O‘zbekiston respublikasi raqamli texnologiyalar vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti teleradio eshittirish va

n = 3 uchun:

x1 = -0.77459667, w1 = 0.55555555, x2 = 0, w2 = 0.88888888, x3 = 0.77459667, w3 = 0.55555555

n = 4 uchun:

x1 = -0.86113631, w1 = 0.34785485, x2 = -0.33998104, w2 = 0.65214515,

x3 = 0.33998104, w3 = 0.65214515, x4 = 0.86113631, w4 = 0.34785485

Aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits formulasi

(7.1)
yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funksiyalarning boshlang’ich funksiyalari (aniqmas integrallari) elementar funksiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funksiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (7.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.
Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki, integral y=f(x) egri chiziq, x=a va x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).

7.1-rasm

Endi S= integralni taqribiy hisoblash maqsadida. kesmani n ta bo‘laklarga bo‘lamiz va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida
a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b
ko‘rinishida belgilaymiz. U holda,
(7.2)
ekanligini payqash qiyin emas.
Oxirgi tenglikdagi (i=1,2,…,n) integrallarni taqribiy hisoblashning bir qator usullari mavjud bo‘lib, ulardan ba’zi birlarini quyida keltiramiz.
Quyidagi Gauss formulalari eng mashhur formulalar hisoblanadi:
1. Gauss-Legendre formulalari: Bu formulalar integrallarni jadvallar yordamida hisoblash uchun ishlatiladi. Ular hisoblash jarayonida integrallarni bir qator qiymatlarga bo'lib, integralni yechishga olib keladilar.
2. Gauss-Kronrod formulalari: Bu formulalar Gauss-Legendre formulalariga qaraganda ko'p nuqtali formulalardir. Ular integrallarni hisoblashda ko'pincha nuqtalarni o'z ichiga oladi va samaradorligi oshiradi.
3. Gauss-Chebyshev formulalari: Bu formulalar Chebyshev funksiyalari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi.
4. Gauss-Hermite formulalari: Bu formulalar Hermite polinomlari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi.
5. Gauss-Laguerre formulalari: Bu formulalar Laguerre polinomlari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi.
Bu formulalar umumiy hisoblash formulalari hisoblanadi va ulardan foydalanish, integrallarni taqribiy hisoblashda yordam beradi.
Gauss formulalari, integrallarni taqribiy hisoblashda ishlatiluvchi formulalar to'plami hisoblanadi. Ular o'z ichiga boshqa formulalar va hisoblash usullarini o'z ichiga oladi va ulardan ko'proq foydalanish mumkin.
Gauss formulalari bir xil shaklda yoziladi:
∫ f(x)dx ≈ Σ wf(x)
Bu formulada Σ wi f(xi) hisoblangan qiymatlar yig'indisini ifodalaydi, xi qiymatlari esa integrallashuvchi funksiya qiymatlarini ko'rsatadi. Gauss formulalaridagi asosiy ishlash prinsipi bu hisoblash formulalarida foydalaniladigan qiymatlarni va ulardan ko'p nuqtalarni tanlashga asoslangan bo'lishidir.
Gauss formulalari, turli turdagi integrallarni hisoblashda ishlatiladi va ulardan bir necha turi mavjud. Masalan, Gauss-Legendre formulalari integrallarni jadvallar yordamida hisoblashda ishlatiladi. Bu formulalar integrallarni bir qator qiymatlarga bo'lib, integralni yechishga olib keladilar. Gauss-Chebyshev formulalari Chebyshev funksiyalari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi. Gauss-Hermite formulalari Hermite polinomlari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi. Gauss-Laguerre formulalari Laguerre polinomlari yordamida hisoblangan integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi.
Barcha Gauss formulalari, integrallarni taqribiy hisoblashda yordam beradi. Ular integrallarni yechishda samaradorlikni oshiradigan turli turlarda qiymatlarni olib keladi. Qulaylikka, formulalarning umumiy ko'rinishi o'zgarishsiz qoladi, faqat qiymatlar va koordinatalar formulani ishlatilayotgan integrallar turiga moslashtirilgan.
Gauss formulalari, integrallarni taqribiy hisoblashda ishlatiladigan formulalar to'plamidir. Bu formulalar integrallarni yechishda samaradorlikni oshirish uchun o'z ichiga ko'plab nuqtalarni va ularning foydalaniladigan qiymatlarni olishga asoslangan bo'lib, integrallarni yechishda xatoliklarni kamaytiradi.
Gauss formulalari asosan integralni yechishda boshqa formulalardan farkliroq ko'plab nuqtalarni ishlatadi. Ular integralni yechishda samaradorligi oshirish uchun ularning ham soni ham qiymati o'zgartiriladi. Bunda formulalar ko'pincha integrallarni bir qator nuqtalarga bo'lib, ularda funksiya qiymatlari olinadi va yig'indisi hisoblanadi. Yig'indisi integralni taqribiy yechishga qarab topilgan bo'ladi.
Gauss formulalari turli xil formulalardir va ulardan foydalanish integrallarni yechishda samaradorligini oshiradi. Bunda har bir formulaga o'z xususiyatlari bor va ulardan foydalanish o'z turli xususiyatlari bilan bir qatorda integrallarni yechishda foydalanishga imkoniyat beradi. Shuningdek, Gauss formulalari integralni yechishda ishlatiladigan qiymatlarni va ulardan foydalaniladigan nuqtalarni belgilashni osonlashtiradi.
Yuqorida tavsiflangan usullar bo'lakning sobit nuqtalaridan (uchlari va o'rtalari) foydalanadi va past aniqlik tartibiga ega (0 - o'ng va chap to'rtburchaklar usullari, 1 - o'rtacha to'rtburchaklar va trapesiyalar usullari, 3 - o'rtacha to'rtburchaklar usuli. parabolalar (Simpson)). Agar f (x) funksiyaning qiymatlarini hisoblaydigan nuqtalarni tanlay olsak, subintegral funktsiyani hisoblashning bir xil miqdorida yuqoriroq aniqlikdagi usullarni olish mumkin. Shunday qilib, subintegral funktsiya qiymatlarini ikkita (trapetsiya usulida bo'lgani kabi) hisoblash uchun yana 1 va 3-darajali aniqlik usulini olish mumkin:

Odatda, n nuqtadan foydalanib, 2n-1 tartibli aniqlik bilan usulni olish mumkin. Ntochkam bo'yicha Gaussa usuli tugunlarining qiymatlari n darajali Lejandra ko'pligining ildizlari hisoblanadi.

Gaussa usulidagi tugunlarning qiymatlari va ularning masshtablari maxsus funksiyalar kataloglarida hosil bo'ladi. Besh nuqta bo'yicha Gaussa usuli eng ma'lum.
1-misol:

Gauss usuli yordamida hisoblang.

Yechimi:

Javob: 3.584

2-misol

Gauss usuli yordamida hisoblang.

Yechimi:

Javob: -0.588

Bu yerda quyidagi teoremani keltiramiz: