O’zbеkiston rеspublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi mavzu

TEOREMA. Agar 𝑝 −tub son bo`lsa, u holda 𝑥^𝑝−1 − 1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)

taqqoslama 𝑝 − 1 ta yechimga ega bo`ladi.

ISBOTI. Ferma teoremasiga ko`ra, 𝑥<sup>𝑝</sup> = 𝑥(𝑚𝑜𝑑𝑝) yoki 𝑥<sup>𝑝−1</sup> ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝) bo`lib, uning yechimlari esa, 𝑝 ga bo`linmaydigan 1,2, … , 𝑝 − 1 lardan iborat bo`ladi.
Masalan, 𝑥⁷⁻¹ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)
𝑥⁶ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7) taqqoslamaning yechimlari, 1,2,3,4,5,6 bo`ladi.

3. 
   
   TEOREMA. (1) taqqoslama darajasi 𝑝 − 1 dan katta bo`lmagan taqqoslamaga teng kuchli.
   

ISBOTI. 𝑓(𝑥) ni 𝑥^𝑝 − 𝑥 ga bo`lib,
𝑓<sup>(</sup>𝑥<sup>)</sup> = <sup>(</sup>𝑥<sup>𝑝</sup> − 𝑥<sup>)</sup>𝑎<sup>(</sup>𝑥<sup>)</sup> + 𝑅(𝑥)
ga ega bo`lamiz. 𝑅(𝑥) ning darajasi 𝑝 − 1 dan katta emas. Ferma teoremasiga ko`ra,
𝑥<sup>𝑝</sup> − 𝑥 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
taqqoslama o`rinli bo`lgani uchun 𝑓(𝑥) ≡ 𝑅(𝑥)(𝑚𝑜𝑑𝑝) taqqoslama o`rinli.

4. 
   
   TEOREMA. (Vil`son teoremasi). 𝑝 tub son uchun
   

⁽𝑝 − 1⁾! + 1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
taqqoslama o`rinli.

ISBOTI. 𝑝 = 2 uchun teorema o`rinli. Agar 𝑝 > 2 bo`lsa,
⁽𝑥 − 1⁾⁽𝑥 − 2⁾ … (𝑥 − ⁽𝑝 − 1⁾) − (𝑥^𝑝−1 − 1) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
taqqoslamani qarasak, uning darajasi 𝑝 − 2 dan katta emas va u 𝑝 − 1 ta yechimga ega. (yechim 1,2,…,p-1 lardan iborat). Demak, 1-natijaga ko`ra, uning
barcha koeffitsientlari, jumladan uning ozod hadi <sup>(</sup>𝑝 − 1<sup>)</sup>! + 1 ham 𝑝 ga bo`linadi, ya`ni ⁽𝑝 − 1⁾ + 1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑𝑝)
MISOL. 1) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 + 1 ≡ 0⁽𝑚𝑜𝑑7⁾
2) 4! + 1 = 24 + 1 ≡ 0⁽𝑚𝑜𝑑5⁾
MISOL. 251𝑥⁵⁴ + 63𝑥²⁵ − 7𝑥¹¹ + 4𝑥³ + 2 ≡ 0⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾ taqqoslamani soddalashtiring.
Yechish: berigan taqqoslamani soddalashtirish uchun taqqoslamalar xossalaridan va Eyler teoremasidan foyalanamiz:
251 ≡ 1⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾;
63 ≡ 3⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾;
7 ≡ 2⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾;
4 ≡ 4⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾;
2 ≡ 2⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾.
𝜑⁽5⁾ = 4 dan: 𝑥⁵⁴ ≡ (𝑥⁴)¹³ ∙ 𝑥² ≡ 𝑥²⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾; 𝑥²⁵ ≡ (𝑥⁴)⁶ ∙ 𝑥 ≡ 𝑥⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾;
𝑥¹¹ ≡ (𝑥⁴)² ∙ 𝑥³ ≡ 𝑥³⁽𝑚𝑜𝑑 5⁾.
Keltirilgan taqqoslamalar yordamida berilgan taqqoslamani soddalashtiramiz:
251𝑥⁵⁴ + 63𝑥²⁵ − 7𝑥¹¹ + 4𝑥³ + 2 ≡ 𝑥² + 3𝑥 − 2𝑥³ + 4𝑥³ + 2 ≡ 2𝑥³ + 𝑥² +
3𝑥 + 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5).