O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg`ona davlat universiteti

Stereografik proeksiya. Riman sferasi.
Kompleks sonni sferadagi nuqta bilan ham tasvirlash mumkin. Buning uchun u,h,V Dekart
ortogonal koordinatalarga ega bo`lgan E3 Evklid fazosida markazi nuqtada, radiusi ga teng ushbu

sferani qaraymiz. Ravshanki, bu sfera Оz o`qni O(0,0,0) hamda P(0,0,1) nuqtalarda kesadi.
Ta`rif. Sferaning P(0,0,1) nuqtasini qutb deb ataladi.
V= 0 tekislikni z kompleks tekislik sifatida qabul qilamiz, bunda Ou (h = 0, V = 0) hamda
Оh (x = 0, V = 0) koordinata o`qlari mos ravishda kompleks tekislikdagi y = 0 haqiqiy hamda
x = 0 mavhum o`qlar bilan ustma-ust tushsin.

P(0,0,1) nuqtadan S sferani P nuqtadan farqli M (u,h,V) nuqtada kesuvchi nur o`tkazamiz. Bu PM nur kompleks tekislikni biror z = x + iy nuqtada kesib o`tsin.
Ta`rif. M nuqta z kompleks sonning P qutbli S sferadagi stereografik tasviri (proeksiyasi)
deyiladi.
Keltirilgan qoidaga ko`ra kompleks tekislikdagi har bir nuqtaga (kompleks songa) S \ { P}
sferada bitta nuqta mos keladi va aksincha.
Demak, stereografik proeksiya kompleks tekislikdagi barcha nuqtalar to`plami C bilan
S \ { P} sferaning nuqtalari to`plami o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatar ekan.
Shuni ta`kidlash lozimki, kompleks tekislikdagi z nuqta koordinata boshidan uzoqlashgan
sari M (u,h,V) nuqta P qutbga yaqinlasha boradi.
Agar kompleks tekislikni shartli ravishda z = ¥ kompleks songa mos keluvchi cheksiz
uzoqlashgan nuqta bilan to`ldirsak va unga S sferadagi P nuqtani mos qo`ysak, u holda
= С È { z = ¥ }
to`plam S sfera nuqtalaridan iborat to`plam bilan o`zaro bir qiymatli moslikda
bo`ladi: S ~
Bu moslik kompleks tekislikning stereografik proeksiyasi deyiladi.
Ta`rif. C to`plam kengaytirilgan kompleks tekislik , S sirt esa Riman sferasi deyiladi.
Riman sferasidagi M (u,h,V) nuqta koordinatalari bilan kompleks tekislikdagi unga mos z
nuqta koordinatalari orasidagi bog’lanishni topish uchun quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema. Stereografik proeksiyada kompleks tekislikning z = x + iy nuqtasiga

formula bilan berilgan S sferaning quyidagi

koordinatalarga ega bo`lgan M (u,h,V) nuqtasi mos qo`yiladi.
Isboti. Ravshanki, P(0,0,1), M (u,h,V) va z(x, y,0) nuqtalar orqali o`tuvchi to`g’ri chiziq
tenglamasi quyidagicha

bo`ladi.

Bundan

Endi

formula va sferaning

tenglamasidan foydalanib V ni topamiz:

Oxirgi tenglikni

ga qo`ysak,

larni hosil qilamiz.

va


lardan quyidagi stereografik proeksiya formulalariga ega bo`lamiz:

Demak, sferadagi M nuqtaning koordinatalari lar ma`lum bo`lganda tekislikdagi z
nuqtaning koordinatalari x va y lar

formulalar yordamida topiladi.
Endi, kompleks tekislikda z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalarga
mos keluvchi sferadagi nuqtalar, ya`ni stereografik proeksiyalari M1 (u1 ,h1 ,V1 ), M 2 (u2 ,h2 ,V2 )
bo`lsin.
Ta`rif. Ushbu

miqdor z1 va z2 nuqtalar orasidagi masofa (Evklid masofasi) deyiladi.
Ta`rif. M1 (u1 ,h1 ,V1 ) va M 2 (u2 ,h2 ,V2 ) nuqtalar orasidagi masofa z1 va z2 nuqtalar
orasidagi sferik masofa deb ataladi va u r(z1 ,z2 ) kabi belgilanadi.

Xossa. Stereografik proeksiya natijasida tekislikdagi har qanday aylananing aksi sferaga
aylana bo`lib tushadi va aksincha.