O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi
Download 1.79 Mb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika
- Bu sahifa navigatsiya:
- 15. Boshlang‘ich shart.
- 16. Burilish (egilish) nuqtasi.
- 17. Burchak koeffitsiyent.
- 3. Darajali qatorga yoyish.
- 7. Distributivlik qonuni.
- 9. Differensiallanuvchi funksiya.
- 11. Differensial tenglama. Erkli
- 12. Differensiallash qoidalari.
- 4. Egrilik markazi. Egri
- 6. Egri chiziqning egriligi. Egri
- 7. Ekvivalent to‘plamlar. Elementlari
- 9. Ekstremumning zaruriy sharti.
- 10. Ekstremum nuqtasi.
14. Boshlang‘ich funksiya. Berilgan ) ( f funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb, shunday ) ( F funksiyaga aytiladiki, berilgan intervalda ) ( ) ( f x F bo‘ladi. Boshlang‘ich funksiyani topish differensialashga teskari amal bo‘lib, u bir qiymatli emas. ) ( f uchun cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalar mavjud, lekin ularning ixtiyoriy ikkitasi bir-biridan o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi. Barcha boshlang‘ich funksiyalar to‘plamiga ) ( f funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Bu to‘plam C F ) ( bilan ifodalanadi. Masalan, 3 4x funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi 4 x bo‘ladi, chunki 3 4 4 ) ( x x , 3 4x funksiyaning aniqmas integrali C x 4 bo‘lib, C x dx x 4 3 4 bilan belgilanadi. 15. Boshlang‘ich shart. O‘rganilayotgan jarayonning boshlang‘ich payt deb qabul qilingan biror paytdagi holati. Biror jarayon x f y differensial tenglama bilan ifodalansa, u holda boshlang‘ich shart 0 x x bo‘lganda, 0 bo‘ladi. Differensial tenglamalar nazariyasida umumiy yechimdan, biror boshlang‘ich shartni, qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish masalasi qo‘yiladi, bunday masalaga Koshi masalasi deb yuritiladi. Masalan, 231 x y 2 cos 6 differensial tenglama uchun 0 bo‘lganda, 3 bo‘ladigan boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yechish kerak bo‘lsin. Differensial tenglamaning umumiy yechimi C x tg y dx x y , cos 6 2 bo‘ladi. Boshlang‘ich shartdan foydalansak, , 3 0 6 C tg bo‘lib, bundan 3 kelib chiqadi. Demak, Koshi masalasining yechimi 3 6tgx bo‘ladi. 16. Burilish (egilish) nuqtasi. Tekislikdagi egri chiziqning qavariqlikdan (q) botiqlikka yoki botiqlikdan (q) kavariqlikka o‘tish nuqtasidir. 0 x nuqta burilish nuqtasi bo‘lishining yetarli sharti, ikkinchi tur kiritik nuqtadan (q) o‘tishda funksiya ikkinchi tartibli hosilasining ishorasi, teskarisiga o‘zgarishi bo‘ladi. Masalan, 3 funksiya grafigining burilish nuqtasi 0 nuqta bo‘ladi, chunki 6 bo‘lib, 0 nuqtadan o‘tishda ikkinchi tartibli hosila ishorasi (-) manfiydan (+) musbatga o‘zgaradi. 17. Burchak koeffitsiyent. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatlari sistemasiga nisbatan burchak koeffitsiyenti – u to‘g‘ri chiziq bilan koordinatlar sistemasi Ox o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchakning tangensidir. To‘g‘ri chiziqning tenglamasi b kx y bo‘lsa, bunda k uning burchak koeffitsiyenti bo‘ladi. Burchak koeffitsiyentlari teng bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak tangensi, ushbu 2 1 1 2 1 k k k k tg tenglikdan topiladi. 18. Bo‘sh to‘plam. Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plamdir. Bo‘sh to‘plam, har qanday to‘plamning qism to‘plami (q) bo‘ladi. Masalan, ikkita to‘plam umumiy elementga ega bo‘lmasa, ularning ko‘paytmasi (q) bo‘sh to‘plam bo‘ladi. Misol uchun 0 5 2 x kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarining to‘plami, bo‘sh to‘plam bo‘ladi. D 1. Davriy funksiya. Bu shunday x f y funksiyaki, uning uchun 0 t son mavjud bo‘lib, aniqlanish sohasidagi har qanday x va t x lar uchun ) ( ) ( x f t x f tenglik bajariladi. Bunday sonlarning eng kichigi bo‘lgan T soni ) (x f y funksiyaning davri deb aytiladi. Masalan, x y sin funksiyaning davri tgx , 2 funksiyaning davri x cos , funksiya uchun 2 . 2. Darajali qator. Bu funksional qatorning (q) 232 ... ... 