O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi
Kuchsiz yadroli integral tenglamalar
Download 0.6 Mb. Pdf ko'rish
|
Intagral tenglamalar nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4. Vol’terraning birinchi tur integral tenglamasi.
- O‘zingizni sinab ko‘ring.
- 6-Ma’ruza Mavzu: Nofredgol’m integral tenglamalarga misollar.
- 1. Fure’ almashtirishi.
|
3. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar.
1 0 , ) , ( ) , ( y x y x H y x K (3) ko‘rinishga ega bo‘lsa, bunda ) , ( y x H o‘z argumentlarining uzluksiz (yoki chegaralangan) funksiyasi.
Bu usuldan ayrim maxsusliklarini yo‘qotishda foydalanish mumkin, chunki iterasiyalangan yadrolar, umuman aytganda, boshlang‘ich yadroga nisbatan siliqroq bo‘ladi
Agar (3) tipdagi yadro berilgan bo‘lsa, iterasiyalangan ) , ( y x K n
yadro ham (3) ko‘rinishda bo‘ladi, faqat son o‘rniga ) 1
1 n son bo‘ladi. Haqiqatan ham, iterasiyalangan ) ,
2 y x K yadro uchun dt t y t x y t H t x H dt y t K t x K y x K b a b a ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu ifodani dt y t x t y t H t x H dt t y x t y t H t x H dt t y t x y t H t x H y x K b y y x x a ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( 2
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu integrallarda mos ravishda s x y y t s x y x t s x y x t ) ( , ) ( , ) ( almashtirishlarni bajarsak, bu integrallarda har bir 1 2
) , (
y x t x H , bunda ) , ( *
x H uzluksiz funksiya, ko‘rinishdagi funksiya ekanligi kelib chiqadi. Bundan darhol 1 2 2 2 ) , ( ) , (
y x t x H y x K
ga ega bo‘lamiz ) , ( 2
x H uzluksiz funksiya. Matematik induksiya usuli bilan ) , ( 1
x K n iterasiyalangan yadro uchun )
)( 1 ( 1 1 1 ) , ( ) , (
n n y x t x H y x K
tenglikni to‘g’ri deb hisoblasak, yuqoridagi mulohazalarni qaytarish natijasida
) 1 ( 1 ) , ( ) , (
n n y x t x H y x K
tenglik o‘rinli bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Etarli katta n
uchun ) 1 ( 1 n son manfiy bo’ladi, u holda bunday n uchun
) , ( y x K n yadro uzluksiz bo‘ladi. Shunday qilib, kuchsiz maxsuslikka ega bo‘lgan integral tenglamalar uchun ham Fredgol’mning hamma teoremalari o‘z kuchini saqlab qoladi.
Vol’terraning birinchi tur
a x f dy y y x K ) ( ) ( ) , (
(4) integral tenglamasini tekshiramiz Faraz qilaylik, (4) tenglamaning yadrosi va ozod hadi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1)
) ( ' ), , ( x f y x K x lar mavjud uzluksiz funksiyalar, 2) )
( x x K hech qaerda nolga aylanmaydi.
Bu holda (4) tenglamani x bo‘yicha differensiyallab, Vol’terraning ikkinchi tur integral tenglamasiga olib kelamiz: x a x x f dy y y x K x x x K ) ( ' ) ( ) , ( ) ( ) , (
(5) yoki
x a x f dy y y x K x ) ( * ) ( ) , ( * ) (
bunda ) , ( ) ( ' ) ( * , ) , ( ) , ( ) , ( *
x K x f x f x x K y x K y x K x
Yuqorida keltirilgan shartlardan ehg muhimi ) , ( x x K ning nolga aylanmaslik shartidir, chunki
ning biror qiymati ) ,
x x K nolga teng bo‘lib qolsa, Vol’terraning birinchi tur integral tenglamasini tekshirishda katta qiyinchiliklarga duch kelinadi.
1.Iterasiyalangan integral tenglama bilan dastlabki integral tenglama o‘rtasida bog‘lanish. 2. Kuchsiz yadroli integral tenglamalar. 4. Vol’terraning birinchi tur integral tenglamasi.
6-Ma’ruza Mavzu: Nofredgol’m integral tenglamalarga misollar. O’quv soati – 2 soat Talabalar soni ____ta O’quv mashg’uloti shakli Ma’ruza
Ma’ruza rejasi 1. Fure’ almashtirishi. 2. Integral tenglama yadrosi argumentlar ayirmasidan iborat bo’lgan hol. 3. Integral tenglama yadrosi chizig’ida birinchi tartibli maxsuslikka ega bo’lgan hol.
4. Abel’ tenglamasi. O’quv mashg’ulotining maqsadi: Talabalarda integral tenglamalar haqida tushunchalarini mustahkamlab berish. O’qitish vositalari O’UM, Ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar doska O’qitish usullari Axborotli ma’ruza blits so’rov texnik-insertika O’qitish shakllari Farontal, kollektiv ish O’qitish sharoiti Texnik visitalar bilan ta’minlangan gruhlarda ishlash usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya Monitoring va baholash Og’zaki savollar blits so’rov
Ish
bosqichlari
O’qituvchi lfaoliyatining mazmuni Tinglovchi faoliyatining mazmuni
1-bosqich mavzuga kirish
(20 min) 1.11. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi,pedagogning vazifasi va talabaning o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 1.12. Baholash mezonlari (1 – ilova). mavzuni jonlantirish uchun «Blits-so’rov» savollarini beradi. Tinglaydilar. Yozib oladilar. Aniqlashtiradilar, savollar beradilar.
2 - bosqich Asosiy bo’lim
(50 min) 2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha tushuncha beradi. 2.2. Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. 2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi. Tinglaydilar. Javob beradilar
Yozadilar. UMKga qaraydilar Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar. 3-bosqich. Yakunlov chi.
(10 min) 3.6. Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qaerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 3.3. Kеyingi mavzu bo’yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar UMKga qaraydilar. Uy vazifalarini yozib oladilar
0 ) ( ) ( cos
1 ) ( dt t f t x u du x f (1) integral formulasida foydalanib, bu erda
t f e x F L x f ixt ) ( 2 1 ) ( ). , ( ) ( (2) integral tenglamani yechamiz, buning uchun (2) tenglamani ushbu ko‘rinishda yozib olamiz
ds s f e x F ixs ) ( 2 1 ) ( (3) endi (3) tenglamani
2
e ga ko‘paytirib x bo‘yicha ) ,
oraliqda integrallaymiz
0 ) ( ) ( ) ( ) ( cos
2 1 ) ( ) ( cos ) ( 2 1 ) ( sin
) ( cos ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 t f ds s f s t x dx ds s f t s x ds s f dx t s x i t s x ds s f dx e ds s f ds s f e dx e dx x F e t s ix ixs ixt ixt
Shunday qilib (2) tenglamani yechimi dx x F e t f ixt ) ( 2 1 ) ( (4) ko‘rinishda bo‘lar ekan.
bo’lgan hol. ) ( ) ( ) ( x f ds s e x s x
(5) integral tenglamani o’rganamiz. (5) integral tenglama Fredgol’m tenglamasi bo’lishi uchun
dxds s x K 2 ) , (
(6) bo’lishi zarur edi. (5) tenglama uchun (6) shartni buzulganligini ko’rsatamiz ya’ni
) , (
yadro kvadrati bilan integrallanuvchi emas. Haqiqatdan ham
ds e dx dxds s x K s x 2 2 ) , ( (7)
ichki integralni hisoblaymiz
1 2 1 0 0 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 x s x x s x x s x x s x s x e e ds e ds e ds e
Bu tenglikdan
dxds s x K 2 2 ) , ( (8)
ekanligi kelib chiqadi. Demak (5) tenglama Fredgol’m tenglamasi emas. Endi (5) tenglamani echish usulini keltiramiz. Tenglamaning ikki tomoniga Fur’e almashtirishni qo’llaymiz buning uchun ikki tomonini t ix e
2 1
ko’paytirib ) , ( oraliqda integrallaymiz
x f e dx ds s e dx x e t ix s x t ix t ix ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 (9)
va ushbu
dx x e t t ix ) ( 2 1 ) (
dx x f e t F ixt ) ( 2 1 ) (
belgilashlarni kiritib ushbu
e ds s dx ds s e I s x ixt s x t ix ) ( 2 1 ) ( 2 1 (10) integralni hisoblaymiz.
Ichki integralda ushbu s x y almashtirishni bajaramiz, u holda
0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 1 1 1
y it y t is it y it y t is y t iy t is s x t ix e it e it e dy e y d e e dy e e dx e
2 1 2 1 1 1 1 t e it it e t is t is (11)
shunday qilib (11) ga asosan (10) ifodani quyidagicha yozib olamiz ) ( 1 1 ) ( ) 1 ( 2 1 2 2
t ds s e t I t ix
(12) (12) ga asoasn (9) ifoda sodda tenglamaga keladi
) ( ) ( 1 2 1 2 t F t t
agar
2 1 bo’lsa, u holda 0 1
1 2
. Demak
) ( 2 1 1 ) ( 2 2
F t t t yechimga kelamiz. Bu erdan
dt t F t t e dt t e x t ix t ix ) ( 2 1 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 (13) Yechimga kelamiz.
Agar 2 1 bo’lsa
umuman olganda (13) integral mavjud emas, va (5) tenglama yechimga ega emas ( -xarakteriskik son mazmuni) lekin bu sonlar butun integralni to’ldiradi, bu Fredgol’m teoremasiga zid. Fredgol’m tenglamasida -xarakteriskik son yakkalangandir.
Shunday o’xshash natijani ) ( ) ( ) ( ) (
f ds s s x K x
tenglama uchun ham olish mumkin faqat tenglama yadrosi uchun
dx x K ) ( shartni bajarilishi kerak. Download 0.6 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|