
.
1
370
370
2110
70
370
2066
11150
70
)
(
*
2
2
1













 


x
x
x
y
xy
xn
n
x
N
xn
yn
xyn
N
a
(9.10) 
Demak,
x
y
x
489
,
1
644
,
21



Gruppalangan ma`lumotlar bo`yicha regressiya tenglamasi parametrlarini 
hisoblash ularning aniqlik darajasini pasaytiradi, chunki bunda belgi qiymatlari 
uchun taqriban oraliqlar o`rtachasi olinadi. G’o`za mineral o`g’itlar bilan 
oziqlantirilmaganda xo`jaliklarda o`rtacha hosildorlik 21,64 s/ga bo`lishi 
mumkin edi. Har gektar g’o`zaga berilgan qo`shimcha o`g’it hosildorlikni 
o`rtacha 1.5 s

ga oshiradi.