2 2 1 0 n n x a x a x a a ko‘rinishdagi muhim xususiy holi bo‘lib, bu yerda ,.... ,....., , , 2 1 0 n o‘zgarmas miqdorlar. Darajali qator r tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plamida va r tenglikni qanoatlantiruvchi x larning ba’zisida yoki hammasida yaqinlashuvchi bo‘lsa, r songa D.q. ning yaqinlashish radiusi deyiladi. Haqiqiy sohada, yaqinlashish sohasi 0 ga nisbatan simmetrik bo‘lgan ) , ( r r interval, bo‘lib, intervalning chegaraviy nuqtalari yaqinlashish sohasiga tegishli bo‘lishi yoki tegishli bo‘lmasligi mumkin. Misollar: 1) 0 n n x qator 1 1 x da yaqinlashadi; 2) 0 ! 2 n n x n qator faqat 0 da yaqinlashadi; 3) x n n e n x 0 ! qator butun sonlar o‘qida yaqinlashuvchi bo‘ladi. 3. Darajali qatorga yoyish. ) (x f funksiya a nuqta atrofida istalgan marta differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtaning biror atrofida qoldiq had 0 lim x R n n bo‘lsa, fuksiyani Teylor va Makloren qatorlari (q) ga yoyish mumkin. Masalan, x f ) ( funksiyaning darajali qatorga yoyilmasi ... ! ... ! 2 ! 1 1 2 n x x x e n x bo‘ladi, bu 0 x nuqtadagi yoyilmasi. 4. Deduksiya. Fikr yuritish (isbot qilish) usuli bo‘lib, bunda umumiydan (umumiy fikr yuritishdan) xususiyga o‘tiladi. Masalan, «raqamlarining yig‘idisi 3 ga bo‘linadigan har qanday natural sonning o‘zi ham 3 ga bo‘linadi» degan fikr to‘g‘ri ekani ma’lum bo‘lsa, berilgan muayyan, misol uchun 234 ning 3 ga bo‘linishini istasak, u holda uning raqamlarining yig‘indisi 2+3+4=9 ning 3 ga bo‘linishiga ishonch hosil qilish yetarli bo‘ladi. Keyingi paytlarda deduksiya deb, ya’ni isbotning deduktiv usuli deb ma’lum aksiomalar sistemasiga asoslangan isbotga aytiladi. Deduksiya matematikada isbotning mantiqiy jihatdan asoslangan, aniq usulidan iborat. Har qanday deduksiyada, induksiya elementi bo‘ladi. Matematik induksiya deduksiyaga misol bo‘la oladi, chunki u matematik induksiya aksiomasiga asoslangandir. 5. Determinant. 22 21 12 11 , , , a a a a elementlardan tuzilgan 22 21 12 11 21 12 22 11 a a a a a a a a ifodaga 2- tartibli determinant deyiladi. 233 32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ga 3- tartibli determinant deb ataladi. n -tartibli determinant nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 simvol bilan belgilanib, ketma-ket tartibini pasaytirib, 3-tartibli yoki 2-tartibli determinantlarga keltirilib hisoblanadi. Bunda determinantlarning xossalaridan (q) foydalaniladi. 6. Direktrisa. Ikkinchi tartibli egri chiziqqa nisbatan ma’lum, xossaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqdir. 2-tartibli egri chiziqning har qanday nuqtasidan fokursgacha bo‘lgan masofasining, bu nuqtadan mos direktrisagacha bo‘lgan masofaga nisbati o‘zgarmas son bo‘lib, egri chiziqning ekssentrisitetiga teng. Ellips va giperbola ikkita, parabola bitta direktrisaga ega bo‘ladi. 7. Distributivlik qonuni. Biror to‘plamning istalgan c b a , , elementlari uchun ac ab c b a tenglik bajarilsa, bu elementlar uchun distributivlik qonuni bajariladi yoki berilgan elementlari uchun distributivlik qonuni o‘rinli deb aytiladi. Distributivlik qonuni ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivlik qonuni deb ataladi. Ko‘paytirish amali kommutativ (q) bo‘lmay qolishi mumkin bo‘lgan uchun chap distributivlik qonuni deb ataladigan yuqorida keltirilgan distributivlik qonuni bilan bir qatorda o‘ng distributivlik qonuni ham qaraladi, ya’ni ca ba a c b . Ko‘pincha distributivlik qonuni taqsimot qonuni deb ham ataladi. Distributiv degan nom lotincha distributis -taqsimot so‘zidan kelib chiqqan. To‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi distributivdir, ya’ni distributivlik qonuni o‘rinli: . ; ; ; A C A B A C B C A B A C B A A C A B A C B C A B A C B A Sonlarni ko‘paytirish qo‘shishga nisbatan distributiv, lekin sonlarni qo‘shish sonlarni ko‘paytirishga nisbatan distributiv emas, ya’ni c b c a c ab 234 8. Differensial. Funksiyaning