O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev

§. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar  
 
 
(
)
, , P
Ω F
 ehtimollik fazosida 
1
2
, , ...,
n
ξ ξ
ξ
  tasodifiy miqdorlarni qaraymiz. 
Har bir 
ω
∈Ω  ga bu tasodifiy miqdorlar n-o‘lchovli vektor 
( )
( ) ( )
( )
(
)
1
2
,
,...,
n
ξ ω
ξ ω ξ ω
ξ ω
=
 ni mos qo‘yadi. 
1
2
, , ...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy miqdorlar 
orqali berilgan 
n
Ω →
R
 akslantirish tasodifiy vektor yoki ko‘p o‘lchovli tasodifiy 
miqdor deyiladi. 
 
n
R
Ω →
 akslantirishni 
(
)
,
Ω F  ni 
(
)
,
n
n
R B
 fazoga o‘lchovli akslantirish 
sifatida qarash mumkin, bu yerda  
n
B
 – 
n
R
 dagi Borel to‘plamlari 
σ
-algebrasi. 
Shuning uchun iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun 
ξ
  vektorning taqsimoti deb 
ataluvchi ( )
(
)
P B
P
B
ξ
ξ
=
∈
 funksiya aniqlangan. 
 
1
,...,
1
1
( ,..., )
(
,...,
)
n
n
n
n
F
x
x
P
x
x
ξ
ξ
ξ
ξ
=
<
<
 funksiya 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy 
miqdorning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deb ataladi. 
 Тasodifiy vektor taqsimot funksiyasining ba’zi хossalarini keltiramiz: 
 
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
,...,
1
,...,
1
1
,...,
1
1. lim
,...,
,...,
.
2. lim
,...,
0.
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
FF
F
x
x
F
x
x
FF
F
x
x
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
−
−
→∞
→−∞
=
=
 
 Limitlar  oхirgi argument bo‘yicha olinganligi katta ahamiyatga ega emas, 
chunki tasodifiy miqdorlarni har doim qayta nomerlash mumkin.   
 
1
,...,
1
( ,..., )
n
n
F
x
x
ξ
ξ
  taqsimot funksiyasi  ( )
P B
ξ
 taqsimotni bir qiymatli 
aniqlashini ko‘rish qiyin emas. 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 72
 Хuddi bir o‘lchovli holga o‘хshab, agar tasodifiy vektor komponentalari 
ko‘pi bilan sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qilsa, u holda tasodifiy vektorlarning 
taqsimoti diskret tipga tegishli deymiz.  
Agarda  iхtiyoriy 
n
B
⊂ R
 Borel to‘plami uchun 
( )
(
)
( )
B
P B
P
B
f x dx
ξ
ξ
=
∈
=
∫
 
bo‘lsa, bu yerda 
( )
( )
0,
1
n
f x
f x dx
≥
=
∫
R
, u holda tasodifiy vektorlarning taqsimoti 
absolyut uzluksiz tipga tegishli deymiz. 
Bu ta’rifni unga ekvivalent bo‘lgan  
(
)
(
)
1
1
,...,
1
1
1
,...,
...
,...,
...
n
n
x
x
n
n
n
F
x
x
f t
t dt dt
ξ
ξ
−∞
−∞
=
∫ ∫
 
ko‘rinishga almashtirish mumkin. 
 Yuqoridagi 
( )
f x  funksiya 
ξ
 taqsimotning zichligi (zichlik funksiyasi) yoki 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
  birgalikdagi taqsimotining zichligi deyiladi. Uning uchun deyarli 
hamma yerda 
(
)
(
)
1
,...,
1
1
1
,...,
,...,
...
n
n
n
n
n
F
x
x
f x
x
x
x
ξ
ξ
∂
=
∂
∂
 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
 Ehtimolliklar  nazariyasining  muhim  tushunchasi bo‘lgan hodisalarning 
bog‘liqsizligi o‘z ma’nosini tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlab qoladi. 
Hodisalar bog‘liqsizligiga mos ravishda quyidagini aytish mumkin: Agarda to‘g‘ri 
chiziqdagi iхtiyoriy 
1
,...,
n
B
B  Borel to‘plamlari uchun  
(
)
(
) (
)
(
)
1
1
1
2
2
,...,
...
n
n
n
n
P
B
B
P
B
P
B
P
B
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
∈
∈
=
∈
⋅
∈
∈
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi. 
 Buni taqsimot funksiyalari tilida quyidagicha aytish mumkin: 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uhun ixtiyoriy x
i
 larda  
(
)
( )
( )
1
1
,...,
1
1
,...,
...
n
n
n
n
F
x
x
F x
F x
ξ
ξ
ξ
ξ
=
 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 73
tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda 
( )
i
i
F x
ξ
 – 
i
ξ
 tasodifiy miqdorning 
taqsimot funksiyasidir. 
 Agar 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar mos ravishda 
1
( ),
f x  
2
( ),
f x  
..., ( )
n
f x  taqsimot zichliklariga ega bo‘lsalar, u holda n o‘lchovli 
(
)
1
2
, ,...,
n
ξ
ξ ξ
ξ
=
 
