O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi


Download 0.6 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/8
Sana02.06.2020
Hajmi0.6 Mb.
#113115
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Intagral tenglamalar nazariyasi


2. Fredgol’m alternativasi. Agar (A) tenglama mos bir jinsli (B) 

tenglama 



  ning  har  bir  tayin  qiymati  uchun  noldan  farqli  yechimga 

ega  bo’lmasa,  (A)  tenglama  ixtiyoriy  ozod  had 

)

(x



f

  uchun  yagona 

yechimga  ega  bo’ladi;  agarda  (B)  bir  jinsli  tenglama  noldan  farqli 

yechimlarga ega bo’lsa, (B) tenglama ham va unga qo’shma (-) bir jinsli 

tenglam  ham  bir  xil  chekli  sondagi  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan 

yechimlarga  ega  bo’ladi;  u  holda  (A)  tenglama  ixtiyoriy 

)

(x



f

  uchun 


yechimga  ega  bo’lavermaydi,  (A)  tenglamaning  yechimga  ega  bo’lishi 

uchun uning ozod hadi 

)

(x



f

 qo’shma (C) bir jinsli tenglamaning barcha 

yechimlariga ortogonal bo’lishi zarur va yetarlidir, yani 

 

 



,

...,


2

,

1



0

)

(



)

(

k



i

dx

x

x

f

b

a

i





 

bunda 



,

,...,


1

),

(



k

i

x

i



-

  (C)  tenglamaning  barcha  chiziqli  bog’liq 



bo’lmagan yechimlari. 

 

Aynan  nolga  teng  bo’lmagan  funksiya,  ravshanki  bir  jinsli  (B) 



tenglamaning  va  unga  qo’shma  bo’lgan  (C)  tenglamaning  yechimi 

bo’ladi.  Bundan  keyin,  bir  jinsli  (yoki  unga  qo’shma)  tenglamaning 

yechimi deganda aynan noldan farqli yechimini tushunamiz. 

 

Bir jinsli (B) tenglama 



,

,...,


1

),

(



k

i

x



  yechimlarga ega bo’lgan 

 

ning qiymatini, 



)

,

(



y

x

K

 yadroning yoki (B) tenglamaning xos soni, 

)

(x



 

funksiyalarni  esa  shu  yadro  yoki  tenglamaning 



  xos  songa  mos  xos 

funksiyalari deyiladi. 

 

 Yuqorida  bayon  qilinganlarga  asosan,  yana  bir  bor  ta’kidlab 



o’tamizki,  berilgan  xos  songa  mos  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan  xos 

funksiyalarning soni cheklidir. 

 

)

,



(

y

x

K

  yadroning  barcha  xos  sonlarni  to’palami  bu  yadroning 

spektri deb ataladi. 

 

Vol’terra  tenglamasi  yadrosining  spektri  bo’sh  to’plamdan  iborat, 



aynigan yadroli Fredgol’m ikkinchi tur tenglamasining spektri esa chekli 

sondagi elementlardan iborat. 

 

 Endi (A) tenglamani 



 

 

               



)

(

)



(

)

,



(

)

(



y

f

dt

t

t

y

K

y

b

a









 

ko’rinishda  yozib  olib,  buning  har  ikki  qismini 



)

,

(



y

x

K

  ga 


ko’paytiramiz va 

y

 bo’yicha 



a

 dan 


b

 gacha integrallaymiz. U holda 

                 

)

(



)

(

)



(

)

,



(

x

f

x

dy

y

y

x

K

b

a









    


tenglikni e’tiborga olib, 

           

)

(

)



(

)

,



(

)

(



2

2

2



x

f

dt

t

t

x

K

y

b

a









 

tenglamani hosil qilamiz, bunda 



         





b

a

dy

y

f

y

x

K

x

f

y

f

)

(



)

,

(



)

(

)



(

2

2



 

 



Bu jarayonni davom ettirib, quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz: 

      


)

(

)



(

)

,



(

)

(



2

x

f

dy

y

y

x

K

x

n

b

a

n









                                        

(7) 

bunda 


                      

).

(



)

(

,



)

(

)



,

(

)



(

)

(



1

1

1



x

f

x

f

dy

y

f

y

x

K

x

f

x

f

b

a

n

n

n

n







 

 



Shunday  qilb, biz  ushbu  natijaga keldik:  agar 

)

,



y

x

K

  yadroning 

xos soni, 

)

(x



 esa bu xos songa mos xos funksiyasi bo’lsa, u holda 



n

 va 


)

(x



  iteratsiyalangan 

)

,

(



y

x

K

n

  yadroning  xos  soni  va  xos  funksiyasidan 

iborat bo’ladi.  

