O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti Matematika 213-guruh talabasi Xasanov Sarvarning matematik analiz fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu

Integral helgisi ostida limit o'tish. f(x,y) funksiya to'plamda berilgan. nuqta E to'plamning limit nuqtasi .
Teorema: f(x.y) funksiya
1) y o'zgaruvchining E dan olingan har bir tayin qiymatida x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida da uzluksiz;
2) ixtiyoriy oraliqda limit funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo'lsin. Agarda

integral E to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'lsin, u holda da J(y) funksiya limitga ega va

bo'ladi.
Isboti: teoremaning 1) va 2) shartlaridan limit funksiyaning da
uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, (x) funksiya har birchekli oraliqda integrallanuvchi
(x) ni da integralanuvchi ekanligini ko'rsataylik.
Teoremaning shartiga ko'ra

integral E da tekis yaqinlashuvchi. Unda Koshi teoremasiga asosan. olinganda ham, shunday topiladiki bo'lgan lar va uchun
(7)
bo'ladi. (7) tenglikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:

Bundan esa (x) ning [a, + ) da inlegrallanuvchi bo'iishi kelib chiqadi.
Endi

Ayirmani quyidagicha yozib olamiz
(8)
Tengsizlikning o’ng tomonidagi har bir qo’shiluvchini baholaymiz.
integral E to’plamda tekis yaqinlashuvchi . Demak ,
olinganda ham ,shunday topiladiki ,barcha va uchun
(9)
bo’ladi.
xosmas integral yaqinlashuvchi. Dcmak, yuqoridagi olinganda ham shunday lopiladiki, barcha uchun
(10)
bo’ladi.
Agar deb olinsa, barcha uchun (9) va (10) tengsizliklar bir yo’la bajariladi. da f(x,y) funksiya (x) limit funksiyaga har bir [a;t] (jumladan )da tekis yaqinlashuvchi. Demak. olinganda ham, shunday
topiladiki, lengsizlikni qanoatlantiruvchi uchun (11)
Natijada (8), (9), (10), (11) tengsizliklarga ko’ra
bo’ladi.
Bu esa

Bo’lishini bildiradi .