Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Kasrlarni koʻpaytirish amaliy jihatdan aniq boʻlsada, lekin nazariy asoslash qiyinchilik tugʻdiradi. Bunda quyidagilarga e’tibor berilishi mumkin:
1. Butun va kasr sonni koʻpaytirish amalga oshiriladigan masalalarni tahlil qilish, unda natija toʻgʻri toʻrtburchak yuzasi boshqa toʻrtburchak qismi boʻlishligi koʻrgazmali ravishda koʻrsatilishi mumkin;
2. Qoidaning bayoni va uni tekshirish shu qoida asosida butun sonlarni koʻpaytirish qoidalari asosida amalga oshiriladi. Oʻnli kasrlar ham oddiy kasrlar shaklida yozilib “yangi qoidalar” “eski” qoidalarga keltirilishi mumkinligi koʻrsatiladi;
3. Amallar qonunlarini ularni tenglamalar echishga tadbiq etishda mustahkamlash.
Boʻlish teskari amal sifatida qaralib, manfiy sonlar haqida esdan chiqmaydigan tushunchalar takrorlanishi lozim.
Oʻnli kasrlarni oʻrganish ikki xil shaklda olib boriladi:
a) Oʻnli kasrlar oddiy kasrlarning bir qismi sifatida oʻrganiladi;
b) Oddiy kasrlar oʻnli kasrlardan keyin oʻrganiladi.
1- usul son taraqqiyotini hisobga oladi. Oddiy kasrlarni oʻrganish ikki bosqichda olib borilganligi uchun, ya’ni, birinchi bosqich, kasrlarni kiritish, bir maxrajli kasrlarni taqqoslash, qoʻshish va ayirish, ikkinchi bosqich, ixtiyoriy kasrlar ustida amallar bajarish. Shuning uchun birinchi bosqichda oʻnli kasrlar oddiy kasrlarning bir qismi sifatida qoidalari ishlab chiqiladi, ikkinchi bosqichda esa oʻnli kasrlar ustida amallarni bajarish qoidalari yanada chuqurlashtirilib, kengaytiriladi. Oʻnli kasrlar ustida amallarni bajarish natural sonlar ustida bajarilgan amallar kabi amalga oshirilishini hisobga olsak, amaliy jihatdan qiyinchilik tugʻdirmasada, lekin nazariy asoslash ba’zi ma’lum tushunchalarni bayon qilish bilan bogʻliq.
Oʻnli kasrlarni oʻrganishda oʻnli ulchovlar sistemasiga murojat etish maqsadga muvofiq. Bunda turli oʻlchov birliklarida ifodalangan miqdorlarni yagona oʻnli birliklarga aylantirish zaruriyati paydo boʻladi. Masalan, 3 m 4 dm 8 sm 8 mm, teng (3^.10+4+6:10+8:100) dm teng 34,68 dm. Bundan tashqari, oʻnli kasrlarni oʻrganishda tarixiy ma’lumotlar berish (masalan, Al-Koshiy, Ali Qushchi ishlari, Ulugʻbek maktabi ishlari va hokazo).
Kasrning surati yoki maxrajini oshirish bilan kasrning oshishi yoki kamayishini koʻrsatish mumkin, qancha marta kamayishini va oʻsishini aniqlash kerak degan qoida keltirilib chiqariladi.
Kasrlarni almashtirishga quyidagi amallar kiradi: qisqartirish, umumiy maxrajga keltirish va bularni turli maxrajli va suratli kasrlarni taqqoslash bilan bogʻlash zarur.
Qoʻshish va ayirishni oʻrganishda dastlab bir xil maxrajli kasrlarni qoʻshish qaralib, barcha hollari oʻrganiladi: butun va kasr; butun va aralash kasr; ikkita toʻgʻri kasr; toʻgʻri kasrni beruvchi hol, butun sonni beruvchi hol, notoʻgʻri kasrni beruvchi hol; aralash kasr va kasr: yigʻindi – toʻgʻri kasr, yigʻindi – butun, yigʻindi – notoʻgʻri kasr; aralash kasr va aralash kasr: yigʻindi - toʻgʻri kasr, yigʻindi - butun son, yigʻindi – notoʻgʻri kasr.
Ayirishda ham qoʻshishga teskari amal sifatida qaralib, turli hollar:
a) kasrdan kasrni ayirish;
b) aralash kasrdan uning kasr qismidan kam boʻlgan kasrni ayirish;
v) birdan kasrni ayirish;
g) butundan birdan katta kasrni ayirish;
d) sondan ayriluvchi kasr qismidan katta boʻlgan kasrni ayirish;
j) aralash kasrdan aralash kasrni ayirish (bunda kamayuvchi kasr ayriluvchi kasr qismidan katta);
z) butundan aralash kasrni ayirish;
i) aralash kasrdan aralash kasrni ayirish, bunda kamayuvchi kasr qismi ayriluvchi kasr qismidan kichik.
Butun sonni kasrga koʻpaytirish, bir xil qoʻshiluvchilar yigʻindisi kabi tushuniladi, masalan, 54/3=4/3+4/3+4/3+4/3+4/3 ab=1 boʻlsa, a=b. Kasrni qisqartirish, agar surati koʻpaytmadan iborat boʻlsa, masalalar echishga qoʻllash; xususiy hollar: 1) a:vv; 2) aralash kasrni butunga koʻpaytirish.
Aralash sonni butunga koʻpaytirish ikki usulda amalga oshiriladi: birinchi usulda aralash kasr notoʻgʻri kasrga aylantiriladi; ikkinchi usulda aralash kasrni butun son marta qoʻshish va bunda yigʻindiga nisbatan koʻpaytirishning taqsimot qonunidan foydalaniladi yoki bundan xulosa butun qismini songa koʻpaytishni qoʻllash ekanligi keltirib chiqariladi.