O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi
Fredgol‘mning ikkinchi teoremasi
Download 0.6 Mb. Pdf ko'rish
|
Intagral tenglamalar nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- ` 4-Ma’ruza. Mavzu: Uzluksiz yadroli Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamasi.
|
2. Fredgol‘mning ikkinchi teoremasi. (3) integral tenglamaga mos bir jinsli
b a n i i i dy y y q x p x 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (
(7) tenglama (5) ga mos bo‘lgan ushbu
j j ij i c c 1 0 (8) bir jinsli chiziqli algebik sistemsgs keladi. (7) tenglamaga qo‘shma bo‘lgan bir jinsli tenglama,
b a n i i i dy y y q y p x 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (
(9) ko‘rinishga ega bo‘ladi. (9) tenglamaga ega (8) ga qo‘shma bo‘lgan
j j ij i d d 1 0
bir jinsli sistemaga teng kuchlidir, bunda n i dy y y p d b a i i ,.....,
2 , 1 , ) ( ) (
Agar m k k ,.....,
2 , 1 , bo‘lib, ) (
M matrisaning rangi r ga teng bo‘lsa, chiziqli algebradan ma’lumki, bir jinsli (8) sistema ham va unga qo‘shma bo‘lgan (10) sistema ham r n ta
r n j d d c c j n j j n j ,..., 2 , 1 , ,........, , ,......., 1 1
chiziqli bog’liq bo‘lmagan echimlarga ega bo‘ladi. Bu echimlarni (7) va (9) dan nosil bo‘lgan ushbu r n j x q d x x p c x n j i j i j n j i j i j ,....., 2 , 1 ), ( ) ( ), ( ) ( 1 1
(10) formulalarning o‘ng tomonlariga qo‘yib, (7) va (8) bir g’insli integral tenglamalarning r n tadan chiziqli bog’liq bo‘lmagan echimlarini hosil qilamiz. Fredgolmning ikkinchi teoremasi. Bir jinsli (7) tenglama va unga qo‘shma bo‘lgan bir jinsli (9) tenglama bir xil r n tadan chiziqli bog’liq bo‘lmagan echimlar ega bo‘ladi.
Bir jinsli (7)
tenglamaning nolga
teng bo‘lmagan r n j x j ,....., 2 , 1 ), ( echimlari (3) tenglamaning yoki ) ,
y x K yadroning k
xos songa mos bo‘lgan zos funksiyalari deyiladi. 3. Fredgol‘mning uchinchi teoremasi. Yana chiziqli algebra kursiga murog’at qilamiz. Ma’lumki,
,.....,
2 , 1 , bo‘lganda (5) sistema ixtiyoriy o‘ng tomonlar uchun echimga ega bo‘lavermaydi. Bu sistemaning echimiga ega bo‘lishi uchun
n i i ,.....,
2 , 1 ,
sonlar
,....., 2 , 1 , 0 1 (11) shartlarni qanoatlantirishi zarur va etarlidir. (11) shartlarda
o‘rniga uning qiymatini qo‘yib, (11) ga tang kuchli bo‘lgan quyidagi tengliklar sistemasiga ega bo‘lamiz:
j n i i j i b a b a i j i n i j i i dx x q d x f dx x f x q d d 1 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (
Bundan (10) ga asosan r n j dx x x f b a j ,....., 2 , 1 , 0 ) ( ) (
tengliklar hosil bo‘ladi. Biror D sohada, xususan ) ,
a oraliqda, ikkita funksiyaning ko‘paytmasidan olingan integral nolga teng bo‘lsa, bu funksiyalar ortogonal deb ataladi. Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbot qildik. Fredgolmning uchunshi teoremasi. m k k ,.....,
2 , 1 , bo‘lganda (3) integral tenglamaning echimiga ega bo‘lishi uchun uning ozod hadi ) (x f ning qo‘shma bir jinsli (8) tenglamaning barcha
,....., 2 , 1 ), ( echimlariga ortogonal bo‘lishi zarur va etarlidir.
O‘zingizni sinab ko’ring 1. Fredgol‘mning birinchi teoremasini ta‘riflang. 2. Fredgol‘mning ikkinchi teoremasini ta’riflang. 3. Fredgol‘mning uchinchi teoremasini ta’riflang.
O’quv soati – 2 soat Talabalar soni ____ta O’quv mashg’uloti shakli Ma’ruza
Ma’ruza rejasi 1. Uzluksiz yadroli Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamasi. 2. Fredgol’m alternativasi. 3. Itersiyalangan yadroli integral tenglama.
uzluksiz yadroli integral tenglamalar haqida tushunchalar berish. O’qitish vositalari O’UM, Ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza blits so’rov texnik-insertika O’qitish shakllari Farontal, kollektiv ish O’qitish sharoiti Texnik visitalar bilan ta’minlangan gruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya Monitoring va baholash Og’zaki savollar blits so’rov
Ish
bosqichlari
O’qituvchi lfaoliyatining mazmuni Tinglovchi faoliyatining mazmuni
1-bosqich mavzuga kirish
(20 min) 1.7. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi,pedagogning vazifasi va talabaning o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.8. Baholash mezonlari (1 – ilova). mavzuni jonlantirish uchun «Blits-so’rov» savollarini beradi. Tinglaydilar. Yozib oladilar. Aniqlashtiradilar, savollar beradilar.
2 - bosqich Asosiy bo’lim
(50 min) 2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha tushuncha beradi. 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. 2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. Tinglaydilar. Javob beradilar
Yozadilar. UMKga qaraydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar.
3-bosqich. Yakunlov chi.
(10 min) 3.4. Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qaerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 3.3. Kеyingi mavzu bo’yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar UMKga qaraydilar. Uy vazifalarini yozib oladilar
Ushbu ) ( 0 ) ( ) , ( ) ( ) ( 0 ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) (
dy y x y K x B y y x K x A fx dy y y x K x b a b a b a uzluksiz yadroli Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamasini o’rganamiz. Endi (A) tenglamaning yadrosi aynigan bo’lmagan holni tekshiramiz. Agar
) , ( y x K funksiya b x a b y a kvadratda uzluksiz bo’lsa, matematik analiz kursida isbotlanadigan Veyershtrass teoremasiga asosan, har bir 0 uchun x va y ga nisbatan yetarli yuqori darajali shunday ) , ( 0
x K ko’phad mavjud bo’ladiki, barcha R da
) , ( ) , ( 0 y x K y x K
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ravshanki ) , ( 0
x K ko’phadning har bir hadi bittasi
ga, ikkinchi y ga bog’liq bo’lgan ikkita ko’paytuvchining ko’paytmasi sifatida ifodalash mumkin. Shu sababli ) , ( y x K yadroni
n i i y x K y q x p y x K 1 1 1 ) , ( ) ( ) ( ) , ( (1) ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundagi ) , ( 1
x K ifoda
R da
) , ( ) ( 1 y x K a b (2) sharni qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya. (1) tenglik ) ,
y x K yadroni kichik va aynigan yadrolar yig’indisiga ajrtatilganligini ifodalovchi formuladir. (1) ga sosan Fredgol’m tenglamani
) ( ) ( ) , ( ) ( 1
F dy y y x K x b a (3) ko’rinishda yozib olamiz, bunda
n i b a i dy y y q x p x f x F 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (4)
parametrning ixtiyoriy chekli tayin qiymati uchun sonni shunday kichik tanlab olamizki,
1 (5) tengsizlik o’rinli bo’lsin. (2) tengsizlikga asosan
a dy y x K ) , ( 1
Demak (3) tenglama (5) ga ko’ra birdan-bir yechimga ega bo’ladi. ) , ( 1
x K yadroning rezol’ventasini ) ,
( 1
y x R oraqali belgilab, (3) tenglama yechimini
b a dy y F y x R x F x ) ( ) , , ( ) ( ) ( 1 (6) ko’rinishda yozib olamiz. (6) tenglikdagi ) ( x F o’rniga uning qiymati (4) ni olib borib qo’yamiz:
n i b a i i dy y y q x p x f x 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
a n i b a i i dt dy y y q t p t f t x R . ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( 1 1
ushbu
b a dt t f t x R x f x g . ) ( ) , , ( ) ( ) ( 1
b a i i dt t p t x R x p x r . ) ( ) , , ( ) ( ) ( 1 1
belgilashlarni kiritib,
b a n i i x g dy y y q x r x 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
(6) tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib, ning ixtiyoriy chekli tayin qiymati uchun uzluksiz yadroli tenglama aynigan yadroli Fredgol’mning ikkinchi tur (6) tenglamasiga ekvalent ekan.
(6) tenglama uchun avvalgi bandda bayon qilingan Fredgol’m teoremalari o’rinli bo’lgani uchun uzluksiz yadroli tenglama uchun ham o’rinli bo’ladi. Bu teoremalarga asosan quyidagi al’ternativa hosil bo’ladi.
Download 0.6 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|