O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

 

Endi (1) tenglam yechimining yagona ekanligini ko’rsatamiz. 

 

Faraz  qilaylik  (1)  tenglama  ikkita 

)

( x



  va 

)

(x



  uzluksiz 

yechimlarga ega bo’lsin. Bularning ayirmasi 

)

(

)

(

)

(

x

x

x











 bir jinsli 

 

                 





x

a

dy

y

y

x

K

x

)

(

)

,

(

)

(







                                      (4) 

tenglamani qanoatlantiradi. 

)

(

max

*

x

m





 deb belgilab olsak, (4) dan darhol  









x

a

a

x

Nm

dy

y

y

x

K

x

)

(

)

(

(

)

,

(

(

)

(

*









 

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan  foydalanib (4) tenglikdan        

 

          









x

a

a

x

Nm

dy

y

y

x

K

x

2

)

(

)

(

)

,

(

)

(

2

*

2









 

tengsizlikni  hosil  qilamiz.  Bu  jarayonni  davom  ettirib,  ixtiyoriy  natural   

n

uchun  

 

 

 

    

!

)

(

)

(

*

n

a

x

N

m

x

n

n









 

tengsizlikni  hosil  qilamiz.  Bu  tengsizlikdan 





n

  da 

0

)

(



x



  yoki  

)

(

)

(

x

x







 ekanligi kelib chiqadi.  

  

Shunday qilib quyidagi xulosaga keldik. 

 

Vol’terraning  ikkinchi  tur  (1)  integral  tenglamasi,  uning  yadrosi 

)

,

(

y

x

K

  va  ozod  hadi   

)

(x

f

  uzluksiz  fuksiyalar  bo’lgabda 



 

parametrning har bir chekli qiymatida yagona yechimga ega bo’ladi. 

 

 Shu  dalil  bilan  Vol’terraning  ikkinchi  tur  integral  tenglamasi  har 

bir 



 uchun yechimga ega bo’lavermaydigan Fredgolmning ikkinchi tur 

integral tenglamasidan tubdan farq qiladi. 

2. Iterasiyalangan yadro. 

m

1





 tengsizlik bajarilganda 

(3)  funksiyalar  ketm  –  ketligi  (1)  tenglamaning 

)

(x



  yechimga 

yaqinlashishi  isbotlangan  edi.  Endi  shu  ketma  –  ket  yaqinlashish 

strukturasini batafsil o’rganamiz. Ma’lumki,  

 

 

         







b

a

dy

y

f

y

x

K

x

f

x

,

)

(

)

,

(

)

(

)

(

1





 

So’ngra  

                            









b

a

dt

t

t

x

K

x

f

x

)

(

)

,

(

)

(

)

(

1

2







 













b

a

b

a

b

a

dy

y

f

y

t

K

dt

t

x

K

dt

t

f

t

x

K

x

f

)

(

)

,

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

2





 

Ikkilangan integralda integrallsh tartibini o’zgartirib, 

 

                            





b

a

dt

y

t

K

t

x

K

y

x

K

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

 

deb belgilab olib,  

 

         











b

a

b

a

dy

y

f

y

x

K

dy

y

f

y

x

K

x

f

x

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

)

(

2

2







 

 

tenglikni hosil qilamiz. 

Bu 

jarayonni 

davom 

ettirib,                                                                                                  

 

 









b

a

n

i

i

i

n

dy

y

f

y

x

K

x

f

x

1

1

)

(

)

,

(

)

(

)

(







                  (5)

 

  

Tenglikga ega bo’lamiz, bunda 

)

,

(

y

x

K

  lar  

 

 

       

),

,

(

)

,

(

1

y

x

K

y

x

K



 

         









b

a

i

i

i

dt

y

t

K

t

x

K

y

x

K

...

,

3

,

2

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1

 

rekurrent 

munosabatlar  bilan  aniqlanadi. 

)

,

(

y

x

K

i

 

funksiyalar 

iteratsiyalangan ( takrorlangan  ) yadrolar deb ataladi. 

 

 

3.  Rezol’venta.  (3)  ketma  –  ketlikning  yaqinlashishi  isbotlangandagi 

mulohazalarni  qaytarib, 

m

1





  shart  bajarilganda 

b

y

a

b

x

a









,

 

kvadratda  

 

 

               









1

1

1

)

,

(

i

i

y

x

K



   

qatorning tekis yaqinlashishiga ishonch hosil qilish mumkin. 

 

Bu  qatorning  yig’indisi 

)

,

,

(



y

x

R

  ni 

)

,

(

y

x

K

  yadroning  yoki  (1) 

integral tenglamaning rezol’ventasi yoki hal qiluvchi yadrosi deyiladi. 