differensiali, funksiya orttirmasining, chiziqli bosh qismi. ) (x f y funksiyaning differensiali dy x df ), ( yoki df simvol bilan belgilanib, bir o‘zgaruvchili ) (x f funksiya hosilaga (q) ega bo‘lsa, u holda x f x x f f orttirmani x x f f ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, x x f df ifoda ga nisbatan chiziqli, 0 da df miqdorning, asosiy qismini tashkil etadi. Bir o‘zgaruvchili funksiya orttirmasini chiziqli bosh qismga va yuqori tartibli cheksiz kichik qismga ajratish g‘oyasi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ham tatbiq etiladi. ) ,....... , ( 2 1 n x f funksiyaning orttirmasi n n n x x x f x x x x x x f f ..., , , ..., , , 2 1 2 2 1 1 bo‘lsin. Xususiy hosila x f uzluksizligi, differensialning mavjudligi uchun yetarli shartdan iborat bo‘lib, bu holda n i i i x x f f 1 bo‘ladi, bunda qo‘shiluvchi 2 2 2 2 1 ..... n ga nisbatan cheksiz kichik miqdor. n i i i x x f df 1 ifoda ko‘p o‘zgaruvchili funksiya to‘liq differensiali deyiladi. 9. Differensiallanuvchi funksiya. Biror nuqtada funksiyaning differensiali mavjud bo‘lsa, funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Biror sohaning hamma nuqtalarida differensiallanuvchi funksiya, shu sohada differensiallanuvchi funksiya deb aytiladi. Bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun differensiallanuvchanlik, hosilaning mavjudligi bilan ekvivalent. 10. Differensiallash. Hosila (q), xususiy hosila (q) topish amalini bajarishga differensiallash deb aytiladi. Differensiallash, differensial hisobning asosiy amali bo‘lib, bunda differensiallash qoidalari (q) va differensiallash formulalari (q) keltirib chiqariladi hamda ulardan differensiallashda foydaniladi. 11. Differensial tenglama. Erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya hamda uning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabat (tenglama)ga differesial tenglama deb aytiladi. Noma’lum funksiya faqat bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi, bir necha o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lsa, bunday differesial tenglamaga xususiy hosilali differesial tenglama deb aytiladi. Differesial tenglama, XVII asrda mexanika va tabiat fanlarining ehtiyoji asosida mavjudga keldi. 235 Differesial tenglamaga kirgan, hosilalarning yuqori tartibiga, differesial tenglamaning tartibi deb yuritiladi. Masalan, 2 3 1-tartibli, x cos 3-tartibli differesial tenglamalardir. Differesial tenglama yechimi yoki integrali deb, berilgan differesial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday funksiyaga aytiladi. Differensial tenglama yechimi grafigiga, integral chiziq deyiladi. Misol uchun, x dx dy 2 differesial tenglamaning yechimi c x y 2 bo‘lib, bu holda integral chiziqlar parabolalardan iborat. Differesial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi, berilgan differesial tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlar xossalarini o‘rganishdan iborat. 12. Differensiallash qoidalari. Hosila yoki differensial- larni hisoblash qoidalari, bu qoidalar differensiallash formulalari bilan birga qo‘llanilganda, har qanday murakkab elementar funksiyalarning (q) hosila va differensiallarini hisoblab chiqarish imkoniyatini beradi. S o‘zgarmas miqdor, w v u , , hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar bo‘lganda hosilalar (yoki xususiy hosilalar) orqali ifodalangan differensiallash qoidalari 1) u C Cu ; 2) ; ... ... w v u w v u 3) ; v u v u uv 4) ; 2 v v u v u v u 5) u f y bo‘lib, x u bo‘lsa, ya’ni x f y bo‘lsa, x u f y x u x yoki qisqacha x u x u y y bo‘ladi. 13. Differensial hisob. Matematik tahlilning bo‘limi bo‘lib, funksiyalarni, hosila va differensiallar yordamida tekshiriladi. Differesial hisobning asosiy tushunchalari, hosila va differensial bo‘lib, bular o‘z navbatida, funksiyaning limiti (q) va cheksiz kichik (q) tushunchalar bilan bog‘langan. Funksiyaning hosilasini bilish, uning o‘sishi, kamayishi, maksimumi va