O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg`ona davlat universiteti matematika va informatika fakulteti Matematika yo‘nalishi

Giperbola.
1. Ta’rifi, kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi berilgan ikkita 1 2 F , F nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati berilgan kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami giperbola deb ataladi. Giperbola ta’rifidagi berilgan kesma uzunligini 2a(a  0) bilan, fokuslari orasidagi masofani 2c(c  0) bilan belgilaymiz. 30 Albatta 2a  2c . 10-chizma Giperboladagi M nuqtaning F1, F2 gacha masofalari uning fokal radiuslari deyiladi va r1, r2 bilan belgilanadi, ya’ni r pF ,M , r pF ,M  1  1 2  2 . Giperbolaning ta’rifiga binoan r1  r2  2a (1.2.20) (1.2.20) tenglik faqat giperbolada yotgan M nuqtalar uchungina o’rinli. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz. Buning uchun dekart reperini ellips bilan ish ko’rganimizdek qilib tanlaymiz. (10-chizma). Fokuslar orasidagi masofa pF ,F  2c 1 2  bo’lgani uchun olingan reperga nisbatan  ,0,  ,0 1 2 F c F  c . Shu reperga nisbatan giperboladagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini x, y bilan belgilaydi


Ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning koordinatalar boshi, koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi. Giperbola Ox o’qni  ,0 A1 a va  ,0 A2  a nuqtalarda kesadi. (1.2.25) tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o’q bilan kesishmaydi. Haqiqatan (1.2.25) tenglamaga x  0 ni qo’ysak, 1 2 2   b y . Ravshanki, bu tenglik haqiqiy sonlar sohasida o’rinli bo’lmaydi. 1 2 A , A nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Shunday qilib, giperbolaning ikkita uchi bor ekan. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa uning haqiqiy o’qi deyiladi. Ordinatalar o’qida 0 dan b masofada turuvchi B 0,b 1 va B 0, b 2 nuqtalarni belgilaymiz. B1B2  2b ni giperbolaning mavhum o’qi deyiladi. Agar M x, y nuqta giperbolada yotsa, uning uchun (1.2.25) tenglamadan: x  a . Demak, x  a to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan  a  x  a polosada giperbolaning nuqtalari yo’q . (1.2.25) tenglamani y ordinataga nisbatan yechamiz: 2 2 x a a b y    . (1.2.34) Bu tenglamadan ko’rinadiki, x miqdor a dan   gacha ortganda va –a dan  gacha kamayganda y miqdor    y   oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi. Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi. Giperbolaning bir (o’ng) tarmog’i x  a yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog’i x  a yarim tekislikda joylashgan. 35 Eslatma. Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o’qida joylashgan bo’lsa, uning kanonik tenglamasi 1 2 2 2 2   a x b y ko’rinishda bo’ladi. 3. Giperbola asimptotalari. Giperbolaning shaklini yana ham aniqroq tasavvur qilish maqsadida tekis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz. Ta’rif. Agar M  G nuqta shu G chiziq bo’ylab harakatlanib borganida uning u to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chiziq G chiziqning asimptotasi deyiladi. Teorema. x a b x y a b y  ,   to’g’ri chiziqlar 1 2 2 2 2   b y a x giperbolaning asimptotalaridir. Isbot. Giperbola koordinatalar o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun giperbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish yetarli. SHu maqsadda x  a da giperbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan Parabola 1. Ta’rifi. Kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan berilgan nuqtagacha va berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan mpsofalari o’zaro teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami parabola deb ataladi. Berilgan nuqta berilgan to’g’ri chiziqda yotmaydi deb olinadi. Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to’g’ri chiziq esa parabolaning direktrisasi deyiladi. Parabolaning fokusi va direktrisasini mos ravishda F va d bilan, fokusdan direktrisagacha bo’lgan masofani p bilan belgilaymiz. Ta’rifdan foydalanib, parabolatenglamasini keltirib chiqaraylik: buning uchun dekart reperini quyidagicha tanlaymiz: abstsissalar o’qi deb F nuqtadan o’tuvchi va d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni qabul qilamiz, uning musbat yo’nalishi ko’rsatilgandek bo’lib, abstsissalar o’qining d to’g’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi N bo’lsin. Ordinatalar o’qini FN kesmaning o’rtasidan o’tkazamiz. Tanlangan reperda direktrisa tenglamasi F p x , 2   fokus esa , 2 p  0 koordinatalarga ega bo’ladi. Endi o’z navbatida (1.2.42) tenglamani (1.2.43) tenglamaning natijasi sifatida keltirib chiqarish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun koordinatalari (1.2.43) tenglamani qanoatlantiradigan har bir nuqta parabolaga tegishli ekanini ko’rsatish kifoya.   1 1 1 M x , y nuqtaning koordinatalari (1.2.43) tenglamani 41 qanoatlantirsin, ya’ni 1 2 y1  2 px sonli tenglik bajarilsin. SHu bilan birga 2 p x   tenglamaga ega bo’lgan d to’g’ri chiziq va       ,0 2 p F nuqta berilgan bo’lsin. M1 nuqtaning F va d dan bir xil masofada turishini ko’rsatishimiz kerak. Parabolaning tenglamasini hosil qilish uchun dekart reperini maxsus tanladik, ya’ni Ox o’qni fokus orqali direktrisaga perpendikulyar qilib o’tkazdik. Agar dekart reperini boshqacha usulda tanlasak, albatta, parabolaning tenglamasi ham (1.2.43) ko’rinishdan farqli bo’ladi. Masalan, agar parabola koordinatalar sistemasiga nisbatan 14-chizmada ko’rsatilgandek joylashgan bo’lsa, uning tenglamasi x 2 py 2  ko’rinishda bo’ladi. 13 va 14-chizmalarda tasvirlangan parabolaning tenglamalari mos ravishda y 2 px 2   , x 2 py 2   ko’rinishda bo’ladi.
Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari 2 2 1 0 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 a1 1x  a xy  a y  a x  a y  a  (1.2.44) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deb atalishi ma’lum. Bunda 1 1 1 2 1 0 2 0 0 0 a ,a ,a ,a ,a koeffitsentlar haqiqiy sonlar bo’lib, 11 12 22 a ,a ,a lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon 0 2 22 2 12 2 a11  a  a  ko’rinishda yozamiz). Biz uchta chiziq: ellips, giperbola va parabolani o’rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (1.2.44) tenglamada y x 0 d F y x0 dF 44 , 1 1 , 1 1 1  2 2 2  2 a0 0   b a a a bo’lib, qolgan barcha koeffitsentlar nolь bo’lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana 22 2 1 b a   bo’lsa, (1.2.44) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi, a10  p; a22 1 bo’lib, qolgan koeffitsentlar nolь bo’lsa, (1.2.44) tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir. Quyidagi tabiiy savol tug’iladi: tekislikda ko’rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: bizga ma’lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlar to’la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli  chiziq  i j     0, , dekart reperida (1.2.44) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo’lsin. SHunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan  chiziqning (1.2.44) tenglamasi mumkin qadar sodda – “kanonik” ko’rinishga ega bo’lsin, ya’ni 1) o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin; 2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo’lsin (iloji bo’lsa, ular butunlay qatnashmasin); 3) mumkin bo’lsa, ozod had qatnashmasin. Agar (1.2.44) tenglamada a12  0 bo’lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz.  reperning o’qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi  i j     0, , dekart reperini hosil qilamiz.  reperdan  reperga o’tish formulalari



