O’zbеkiston rеspublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi mavzu

Sonning ko’rsatkichi. Tub modul bo’yicha indekslar. Ikki hadli taqoslamalar.

⁽𝑎, 𝑚⁾ = 1 bo’lganda, Eyler teoremasiga ko`ra,
𝑎<sup>𝜑(𝑚)</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑚)
o`rinli.
TA`RIF. <sup>(</sup>𝑎, 𝑚<sup>)</sup> = 1 bo`lib

𝑎^𝛿 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑚)

taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik 𝛿 son a sonning 𝑚 modul` bo`yicha ko`rsatkichi deyiladi.
TEOREMA. 𝑎<sup>𝛾</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑚) bo`lishi uchun 𝛾 sonning 𝛿 ga bo`linishi zarur va etarli. (𝛿 son − 𝑎 sonning m modul` bo`yicha ko`rsatkichi).
Haqiqatan, 𝑟 𝑣𝑎 𝑟₁ sonlar 𝛾 va 𝛾^′ sonlarning 𝛿 ga bo`lgandagi qoldiqlari bo`lsin, u holda qandaydir 𝑞 va 𝑞₁ sonlar uchun
𝛾 = 𝛿𝑞 + 𝑟 𝖠 𝛾^′ = 𝛿𝑞₁ + 𝑟₁

o`rinli bo`lib,

𝑎^𝛾 = (𝑎^𝛿)^𝑞 ∙ 𝑎^𝑟 ≡ 𝑎^𝑟(𝑚𝑜𝑑𝑚⁾

𝑎^𝛾𝘍 = (𝑎^𝛿)^𝑞1 ⋅ 𝑎^𝑟1 ≡ 𝑎^𝑟1 (𝑚𝑜𝑑𝑚)

Demak, 𝑎^𝛾 ≡ 𝑎^𝛾𝘍(𝑚𝑜𝑑𝑚) bo`lishi uchun

𝑎^𝑟 ≡ 𝑎^{𝑟1 (}𝑚𝑜𝑑𝑚⁾ ya`ni
𝑟 = 𝑟<sub>1</sub>
bo`lishi zarur va etarli.

Agar 𝛾^′ = 0 desak,

𝛾 ≡ 𝛾^′(𝑚𝑜𝑑𝛿)
dan 𝛾 ning 𝛿 ga bo`linishi kelib chiqadi.

1. 
   
   NATIJA. 𝑎^𝑠 ≡ 𝑎^𝑡(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslamaning o`rinli bo`lishi uchun 𝑠 −
   

𝑡 ning 𝛿 ga bo’linishi zarur va etarli.

2. 
   
   NATIJA. 1, 𝑎, 𝑎², … , 𝑎^𝛿−1 sonlar m modul` bo`yicha o`zaro taqqoslanmaydi.
   

TEOREMA. 𝑎^𝑘 sonning 𝑚 modul` bo`yicha ko`rsatkichi 𝛿/(𝑘, 𝛿) ga
teng.
MISOL. 1) 2 son 7 modul` bo`yicha, 3 ko`rsatkichga tegishli, ya`ni
2<sup>3</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7) demak, 2<sup>2</sup> = 4 ham 7 modul` bo`yicha 3 ko`rsatkichga tegishli,

ya`ni 4³ ≡ (2³)² ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7) chunki, ⁽2,3⁾ = 1 𝖠 ^𝛿

(𝑘,𝛿)
= 𝛿

2) 3 soni 7 modul bo`yicha 6 ko`rstgichga tegishli, ya`ni

3⁶ ≡ ⁽3²⁾³ ≡ 2³ ≡ 1⁽𝑚𝑜𝑑7⁾

3⁴ = 81 esa ^𝛿

(𝑘,𝛿)
⁽−1⁾⁴ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)
₌ 6
(4,6)
= ⁶ = 3 ko`rsatgichga tegishli, ya`ni 81³ = (3⁴)³ ≡
2

NATIJA. Agar (𝑘, 𝛿) = 1 bo`lsa, 𝑎<sup>𝑘</sup> sonning 𝑚 modul` bo`yicha ko`rsatkichi 𝛿 ga teng.
NATIJA. 1, 𝑎, … , 𝑎^𝛿−1 sonlar orasida 𝜑(𝛿) ta m modul` bilan o`zaro taqqoslanmaydigan ko`rsatkichi 𝛿 ga teng bo`lgan sonlar mavjud.
MISOL. 7 chegirmalar sinfining 43 modul` bo`yicha ko`rsatkichini va shu modul` bo`yicha 7 sinfning ko`rsatkichiga teng bo`lgan barcha chegirmalar sinfini topamiz.
Ma`lumki, ixtiyoriy sinfning ko`rsatkichi 𝜑<sup>(</sup>𝑚<sup>)</sup> = 𝜑<sup>(</sup>43<sup>)</sup> = 42 ning bo`luvchisi bo`ladi. 42 ning natural bo`luvchilari
1,2,3,6,7,14,21,42 bo`ladi.
7 ni ketma ket shu darajalarga ko`tarib, 1 bilan taqqoslanuvchi sonni topamiz.
7¹ ≡ 7⁽𝑚𝑜𝑑43⁾

7² ≡ 6⁽𝑚𝑜𝑑43⁾

7³ ≡ ⁽−1⁾⁽𝑚𝑜𝑑43⁾
7⁶ ≡ 1⁽𝑚𝑜𝑑43⁾
Demak, 7 ning 43 modul` bo`yicha ko`rsatkichi 6 ga teng: 𝛿 = 6
Endi 43 modul` bo`yicha chegirmalarning to`la sistemasidagi sinflarning qaysilari 6 ko`rsatgichga tegishli ekanini topamiz.
Buning uchun 0,1,2,3,4,5 (1) sonlarni tanlab olamiz va ular orasidan
6 bilan o’zaro tub bo’lgan sonlarni ajratib olamiz. 6 ko`rsatkichga 43 modul` bo`yicha tegishli sonlar (sinflar)
𝑥⁶ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑43)
taqqoslamani qanoatlantirishi kerak, ya`ni shu taqqoslamaning yechimlarigina 43 modul` bo`yicha 6 ko`rsatkichiga tegishli bo`lishi mumkin. Uning yechimlari esa 43 modul` bo`yicha
7⁰, 7¹, 7², 7³, 7⁴, 7⁵

sonlari orasida bo`ladi. (1) ketma ketlikda 6 bilan o`zaro tub sonlar 1,5 bo`lgani uchun

nitekshiramiz.

7¹, 7⁵
7¹ ≡ 7(𝑚𝑜𝑑43)
7⁵ ≡ 7² ⋅ 7² ⋅ 7 ≡ 6 ⋅ 6 ⋅ 7 ≡ 252 ≡ 37(𝑚𝑜𝑑43)

Demak, 7^̅ 𝖠 3^̅̅̅7^̅ sinflar 43 modul` bo`yicha 6 ko`rsatgichga tegishli.