 

(5)  da 





n

  da  limitga  o’tib,  (1)  tenglamaning  yechimini 

rezol’venta yordamida  

 

 

          







b

a

dy

y

f

y

x

R

x

f

x

)

(

)

,

,

(

)

(

)

(







   

ko’rinishda yozishimiz mumkin. 

O’zingizni tekshirib ko’ring. 

 

1. 

)

,

(

y

x

K

 yadroning rezol’ventasini yozing 

2. Tenglama yechimini rezol’venta orqali ifodalang. 

 

 

 

 

 

3- Ma’ruza 

Mavzu: Fredgol‘mning aynigan yadroli integral tenglamalari. 

 

O’quv soati – 2 soat 

Talabalar soni    ____ta 

O’quv mashg’uloti shakli 

Ma’ruza 

Ma’ruza rejasi   

 1. Fredgol‘mning birinchi teoremasi. 

2.  Fredgol‘mning ikkinchi teoremasi. 

3.  Fredgol‘mning uchinchi teoremasi. 

O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:    Talabalarga 

aynigan  yadroli  integral 

tenglamalari 

haqida tushunchalar berish. 

  O’qitish vositalari 

  O’UM, Ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar 

doska 

  O’qitish usullari  

Axborotli ma’ruza blits so’rov texnik-insertika 

  O’qitish shakllari  

Farontal, kollektiv ish 

  O’qitish sharoiti  

  Texnik visitalar bilan ta’minlangan 

gruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin 

bo’lgan auditoriya 

  Monitoring va 

baholash 

  Og’zaki savollar blits so’rov 

 

Ish 

bosqichlari 

 

O’qituvchi lfaoliyatining mazmuni 

Tinglovchi 

faoliyatining mazmuni  

 

1-bosqich 

mavzuga 

kirish  

(20 min) 

1.5.  O’quv 

mashg’uloti 

mavzusi,  

rejasi,pedagogning  vazifasi  va  talabaning  

o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 

1.6.  Baholash mezonlari (1 – ilova). 

mavzuni  jonlantirish  uchun  «Blits-so’rov» 

savollarini beradi.  

Tinglaydilar.  

Yozib oladilar.  

Aniqlashtiradilar, 

savollar beradilar. 

 

2 - bosqich 

Asosiy 

bo’lim  

(50 min) 

2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi.  

2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar 

bo’yicha tushuncha beradi.  

2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan 

umumlashtiruvchi xulosa beradi.  

2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  

2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 

takrorlanadi. 

Tinglaydilar. 

Javob beradilar  

 

Yozadilar. 

UMKga qaraydilar  

Har bir tayanch 

tushuncha va iboralarni 

muhokama qiladilar.  

 

3-bosqich.  

Yakunlov 

chi. 

(10 min) 

3.3.  Mashg’ulot 

bo’yicha 

yakunlovchi 

xulosalar  qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan 

bilimlarni  qaerda  ishlatish  mumkinligi 

ma’lum qiladi.  

3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni 

chuqurlashtirish uchun adabiyotlar 

ro’yxatini beradi. 

3.3. Kеyingi mavzu bo’yicha tayyorlanib 

kelish uchun savollar beradi.  

 

Savollar beradilar 

 

UMKga qaraydilar  

UMKga qaraydilar. 

Uy  vazifalarini  yozib 

oladilar 

 

1. Fredgol‘mning birinchi teoremasi. 

Fredgol‘mning ikkinchi tur  

   

 

 

)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x

b

a













                                     (1) 

integral tenglamasining 

)

,

(

y

x

K

  yadrosi 







n

i

i

i

y

q

x

p

y

x

K

1

)

(

)

(

)

,

(

                                               (2) 

ko‘rinishda bo‘lsa, u aynigan (buzilgan) yadro deb yuritiladi. 

 

Bundagi 

)

(x

p

i

  va 

)

( y

q

i

,

b

y

a

b

x

a









,

-berilgan  haqiqiy  uzluksiz 

funksiyalardir.  Ayrim  adabiyotlarda  (2)  ko‘rinishdagi  yadro  Pinkerle-

Gursa  yadrosi,  yoki  qisqacha  PG-yadro  deb  ham  ataladi.  Umumiylikka 

ziyon  etkazmay,  barcha 

)

(x

p

i

funksiyalarni  ham 

)

( y

q

i

  funksiyalarni  ham 

o‘zaro  bog’liq  emas  deb  hisoblaymiz.  Aks  holda  (2)  yig’indida 

qo‘shiluvchilar  sonini  kamaytirish  mumkin.  (2)  ifodani  (1)  integral 

tenglamaga qo‘yib,  

 







n

i

b

a

i

i

x

f

dy

y

y

q

x

p

x

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(







                             (3) 

tenglamani hosil qilamiz. (3) integral tenglamani 









n

i

i

i

x

p

c

x

f

x

1

)

(

)

(

)

(





                                   (4) 

ko‘rinishda yozish mumkin, bunda 

n

i

dy

y

y

q

c

b

a

i

i

,.....,

2

,

1

,

)

(

)

(









 

lar 

)

( y



  noma’lum  funksiyaga  bog’liq  bo‘lgani  uchun  noma’lum 

o‘zgarmaslardir. 

 

Endi 

n

i

c

i

,.....,

2

,

1

,



  o‘zgarmas  sonlarni  shunday  tanlashga  harakat 

qilamizki, natijada (4) fomula bilan aniqlangan 

)

( x



 funksiya (3) integral 

tenglamaning  echimidan  iborat  bo‘lsin.  Shu  maqsadda  (4)  ifodani  (3) 

tenglamaning chap tomoniga olib borib qo‘yamiz 

   

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

x

f

dy

y

p

c

y

f

y

q

x

p

x

p

c

x

f

n

i

b

a

n

i

j

j

i

i

n

i

i

i





















 

















 

 

yoki 

                 



 





























n

i

n

i

b

a

i

j

j

b

a

i

i

i

dy

y

q

y

p

c

dy

y

f

y

q

c

x

p

1

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(



 

Bundan 

)

(x

p

i

funksiyalar chiziqli bog’liq bo‘lmagani uchun 

 

 

 

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1







 





dy

y

q

y

p

c

dy

y

f

y

q

c

n

i

b

a

i

j

j

b

a

i

i



 

tenglik kelib chiqadi. Ushbu 

 

 

 

dy

y

f

y

q

b

a

i

i





)

(

)

(



      

0

)

(

)

(







dy

y

q

y

p

b

a

i

j

ij



 

belgilarni kiritib, avvalgi tenglikni 

 

 

 

 

n

i

c

c

i

n

i

j

ij

i

,.....,

2

,

1

,

1

















                                    (5) 

ko‘rinishda yozib olamiz. 

 

Shunday  qilib,  (3)  integral  tenglamaning  echimini  topish 

masalasini  (5)  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasini  echishga  olib 

keldik. 

 

(5) sistema nazariyasida 

 

 

 

 

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

M









































1

1

1

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11







 

matrisa muhim rol o‘ynaydi. Bu matrisaning determinantini 

)

(



D

 orqali 

belgilab olamiz, ya’ni  

)

(

)

(

det





D

M



. Chiziqli algebra kursida ma’lumki, 

agar 

                                                   

0

)

(





D

                                            (6) 

bo‘lsa, (5) sistema ixtiyoriy 

i



 o‘ng tomohlar uchun yagona echimga ega 

bo‘ladi  va  bu  echim  Kramer  formulalari  bilan  aniqlanadi.  Ammo, 

)

(



D

diterminant 



 ga nisbatan  

n

-darajali ko‘phaddan iboratdir. 

 

Demak, 

)

(



D

 

ko‘phadning  ildizlari  bo‘lgan 



  ning  сhekli 

sondagi: 

n

m

m



,

.,

,.........

1





  qiymatlar  uchun  (6)  shart  buziladi. 



  ning bu 

qiymatlari 

)

,

(

y

x

K

  yadrosning yoki bunga mos (3) integral tenglamaning 

xos (xarakteristik) sonlari deyiladi. 

 

Shunday  qilib, 



ning 

k



  lardan 

m

k

,......,

2

,

1



  farqli  bo‘lgan  har  bir 

chekli qiymat uchun (5) sistema yagona 

n

c

c

.,

,.........

1

 echimga ega bo‘ladi. 

Bu  echimni  (4)  tenglikning  o‘ng  tomoniga  qo‘yib,  (3)  integral 

tenglamaning 

)

( x



 echimiga ega bo‘lamiz. 

 

Natijada quyidagi teoremani isbotladik. 

Fredgol’mning birinchi teoremasi. 

 

Agar 



)

,

(

y

x

K

 yadroning xos soni bo‘lmasa, ixtiyoriy uzluksiz 

)

(x

f

 

uchun  (3)  integral  tenglama  echimiga  ega,  shu  bilan  birga  bu  echimga  

yagona bo‘ladi.