 

 



 

 

O’zingizni sinab ko’ring. 

1.  Uzluksiz  yadroli  integral  tenglamani  aynigan  yadroli  integral 

tenglamasiga olib kelish g’oyasini keltiring. 

2. Fredgol’m alternativasini ta’riflang.  



 

 

5-Ma’ruza 

 

Mavzu: Kuchsiz maxsuslikka ega bo‘lgan integral tenglamalar. 

 

O’quv soati – 2 soat 

Talabalar soni    ____ta 



O’quv mashg’uloti shakli 

Ma’ruza 


Ma’ruza rejasi   

 1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar. 

2.  Fredgol’mning  ikkinchi  tur  integral  tenglamalar 

sistemasi. 

3. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar. 

4. Vol’terraning birinchi tur integral tenglamasi. 

O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:    Talabalarga  kuchsiz  maxsuslikka  ega 

integral 

tenglamalar 

haqida tushunchalar berish. 

  O’qitish vositalari 

  O’UM, Ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar 

doska 

  O’qitish usullari  



Axborotli ma’ruza blits so’rov texnik-insertika 

  O’qitish shakllari  

Farontal, kollektiv ish 

  O’qitish sharoiti  

  Texnik visitalar bilan ta’minlangan 

gruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin 

bo’lgan auditoriya 

  Monitoring va 

baholash 

  Og’zaki savollar blits so’rov 

 

Ish 


bosqichlari 

 

O’qituvchi lfaoliyatining mazmuni 



Tinglovchi 

faoliyatining mazmuni  



 

1-bosqich 

mavzuga 

kirish  


(20 min) 

1.9.  O’quv 

mashg’uloti 

mavzusi,  

rejasi,pedagogning  vazifasi  va  talabaning  

o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 

1.10. Baholash mezonlari (1 – ilova). 

mavzuni  jonlantirish  uchun  «Blits-so’rov» 

savollarini beradi.  

Tinglaydilar.  

Yozib oladilar.  

Aniqlashtiradilar, 

savollar beradilar. 

 

2 - bosqich 



Asosiy 

bo’lim  


(50 min) 

2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi.  

2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar 

bo’yicha tushuncha beradi.  

2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan 

umumlashtiruvchi xulosa beradi.  

2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  

2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 

takrorlanadi. 

Tinglaydilar. 

Javob beradilar  

 

Yozadilar. 



UMKga qaraydilar  

Har bir tayanch 

tushuncha va iboralarni 

muhokama qiladilar.  

 

3-bosqich.  



Yakunlov 

chi. 


(10 min) 

3.5.  Mashg’ulot 

bo’yicha 

yakunlovchi 

xulosalar  qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan 

bilimlarni  qaerda  ishlatish  mumkinligi 

ma’lum qiladi.  

3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni 

chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 

ro’yxatini beradi. 

3.3. Kеyingi mavzu bo’yicha tayyorlanib 

kelish uchun savollar beradi.  

 

Savollar beradilar 



 

UMKga qaraydilar  

UMKga qaraydilar. 

Uy  vazifalarini  yozib 

oladilar 

 

1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar. 

 

Endi 


)

(

)



(

)

,



(

)

(



x

f

dy

y

y

x

K

x

b

a









 

tenglamani 



)

(

)



(

)

,



(

)

(



y

f

dt

t

t

x

K

y

b

a









 

ko‘rinishda yozib olib, buning har ikki qismini 



)

,

(



y

x

K

 ga ko‘paytiramiz 

va 

y

bo’yicha 



a

 dan 


b

 gacha integrallaymiz. U holda  

)

(

)



(

)

(



)

,

(



x

f

x

dy

y

y

x

K

b

a









  

tenglikni e’tiborga olib, 



)

(

)



(

)

,



(

)

(



2

2

2



x

f

dt

t

t

x

K

x

b

a









 

tenglamani hosil qilamiz, bunda 



dy

y

f

y

x

K

x

f

x

f

b

a

)

(



)

,

(



)

(

)



(

2





 

 

Bu jarayonni davom ettirib, quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz: 



)

(

)



(

)

,



(

)

(



x

f

dy

y

y

x

K

x

n

b

a

n

n









                                 (1) 

bunda 

)

(



)

(

,



)

(

)



,

(

)



(

)

(



1

1

1



x

f

x

f

dy

y

f

y

x

K

x

f

x

f

n

b

a

n

n







 

Shunday  qilib,  biz  ushbu  natijaga  keldik:  agar 



)

,

(



y

x

K

  yadroning  xos 

soni, 

)

x



esa bu xos songa mos xos funksiyasi bo‘lsa, u holda 



n

 va 


)

x



 

itarasiyalangan 



)

,

(



y

x

K

n

  yadroning  xos  soni  va  xos  funksiyasidan  iborat 

bo‘ladi. 

 

Bunga teskari teorema ham o‘rinlidir.  



 

2. Fredgol’mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi 

 

n



i

x

f

dy

y

y

x

K

x

i

j

n

j

b

a

ij

i

,.....,


2

,

1



),

(

)



(

)

,



(

)

(



1



 








                    (2) 

ko‘rinishga  ega  bo‘ladi, 

)

,



(

y

x

K

ij

yadrolar


b

y

a

b

x

a



,



  kvadratda, 

)

(x



f

i

 

ozod  hadlar 



b

x

a



  oraliqda  kvadrat  bilan  jamlanuvchi  funksiyalar 

bo‘lsin. 

 

Tabiiy,  noma’lum 



)

(x



i

  funksiyalar  ham  shu  sinifda  izlanadi.  (2) 

sistema  uchun  yuqorida  bitta  Fredgol’m  tenglamasi  uchun  bayon 

qilingan nazariya to‘laligicha o‘rinli bo‘ladi. Masalan, 



 parametr 



M

1



 

tengsizlikni qanoatlantirsa 



  



n

j

i

b

a

b

a

ij

dxdy

y

x

K

M

1

,



2

2

)



,

(

 



(2) sistema uchun ketma-ket yaqinlashish bu sistemaning echimiga 

o‘rtacha yaqinlashadi. 

(2) sistemaga qo‘shma bo‘lgan sistema quyidagicha yoziladi: 

)

(



)

(

)



,

(

)



(

1

x



g

dy

y

x

y

K

x

i

j

n

j

b

a

ij

i



 









Fredgol’mning  barcha  teoremalari  ham  (2)  sistema  uchun  o‘rinli 

bo‘ladi.  Biz  Fredgol’m  nazariyasini  (2)  sistema  uchun  asoslanishiga 

to‘xtamasdan,  bunday  sistemani  Fredgol’m  tipidagi  bitta  tenglamaga 

keltirish mumkinligini ko‘rsatib o‘tamiz. 



y

x,

  argument  uzunligi 

)

,

b



a

oraliqdan 



n

  marta  katta  bo‘lgan 

)

)

1



(

,

(



a

n

nb

a



  oraliqda  o‘zgarsin.  Bu  oraliqda  va  funksiyalarni 

quyidagicha aniqlaymiz. 

     Agar 

    


 

 

 



a

i

ib

x

a

i

b

i

)

1



(

)

2



(

)

1



(





 



bo‘lsa 

    


 

 

)).



)(

1

(



(

)

(



)),

)(

1



(

(

)



(

a

b

i

x

f

x

F

a

b

i

x

x

i

i









 

Xuddi 



shunga 

o‘xshash, 

)

,

(



y

x

K

 

yadroni 



,

)

1



(

a

n

nb

x

a



        



)

1

( 





n

nb

y

a

 kvadratda 

    

 

 



 

a

j

jb

y

a

j

b

j

a

i

ib

x

a

i

b

i

)

1



(

)

2



(

)

1



(

,

)



1

(

)



2

(

)



1

(











 

bo‘lganda 



    

 

 



))

)(

1



(

),

)(



1

(

(



)

,

(



a

b

j

y

a

b

i

x

K

y

x

K

ij





 



deb aniqlab olsak. Ushbu 

    


 

 

















a

n

nb

a

b

a

a

b

b

a

n

nb

a

n

b

n

a

b

a

b

)

1



(

2

)



1

(

)



2

(

)



1

(

2



3

2

....



 

 tenglikni e’tiborga olsak,(2) sistema Fredgol’mning bitta 

    

 

 









a

n

nb

a

y

F

dy

y

y

x

K

x

)

1



(

)

(



)

(

)



,

(

)



(

 

tenglama ko‘rinishda yoziladi. 



 


Download 0.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling