O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg`ona davlat universiteti

Kompleks sonni darajaga ko`tarish
Avvalgi mavzudan ma`lumki, agar kompleks sonlar berilgan bo`lsa, u holda ularning ko`paytmasi
z1 z2 Kzn = |z1 ||z2 |K |zn ||zn+ 1 |(cos(j1 + j2 + K+ jn+ 1 ) +
+isin(j1 + j2 + K+ jn+ 1 ))
ko`rinishga ega bo`ladi, bunda
z k = rk × , rk = |z k|, jk = arg zk , k = 1,n .
Xususan, agar
z1 = z2 = K = zn = z
bo`lsa, u holda
r1 = r2 = K = rn = r, j1 = j2 = K = jn = j
bo`ladi.Bundan

formulaga ega bo`lamiz va bu formula z kompleks sonning n -darajasi deyiladi va u Muavr formulasi deb yuritiladi.

formula n < 0 da ham o`rinli. Haqiqatan ham,

yoki


Kompleks sondan ildiz chiqarish
Aytaylik, z Î C kompleks son va nÎ N berilgan bo`lsin.
Ta`rif. Agar tenglik bajarilsa, u holda V kompleks son z kompleks sonning n - darajali ildizi deyiladi va u

kabi belgilanadi.
V kompleks sonni
V = r(cosq + isinq )
ko`rinishda izlaymiz, buning uchun
z = r(cosj + isinj)
bo`lsin. U holda ga ko`ra
= = r(cosq + isinq )
tenglikka ega bo`lamiz. Bu tenglikning har ikkala tomonini n -darajaga ko`tarib va
cosnq + isin nq)
formulani e`tiborga olib
r(cosj + isinj) = cosnq + isin nq)
ni hosil qilamiz. Bundan

bo`lishi kelib chiqadi. Bu tengliklarni kvadratga ko`tarib, so`ngra chap va o`ng tomonlarini mos ravishda qo`shsak,
nq + nq)= ( j + j) → = →
hosil bo`ladi. r ning qiymatini

tengliklardagi r ning o`rniga qo`ysak, ushbu

tenglamalar hosil bo`ladi. Agar ma`lum bo`lgan

tengliklarni etiborga olsak , u holda
nq = j + 2kp ,
ya`ni
qk = (k = 0,± 1,± 2,± 3,L)
bo`lishini topamiz.
Demak, izlanayotgan V = r(cosq + isin q ) kompleks sonning moduli , argumenti esa
qk =
bo`lar ekan. Demak,
(cos + sin )
bo`ladi, bu erda k = 0,…,n - 1. Ma`lumki,
cos = cos
shuning uchun k = n, n + 1,... deb faraz qilinsa, oldingi ildiz kelib chiqaveradi. SHunday qilib,

ildizlar hosil bo`ladi, ya`ni z sonning n -darajali turli ildizlari faqat n ta bo`ladi. Geometrik nuqtai
nazardan bu n ta qiymat markazi z = 0 nuqtada radiusi ga teng bo`lgan aylanaga ichki chizilgan n -burchakning uchlaridir.