O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’limi vazirligi namangan davlat universiteti matematika fakul’teti

Diffuziya uzunligi va vaqt shkalasini olish
Diffuziyaning uzunligi va vaqtini tushunishning eng oddiy yo'li diffuziya tenglamasi va diffuziya koeffitsientining o'lchovli tahlilidan kelib chiqadi. Yagona tarqaladigan tur uchun Fikning ikkinchi qonunining chiziqli shaklini (diffuziya tenglamasini) eslang:


^{E'tibor bering, tenglama birinchi marta hosilani ikkinchi kosmik lotin bilan bog'laydi va diffuziya koeffitsienti m 2} s ^-1 birliklariga ega . Ushbu o'lchamlarga ko'ra, biz diffuziyaning fazoviy va vaqtinchalik darajasi o'rtasidagi bog'liqlik haqida xulosa chiqarishimiz mumkin:


Ya'ni, diffuziya qatlamining hajmi o'tgan vaqtning kvadrat ildiziga mutanosib ravishda o'sib boradi. Shu bilan birga, barqaror holatga erishish uchun zarur bo'lgan vaqt diffuziya sodir bo'lishi kerak bo'lgan uzunlik shkalasining kvadratiga bog'liq. Bu mutanosiblik ba'zan Eynshteyn munosabati deb ataladi , bu Albert Eynshteynning diffuziya statistikasini makon va vaqt orqali konsentratsiyaning makroskopik evolyutsiyasi bilan bog'lagan ishiga ishora qiladi.
Shunga o'xshab, diffuziya tenglamasining o'lchovsizlanishini mos yozuvlar vaqt shkalasi, va mos yozuvlar uzunligi shkalasini kiritish orqali ko'rib chiqaylik  . Keyin, o'lchovsiz vaqt uchun  ,


Bu erda o'lchovsiz koeffitsient


Furye soni deb ataladi . Katta Furye sonida o'lchovsiz vaqt hosilasi kichikdir - kontsentratsiyalar barqaror holatdagi diffuziya tenglamasini qondiradigan barqaror holatga yaqinlashadi. Kichik Furye sonida o'lchovsiz vaqt hosilasi katta bo'ladi - kontsentratsiyalar barqaror holatdan uzoqda qoladi va vaqt o'tishi bilan rivojlanishda davom etadi.
Kontseptual o'lchovli tahlilning bunday yondashuvi qimmatli bo'lsa-da, bu munosabatlarni tasdiqlash uchun diffuziya tenglamasining ham analitik, ham raqamli echimlarini tekshirish foydalidir. Biz oddiy misolni ko'rib chiqishimiz mumkin. Dastlab bir xil konsentratsiyada c ₀ bo'lgan reaktivni o'z ichiga olgan L kenglikdagi 1D fazoni tasavvur qilaylik . t = 0 bo'lganda , chap chegara o'z xususiyatlarini o'zgartiradi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan turni iste'mol qiladigan tez kimyoviy reaktsiya sodir bo'ladi. Shuning uchun x = 0 dagi konsentratsiya tezda nolga aylanadi. Ushbu turdagi tizim substratda biologik komponentning reaktsiyasi yoki katta tekislikdagi elektrodda elektrokimyoviy reaktsiya mavjud bo'lgan hollarda duch kelishi mumkin.
Tizim qanday javob beradi? Reaksiyaning umumiy tezligi qanday? Barcha massa iste'mol qilinguncha qancha vaqt ketadi? Ushbu savollarga javob berish uchun biz raqamli simulyatsiyani amalga oshirishimiz va diffuziya tenglamasini echishimiz mumkin. 2-rasmda o'tgan vaqt bo'yicha bir qator kontsentratsiya profillari ko'rsatilgan. 3-rasmda reaktsiya oqimi ko'rsatilgan, 4-rasmda vaqt o'tishi bilan tizimning yig'ilgan massasi ko'rsatilgan.

2-rasm: Cheklangan uzunlikdagi qutining chap tomonida tez iste'mol qilinadigan kimyoviy turning dastlabki kontsentratsiyasiga nisbatan o'lchangan konsentratsiya profillari.

3-rasm: Cheklangan kenglikdagi diffuzion tizimning chap tomonidagi material oqimining log-log grafigi.
3-rasmdan biz diffuziya tizimining dinamik harakati ikki rejim o'rtasida o'tishini aniqlashimiz mumkin. Birinchi rejimda oldinga siljuvchi diffuziya qatlami hali cheklangan qutining o'ng tomoniga etib bormagan; Bu Furye soni kichik bo'lgan vaqt oralig'ida shunday bo'ladi. Diffuziya qatlami qutining o'ng tomonidagi suv o'tkazmaydigan devorga duch kelganidan so'ng, oqim tezroq tusha boshlaydi va tizimning massa tarkibi yo'qoladi. Furye soni katta bo'lgan uzoq vaqtlarda yangi barqaror holatga (hamma joyda nol konsentratsiya) erishiladi.

4-rasm: Diffuziya natijasida material yo'qolgan tizim uchun umumiy massa tarkibining evolyutsiyasi (nisbiy shkala).
Reaksiya uchun cheksiz miqdordagi material mavjud bo'lgan holat haqida nima deyish mumkin? Bunday holda, konsentratsiya hech qachon ommaviy ravishda yo'qolmaydi. Buning o'rniga, diffuziya qatlami o'tgan vaqtning kvadrat ildiziga mutanosib masofa bo'ylab oldinga siljishda davom etadi, shu bilan birga reaksiya tezligi ham xuddi shu nisbatga ko'ra kamayadi. Bu Kottrell muammosi va u taniqli analitik yechimni beradi:


Funktsiya diffuzion tahlilda tez-tez paydo bo'ladigan xato funktsiyasidir  . Bu erda Eynshteyn munosabatlarining takroriy mavjudligiga e'tibor bering,


X = 0 da diffuziv oqimni topish uchun bashorat qilingan kontsentratsiya profilini farqlash, tizimdan chiqadigan oqimning proportsionalligini beradi  , bu 3-rasmning birinchi qismidagi -½ gradienti bilan tasdiqlanadi.