XULOSA

Analitik geometriya faniga bag'ishlangan bo'lib, unda fazoda to'g'ri chiziq va tekisliklar va Tekislikka doir masalalar yechishni o'rgandim.
Bu kurs ishni yozish mobaynida Analitik geometriya fanidan bilimlarimni oshirdim.Shuning komputerda ishlash ko'nikmalarimni ham oshirdim.
Analitik geometriya faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo‘lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo‘llashni o‘rgatishni ham o‘z ichiga oladi.
Kurs ishi oliy ta’lim tizimining barcha bosqichlarida analitik geometriya fanini o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalarini o‘rganish, o‘rgatish masalasiga bag‘ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar, ularning samarali natijasi va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich ma’lumotlar berildi.
Asosiy qism mavzuni bo‘yicha to‘liq ma’lumotlar keltirilgan bo‘lib yani tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari. To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi haqidagi to‘liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar bilan boyitildi.
Xulosa qiladigan bo‘lsam analitik geometriyaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish undagi o‘ziga xos xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim va malakasini tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O‘qituvchining zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham bugungi kun talabi.
Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o‘qib o‘rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo‘lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o‘z hissamizni qo‘shishimiz kerak.
Barkamol shaxs tarbiyasida yuqori kasbiy tayyorgarlikka ega bo‘lgan mutaxasislarning ishlashi hamda yangi pedagogik texnologiyalarni qo‘llangan darslarning tashkil qilinishi ko‘zlangan maqsadga erishish garovi sifatida qaraladi.
Barkamol avlod tarbiyasini amalgam oshirishda pedagogic va psixologik ta’limotlar muhum ahamiyat kasb etadi. Jumladan O‘zbekiston respublikasida ta’limni takomillashtirish va samaradorligini oshirishda jarayonni zamon talablari darajasida tashkil etishning pedagogic aspektlari va psixologik tamoyillarida unumli foydalanish natijasi ko‘zlangan maqsadga erishish yo‘llari ravonlashadi. Ta’lim jarayonida o‘qitishning zamonaviy usullarini qo‘llash va yangi axborot texnologiyalaridan foydalanish orqali ta’lim samaradorligini oshirish muhim vazifadir. Ushbu vazifalarni amalgam oshirish natijasida yaxshi samaralarga erishish imkoni tug‘iladi. Ta’lim jarayonida qo‘llanilgan turli xil o‘qitish strategiyalari asosida tashkil qilingan dars o‘quvchini barkamol va komil shaxs sifatida shakillanishi imkonini kengaytirib, unda aqliy kamollik va mustaqil fikrlash xususiyatlarini tarbiyalash imkonini yaratadi.
“Xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim tarbiya olishiga bog‘liq.
Buning uchun har qaysi ota-ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida avvalo shaxsni ko‘rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda, farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobilyatiga ega bo‘lgan, ongli yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining asosiy maqsadi va vazifasi bo‘lishi lozim; deb qabul qilishimiz