tasodifiy miqdor  
(
)
( ) ( )
( )
1
2
1
1
2
2
, ,...,
...
n
n
n
f x x
x
f x
f x
f x
=
⋅
⋅ ⋅
 ko‘paytma bilan 
ifodalanadigan taqsimot zichligiga ega bo‘ladi. 
 Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning taqsimotlariga misollar keltiramiz. 
1-misol. 
Polinomial taqsimot
.
 Agar 
ξ
 
m
-o‘lchovli diskret tasodifiy vektor 
uchun  
(
)
1
2
1
2
, ,...,
,
,
...
m
i
m
k
k k
k
k
Z k
k
k
n
=
∈
+
+ +
=  bo‘lib 
{
}
(
)
{
}
(
)
1
2
1
1
1
2
1
2
!
,...,
...
! !... !
m
k
k
k
k
m
m
m
m
n
p
P
k
P
k
k
p p
p
k k
k
ξ
ξ
ξ
=
=
=
=
=
=
,      (1) 
1
2
0,
1,2,..., ;
...
1
i
m
p
i
m p
p
p
>
=
+
+ +
=  bo‘lsa, u holda 
ξ
 vektor 
(
) (
)
1
2
; , ,...,
;
m
n p p
p
n p
=
 parametrli polinomial qonun bo‘yicha taqsimlangan 
tasodifiy vektor va 
(
)
1
2
; , , ,...,
m
k
P k n p p
p
p
=
 ehtimolliklarga esa 
(
)
1
2
; , ,...,
m
n p p
p  
parametrli  polinomial taqsimot deyiladi. (1) tenglikning o‘ng tomoni 
(
)
1
2
...
n
m
p
p
p
+
+ +
 polinomning 
1
2
,
, ...,
m
p p
p  sonlarning darajalari bo‘yicha 
yoyilmasini umumiy holidan iborat bo‘lgani sababli, yuqoridagi taqsimotni 
polinomial taqsimot deb atalishi tabiiydir. 
Agar 
1
2
2,
,
1
m
p
p p
p
=
=
= −  bo‘lsa, (1) polinomial taqsimot 
(
)
,
n p
-
parametrli binomial taqsimotga aylanadi. 
2-misol (
Ko‘p o‘lchovli normal taqsimot)
. 
(
)
1
2
,
,...,
n
m
m m
m
=
 –  -
n o‘lchovli 
vektor va 
ij
R
r
=
 birorta  n n
×  o‘lchovli, musbat aniqlangan, simmetrik matritsa 
bo‘lsin.  R musbat aniqlangan matritsa bo‘lgani uchun, uning teskari matritsasi  
1
ij
R
A
a
−
= =
 mavjud. 
Zichlik funksiyasi 
 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 74
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
2
1/ 2
1
2
, ,...,
1
2
/ 2
, 1
1
, ,...,
, ,...,
exp
2
2
n
n
n
n
ij
i
i
j
j
n
i j
A
x x
x
x x
x
a x
m
x
m
ξ ξ
ξ
ϕ
ϕ
π
=
⎧
⎫
=
=
−
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
 
ko‘rinishga ega bo‘lgan 
(
)
1
2
, ,...,
n
ξ
ξ ξ
ξ
=
 –  -
n o‘lchovli tasodifiy vektor 
(
)
;
m R  
parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy vektor deyiladi. Bu 
yerda 
det
A
A
=
 orqali  A  matritsaning determinanti belgilangan. 
Xususan 2-o‘lchovli va parametrlari 
(
)
,
m R  bo‘lgan normal taqsimotni 
ko‘raylik. Buning uchun 
(
)
1
2
,
m
m m
=
 sonli vektor va   
2
1
1 2
2
1 2
2
r
R
r
σ
σ σ
σ σ
σ
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎝
⎠
          1
1
r
− < <  
simmetrik va musbat aniqlangan 2x2-o‘lchovli matritsani ko‘ramiz. R matritsani  
determinanti  
(
)
2
2
2
1
2
1
R
r
σ σ
=
−
 