minimumi, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik qismlarini aniqlash hamda burilish nuqtalari haqida mulohaza yuritishga imkon beradi. Bu tushunchalar ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni o‘rganishda ham tatbiq etiladi. Differensial hisobning masalalarni yechishda Dekart, Ferma va boshqalarning xizmati katta. Differesial hisobning rivojlanishida Nyuton, Leybnits ishlari bilan bog‘liq differesial hisob tushunchasi hamma fanlarda keng qo‘llanilib, uning aniq chegarasi yo‘q deyish mumkin. E 1. Evolventa. Evolyuta (q). berilgan chiziq o‘z evolyutasiga nisbatan evolventa deyiladi. 2. Evolyuta. Berilgan chiziqning har bir A nuqtasiga, to‘la aniqlangan egrilik markazi (q) to‘g‘ri keladi. Berilgan chiziqning hamma egrilik markazlari to‘plamiga, uning evolyutasi deyiladi. 3. Egrilik doirasi. Radiusi, egrilik markazidan (q), chiziqning A nuqtasigacha bo‘lgan, doiraga, egrilik doirasi (yoki aylanasi) deyiladi. Egrilik markazining koordinatlari ushbu formulalardan topiladi: 236 " ' 1 , " ' 1 ' 2 2 y y b y y y a . 4. Egrilik markazi. Egri chiziqning A nuqtasidan, uning botiqlik qismiga yo‘naltirilgan normalda, egrilik radiusiga (q) teng kesma olamiz. AS kesma oxiri, S nuqtasiga egrilik markazi deyiladi. 5. Egrilik radiusi. Chiziqning, berilgan A nuqtadagi egriligi A K ga teskari R miqdorga, shu A nuqtadagi egrilik radiusi deyiladi, ya’ni " ' 1 1 2 3 2 y y K R A bo‘ladi. 6. Egri chiziqning egriligi. Egri chiziq shaklini harakterlovchi elementlaridan biri, uning egilganlik darajasidir. Egri chiziqning berilgan A nuqtadagi egriligi A K , deb yoy uzunligi 0 ga intilganda yoyning o‘rtacha egriligi limitiga aytiladi, ya’ni AB K K AB A B A 0 lim lim bunda, burchak A yoyning qo‘shnilik burchagi. x f y uzuluksiz funksiya, ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Uning grafigining egriligi to‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasida 2 3 2 ' 1 " y y K A formula bilan aniqlanadi. 7. Ekvivalent to‘plamlar. Elementlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lgan to‘plamlardir. Ekvivalent to‘plam teng quvvatli to‘plamlar ham deb ataladi. 8. Ekstremumning yetarli sharti. 1- qoida. 0 x nuqta x f y funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lib, funksiya hosilasi ishorasini, bu nuqtadan (chapdan o‘ngga) o‘tishda o‘zgartirsa, 0 x nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘ladi. 2-qoida. 0 x nuqta kritik nuqta bo‘lib, ikkinchi tartibli hosila 0 dan farqli bo‘lsa, 0 x nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘ladi. 0 " 0 x f bo‘lsa, maksimumga, 0 " 0 x f bo‘lsa, minimumga ega bo‘ladi. 9. Ekstremumning zaruriy sharti. 1) bir o‘zgaruvchili x f y funksiyaning 0 x nuqtada ekstremumning zaruriy sharti – bu nuqtada 0 ' x f hosilaning 0 ga teng bo‘lishi yoki hosilaning mavjud bo‘lmasligidan iboratdir; A B 237 2) bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning 0 0 2 0 1 0 ..., , , n x x x M nuqtadagi ekstremumining zaruriy sharti, bu nuqtada n x x x f u , ... , , 2 1 funksiyaning barcha xususiy hosilalari 0 ga aylanishidan yoki hech bo‘lmaganda xususiy hosilalardan (q) bittasi mavjud bo‘lmasligidan iboratdir. 10. Ekstremum nuqtasi. Funksiyaning ekstremum nuqtasi – funksiya ekstremumga (q), ya’ni maksimumga (q) yoki minimumga (q) ega bo‘ladigan nuqta. 11. Ekssentrisitet. 2-tartibli egri chiziqning istalgan nuqtasidan fokusgacha bo‘lgan masofaning, bu nuqtadan tegishli direktrigacha (q) bo‘lgan masofaga nisbatiga teng son. Ellips uchun 1 2 2 a c , giperbola uchun 1 2 2 a c , parabola uchun esa, u 1 ga teng bo‘lib, 2-tartibli egri chiziqning shaklini harakterlaydi: Ellipsning E. i nolga yaqinlashsa, ellips shakli aylanaga o‘xshay boradi, ellipsning E. i 1ga yaqinlashsa, ellips siqilib, o‘zining a 2 ga teng bo‘lgan katta o‘qi vaziyatini olishga intiladi. Lotincha, yex- tashqaridagi, centrum- markaz degani. Download 1.79 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling