O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi
Download 0.6 Mb. Pdf ko'rish
|
Intagral tenglamalar nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar.
- 2. Fredgol’mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi
|
2. Fredgol’m alternativasi. Agar (A) tenglama mos bir jinsli (B) tenglama ning har bir tayin qiymati uchun noldan farqli yechimga ega bo’lmasa, (A) tenglama ixtiyoriy ozod had ) (x f uchun yagona yechimga ega bo’ladi; agarda (B) bir jinsli tenglama noldan farqli yechimlarga ega bo’lsa, (B) tenglama ham va unga qo’shma (-) bir jinsli tenglam ham bir xil chekli sondagi chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlarga ega bo’ladi; u holda (A) tenglama ixtiyoriy ) (x f uchun
yechimga ega bo’lavermaydi, (A) tenglamaning yechimga ega bo’lishi uchun uning ozod hadi ) (x f qo’shma (C) bir jinsli tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo’lishi zarur va yetarlidir, yani
, ...,
2 , 1 0 ) ( ) (
i dx x x f b a i
bunda , ,...,
1 ), ( k i x i
- (C) tenglamaning barcha chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari.
Aynan nolga teng bo’lmagan funksiya, ravshanki bir jinsli (B) tenglamaning va unga qo’shma bo’lgan (C) tenglamaning yechimi bo’ladi. Bundan keyin, bir jinsli (yoki unga qo’shma) tenglamaning yechimi deganda aynan noldan farqli yechimini tushunamiz.
Bir jinsli (B) tenglama , ,...,
1 ), ( k i x
yechimlarga ega bo’lgan
ning qiymatini, ) , ( y x K yadroning yoki (B) tenglamaning xos soni, ) (x
funksiyalarni esa shu yadro yoki tenglamaning xos songa mos xos funksiyalari deyiladi.
Yuqorida bayon qilinganlarga asosan, yana bir bor ta’kidlab o’tamizki, berilgan xos songa mos chiziqli bog’liq bo’lmagan xos funksiyalarning soni cheklidir.
)
( y x K yadroning barcha xos sonlarni to’palami bu yadroning spektri deb ataladi.
Vol’terra tenglamasi yadrosining spektri bo’sh to’plamdan iborat, aynigan yadroli Fredgol’m ikkinchi tur tenglamasining spektri esa chekli sondagi elementlardan iborat.
Endi (A) tenglamani
) ( ) ( ) , ( ) ( y f dt t t y K y b a
ko’rinishda yozib olib, buning har ikki qismini ) , ( y x K ga
ko’paytiramiz va y bo’yicha a dan
b gacha integrallaymiz. U holda
) ( ) ( ) ( ) , ( x f x dy y y x K b a
tenglikni e’tiborga olib,
) (
( ) , ( ) ( 2 2 2 x f dt t t x K y b a
tenglamani hosil qilamiz, bunda b a dy y f y x K x f y f ) ( ) , ( ) ( ) ( 2 2
Bu jarayonni davom ettirib, quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:
) ( ) ( ) , ( ) ( 2 x f dy y y x K x n b a n
(7) bunda
). ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 1 1 x f x f dy y f y x K x f x f b a n n n n
Shunday qilb, biz ushbu natijaga keldik: agar ) , ( y x K yadroning xos soni, ) (x esa bu xos songa mos xos funksiyasi bo’lsa, u holda n va
) (x iteratsiyalangan ) ,
y x K n yadroning xos soni va xos funksiyasidan iborat bo’ladi.
O’zingizni sinab ko’ring. 1. Uzluksiz yadroli integral tenglamani aynigan yadroli integral tenglamasiga olib kelish g’oyasini keltiring. 2. Fredgol’m alternativasini ta’riflang. 5-Ma’ruza Mavzu: Kuchsiz maxsuslikka ega bo‘lgan integral tenglamalar. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni ____ta O’quv mashg’uloti shakli Ma’ruza
Ma’ruza rejasi 1. Iterasiyalangan yadroli integral tenglamalar. 2. Fredgol’mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi. 3. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar. 4. Vol’terraning birinchi tur integral tenglamasi.
integral tenglamalar haqida tushunchalar berish. O’qitish vositalari O’UM, Ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza blits so’rov texnik-insertika O’qitish shakllari Farontal, kollektiv ish O’qitish sharoiti Texnik visitalar bilan ta’minlangan gruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya Monitoring va baholash Og’zaki savollar blits so’rov
Ish
bosqichlari
O’qituvchi lfaoliyatining mazmuni Tinglovchi faoliyatining mazmuni 1-bosqich mavzuga kirish
(20 min) 1.9. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi,pedagogning vazifasi va talabaning o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.10. Baholash mezonlari (1 – ilova). mavzuni jonlantirish uchun «Blits-so’rov» savollarini beradi. Tinglaydilar. Yozib oladilar. Aniqlashtiradilar, savollar beradilar.
2 - bosqich Asosiy bo’lim
(50 min) 2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha tushuncha beradi. 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. 2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. Tinglaydilar. Javob beradilar
Yozadilar. UMKga qaraydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar.
3-bosqich. Yakunlov chi.
(10 min) 3.5. Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qaerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 3.3. Kеyingi mavzu bo’yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar UMKga qaraydilar. Uy vazifalarini yozib oladilar
Endi
) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x b a
tenglamani ) ( ) ( ) , ( ) ( y f dt t t x K y b a
ko‘rinishda yozib olib, buning har ikki qismini ) , ( y x K ga ko‘paytiramiz va
bo’yicha a dan
b gacha integrallaymiz. U holda ) (
( ) ( ) , ( x f x dy y y x K b a
tenglikni e’tiborga olib, ) ( ) ( ) , ( ) ( 2 2 2 x f dt t t x K x b a
tenglamani hosil qilamiz, bunda dy y f y x K x f x f b a ) ( ) , ( ) ( ) ( 2
) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x n b a n n (1) bunda )
) ( , ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 1 1 x f x f dy y f y x K x f x f n b a n n
Shunday qilib, biz ushbu natijaga keldik: agar ) , ( y x K yadroning xos soni, )
esa bu xos songa mos xos funksiyasi bo‘lsa, u holda n va
) ( x
itarasiyalangan ) , ( y x K n yadroning xos soni va xos funksiyasidan iborat bo‘ladi.
Bunga teskari teorema ham o‘rinlidir. 2. Fredgol’mning ikkinchi tur integral tenglamalar sistemasi
i x f dy y y x K x i j n j b a ij i ,.....,
2 , 1 ), ( ) ( ) , ( ) ( 1
(2) ko‘rinishga ega bo‘ladi, ) , ( y x K ij yadrolar
b y a b x a , kvadratda, ) (x f i
ozod hadlar b x a oraliqda kvadrat bilan jamlanuvchi funksiyalar bo‘lsin.
Tabiiy, noma’lum ) (x i funksiyalar ham shu sinifda izlanadi. (2) sistema uchun yuqorida bitta Fredgol’m tenglamasi uchun bayon qilingan nazariya to‘laligicha o‘rinli bo‘ladi. Masalan, parametr M 1
tengsizlikni qanoatlantirsa n j i b a b a ij dxdy y x K M 1 , 2 2 ) , (
(2) sistema uchun ketma-ket yaqinlashish bu sistemaning echimiga o‘rtacha yaqinlashadi. (2) sistemaga qo‘shma bo‘lgan sistema quyidagicha yoziladi: ) ( ) ( ) , ( ) ( 1
g dy y x y K x i j n j b a ij i
.
Fredgol’mning barcha teoremalari ham (2) sistema uchun o‘rinli bo‘ladi. Biz Fredgol’m nazariyasini (2) sistema uchun asoslanishiga to‘xtamasdan, bunday sistemani Fredgol’m tipidagi bitta tenglamaga keltirish mumkinligini ko‘rsatib o‘tamiz. y x, argument uzunligi ) ,
a oraliqdan n marta katta bo‘lgan ) )
( , ( a n nb a oraliqda o‘zgarsin. Bu oraliqda va funksiyalarni quyidagicha aniqlaymiz. Agar
a i ib x a i b i ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (
bo‘lsa
)). )( 1 ( ( ) ( )), )( 1 ( ( ) ( a b i x f x F a b i x x i i
Xuddi shunga o‘xshash, ) ,
y x K
yadroni , ) 1 ( a n nb x a
) 1 ( n nb y a kvadratda
a j jb y a j b j a i ib x a i b i ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( , ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (
bo‘lganda
)) )( 1 ( ), )( 1 ( ( ) , ( a b j y a b i x K y x K ij
deb aniqlab olsak. Ushbu
a n nb a b a a b b a n nb a n b n a b a b ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 3 2 .... tenglikni e’tiborga olsak,(2) sistema Fredgol’mning bitta
a n nb a y F dy y y x K x ) 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) (
tenglama ko‘rinishda yoziladi. Download 0.6 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|