O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti Matematika 213-guruh talabasi Xasanov Sarvarning matematik analiz fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu

Integrallarning parametr ho'yicha uzluksizligi. f(x,y) funksiya to’plamda berilgan.
Teorema: f(x,y) funksiya M to'plamda uzluksiz va

integral [c,d] da tekis yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda J(y) funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo'ladi.
Isboti:

f(x,y) funksiyaning M to'plamda uzluksizligidan, avvalo bu funksiya y o'zgaruvchining har bir tayin qiymatida x ning uzluksiz funksiyasi bo'lishi kelib chiqadi. Shu bil an birga f(x,y) funksiya to'plamda ham uzluksiz, demak, shu to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi.

nuqtani olaylik. da f(x.y) funksiya limit funksiyaga
[a,t] da tekis yaqinlashadi. Agar teoremaning ikkinchi shartini e'tiborga olsak, u holda f(x,y) funksiya integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasining barcha shartlarini bajarishini ko’ramiz integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasiga
asosan

bo'ladi. Bu esa J(y) funksiyaning [c, d] oraliqda uzluksiz ekanini bildiradi.
Integrallarni parametr bo'yicha differensiallash. f(x,y) funksiya
to'plamda herilgan.
Teorema: f(x.y) funksiya M to'plamda uzluksiz. xususiy hosilaga ega va u ham uzluksiz hamda y o'zgaruvchining [c, d] dan olingan har bir tayin qiymatida

Agar integral [c, d] da tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda J(y) funksiya ham [c, d] oraliqda J'(y) hosilaga cga bo'ladi va
munosabat o'rinlidir.
Isboti: nuqtani olib, unga shunday ortirma beraylikki,
bo'lsin.
J(y) funksiyaning nuqtadagi orttirmasini olib. Ushbu (12)
tcngiikni hosil qilamiz. Endi (12) tenglikdagi integralda da integral belgisi ostida limitga o'tish mumkinligini ko'rsatamiz.
Lagranj teoremasiga ko'ra
(13)
bo'ladi, bunda
Shunga ko'ra funksiya to’plamda uzluksiz, demak. tekis uzluksiz. U holda olinganda ham, shunday topiladiki, tengsizlikiarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy , nuqtalar uchun

bo'ladi. Agar deyilsa. unda bo'lganda

bo'ladi. yuqoridagi (13) tenglikdan foydalanib quyidagini topamiz:

Bu esa y—>0 da funksiya limit
funksiyaga tekis yaqinlashishini bildiradi.
Teoremaning shartiga ko’ra,

tekis yaqiniashuvchi. Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, bo'lgan ixtiyoriy uchun

bo’ladi jumladan

bo’ladi (13)tenglikga asosan



bo’ladi.bu esa

Integralning tekis yaqinlashuvchiligini bildiradi bu esa integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasiga ko’ra

Tenglik o’rinli bo’ladi.
Yuqoridagi (12) tcnglikda da limitga o'tamiz:
Demak,

Keyingi munosabatdan quyidagini yozish mumkin
bu esa teorema shartlarida differensiallash amalini integral belgisi oslida o'tkazish mumkinligini ko'rsatadi.