bo‘lgani uchun 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1 2
1
2
2
2
1 2
2
1
1
1
1
1
1
r
r
r
A R
r
r
r
σ
σ σ
σ σ
σ
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
=
= ⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 
va A matritsani determinanti 
2
2
2
1
2
1
(1
)
A
r
σ σ
=
−
 
bo‘ladi. Bu holda 
(
)
1 2
1
2
,
х х
ξ ξ
ϕ
 zichlik funksiya  
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)
1 2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1 2
,
,
2
1
1
exp
2 1
2
1
x x
x x
x m
r x m x m
x m
r
r
ξ ξ
ϕ
ϕ
σ
σ σ
σ
πσ σ
=
=
⎧
⎫
⎡
⎤
−
−
−
−
⎪
⎪
=
−
−
+
⎢
⎥
⎨
⎬
−
−
⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
  
ko‘rinishga ega bo‘ladi.  
 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 75
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar 
 
1. 
Diskret tasodifiy miqdor nima? Misollar keltiring. 
2. 
Uzluksiz tasodifiy miqdor nima? Misollar keltiring. 
3. 
Ehtimollikning taqsimot qonuni deb nimaga aytiladi? Misollar 
keltiring. 
4. 
Тasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deb nimaga aytiladi? 
5. 
Тaqsimot funksiyasining asosiy хossalarini aytib bering. 
6. 
Тaqsimot funksiyasini ham diskret, ham uzluksiz tasodifiy miqdorlar 
uchun ta’riflash mumkinmi yoki faqat diskret yoki faqat uzluksiz tasodifiy 
miqdorlar uchun ta’riflash mumkinmi? 
7. 
Тasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi deb nimaga aytiladi? Bu 
funksiyaning ehtimoliy ma’nosi qanday? 
8. 
Diskret tasodifiy miqdor uchun zichlik funksiyani ta’riflash 
mumkinmi? 
9. 
Zichlik funksiyasining asosiy хossalarini aytib bering. 
10.  Uzluksiz tasodifiy miqdorning  zichlik funksiyasi bilan taqsimot 
funksiyasi  o‘zaro qanday bog‘langan? 
11.  Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor uzluksiz yoki 
diskret bo‘la oladimi? 
12.  Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar deb nimaga aytiladi? 
13.  Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlar deb nimaga aytiladi? 
 
 
Misol va masalalar 
 
1) 
Qutida bir xil o‘lchamli 7 ta shar bo‘lib, 4 tasi oq, qolganlari esa qora 
rangda. Sharlar bir-xil o‘lchamdadir. Qutidan tavakkaliga 3 ta shar olinadi. 
ξ
 
diskret tasodifiy miqdor – olingan oq sharlar soni bo‘lsa, 
ξ
 diskret tasodifiy 
miqdorning taqsimot qonunini toping. 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 76
                                                  Javob:   
ξ
:     0      1       2       3  
 
 
 
 
 
 
   P:    
35
1
   
35
12
    
35
18
    
35
4
 
 
2) 
ξ
 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 
                                 
ξ
:       2        4        6 
 
 
             P:     0,2     0,3     0,5     
ξ
η
4
=
 tasodifiy   miqdorning taqsimot qonunini toping. 
                                                   Javob:      
ξ
:      8       16        24 
 
 
 
 
                            P:    0,2      0,3      0,5   
 
3)  
ξ
 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 
                                             
ξ
:      
6
π
      
4
π
      
2
π
 
P:     0,2     0,7    0,1 
sin
η
ξ
=
 tasodifiy   miqdorning taqsimot qonunini toping.   
                                                 Javob: 
ξ
:      
2
1
     
2
2
     1 
 
                                                             P:     0,2     0,7    0,1 
 
4) 
ξ
 tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan: 
 
0,
2,
0,3,
2
3,
( )
0,5,
3
4,
1 ,
4.
agar x
agar
x
F x
agar
x
agar
x
≤
⎧
⎪
< ≤
⎪
= ⎨
< ≤
⎪
⎪
>
⎩
 
}
{
3
1
≤
≤
ξ
 hodisaning ehtimolligini toping. 
                                                           Javob:  (1
3) 0,5
P
ξ
≤ ≤ =
. 
 
5) 
ξ
 tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan: 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 77
 
2
0,
0,
( )
,
0
1,
1 ,
1.
agar
x
F x
x
agar
x
agar
x
≤
⎧
⎪
=
< ≤
⎨
⎪
>
⎩
 
4 ta bog‘liq bo‘lmagan tajriba natijasida 
ξ
 uzluksiz tasodifiy miqdor rosa 3 
marta (0,25;0,75) oraliqqa tegishli qiymat qabul qilishi ehtimolligini toping.  
                                                             Javob: 
4
(3) 0,25
Р
=
. 
6) 
ξ
 uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi butun Oх o‘qida 
                        
2
( )
x
x
C
f x
e
e
−
=
+
 
tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas C parametrni toping. 
       Javob: 
 
1
С
π
= . 
7) Bir soat  (0 t 1
≤ ≤ ,  t  birligi soatlarda hisoblangan vaqt) ichida bekatga 
faqat bitta avtobus kelib to‘хtaydi. Vaqtning 
0
t
=  momentida bekatga kelgan 
yo‘lovchining avtobusni 10 minutdan ortiq kutmaslik ehtimolligi qanday? 
                                                            Javob:  
6
1
. 
 
8) Avtobuslar 5 minut oraliq bilan qatnaydilar. Bekatda avtobus kutish vaqti  
ξ
 tekis taqsimlangan deb,   ( )
F x  taqsimot funksiyasini toping. 
 
                                                           Javob: 
0,
0,
( )
0,2 ,
0
5,
1 ,
5.
agar x
F x
x agar
x
agar
x
≤
⎧
⎪
=
< ≤
⎨
⎪
>
⎩
 
 
9) 
ξ
 uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  berilgan 
                      
0,
0,
( )
,
0
2,
1,
2.
agar x
f x
bx
agar
x
agar
x
≤
⎧
⎪
=
< ≤
⎨
⎪
>
⎩
 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 78
b  ni aniqlang. 
Javob: b=0,5. 
 
10)  Тelevizorning buzilmay ishlash ehtimolligi ushbu ko‘rsatkichli qonun 
bo‘yicha taqsimlangan: 
                       
0,002
( ) 0,002
(
0)
t
f x
е
t
−
=
>  
Тelevizorning 1000 soat buzilmay ishlashi ehtimolligini toping.  
                                                             Javob: 
2
(1000)
0,1359
Р
e
−
=
≈
. 
11) 10 tadan iborat kartochkalar to‘plami berilgan.10 ta bir хil kartochkada 
0, 1, ..., 9 raqamlar yozilgan. Bitta kartochka olinib, u kartochkalar to‘plamiga 
qaytariladi. Keyin yana bitta kartochka olinadi. 
ξ
 tasodifiy miqdor – birinchi 
kartochkada raqam va 
η
 tasodifiy miqdor – ikkinchi kartochkada raqam bo‘lib,  
ζ ξ η
= +  bo‘lsin.  ,
ξ η
 va 
ζ
 tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini toping. 
(
)
2
P
ζ
≤  hodisa ehtimolligini toping. 
Javob:  
(
)
0,1
P
i
ξ
= =
, 0,1,...,9
i
=
; 
(
)
0,1
P
i
η
= =
, 0,1,...,9
i
=
; 
(
)
0,01
P
i
ζ
= =
, 0, 18
i
=
; 
(
)
0,02
P
i
ζ
= =
, 1, 17
i
=
;   
(
)
0,03
P
i
ζ
= =
, 2, 16
i
=
;  
(
)
0,04
P
i
ζ
= =
, 3, 15
i
=
;  
(
)
0,05
P
i
ζ
= =
, 4, 14
i
=
; 
(
)
0,06
P
i
ζ
= =
, 5, 13
i
=
, 
(
)
0,07
P
i
ζ
= =
, 6, 12
i
=
; 
(
)
0,08
P
i
ζ
= =
, 7, 11
i
=
;  
(
)
0,09
P
i
ζ
= =
, 8, 10
i
=
; 
(
)
0,1
P
i
ζ
= =
, 9
i
= ;  
(
)
2
0,06
P
ζ
≤
=
. 
 
www.ziyouz.com kutubxonasi

 79
II-bob bo‘yicha test topshiriqlari 
 
1.
 
ξ diskret tasodifiy miqdor ushbu 
               
                    
ξ    –1        3         5 
 
 
           
P    0,2    0,5      0,3 
taqsimot qonuni bilan berilgan.Uning taqsimot funksiyasini toping. 
        
 
   
 
A)