O'zboshimchalikni

Furye qatori - davriy funktsiyani sinuslar va kosinuslarning cheksiz yig'indisi bo'yicha kengaytirish . Furye qatorlari sinus va kosinus funktsiyalarining ortogonallik munosabatlaridan foydalanadi . Furye seriyasini hisoblash va o'rganish harmonik tahlil deb nomlanadi va o'zboshimchalikni buzish usuli sifatida juda foydalidir.ulanishi mumkin bo'lgan, yakka tartibda echilishi mumkin bo'lgan, so'ngra asl muammoning echimini yoki unga kerakli yoki aniq amaliy aniqlikdagi yaqinlashishni olish uchun birlashtirilishi mumkin bo'lgan oddiy atamalar to'plamiga davriy funktsiya. Furye seriyasidan foydalangan holda umumiy funktsiyalarga ketma-ket yaqinlashish misollari yuqorida ko'rsatilgan.

Xususan, chiziqli bir hil oddiy differentsial tenglama echimlari uchun superpozitsiya printsipi mavjud bo'lganligi sababli , agar bunday tenglamani bitta sinusoid misolida echish mumkin bo'lsa, o'zboshimchalik funktsiyasi uchun echim darhol Funkeraning asl funktsiyasini ifodalash orqali mavjud bo'ladi ketma-ket va keyin har bir sinusoidal komponent uchun eritmani ulang. Furye seriyasini yopiq shaklda yig'ish mumkin bo'lgan ba'zi bir maxsus holatlarda ushbu uslub hattoki analitik echimlarni ham berishi mumkin.

To'liq ortogonal tizimni tashkil etadigan har qanday funktsiyalar to'plami Furye qatoriga o'xshash tegishli Furye seriyasiga ega. Masalan, birinchi turdagi Bessel funktsiyasining ildizlari ortogonalligidan foydalanib, Furye -Bessel qatori deb ataladi .

(Odatdagi) Furye seriyasini hisoblash integral identifikatorlarga asoslanadi

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

uchun , qaerda bo'ladi Kronecker delta .

Umumlashtirilgan Furye qatori uchun usul yordamida sinuslar va kosinuslarni o'z ichiga olgan odatiy Furye qatorlari olinadi va olinadi . Bu vazifalar bir hosil buyon to'liq tik tizimi orqali , bir funktsiyasi Fourier qator tomonidan taqdim etiladi

(6)

qayerda

			(7)
			(8)
			(9)

va , 2, 3, .... doimiy muddatga koeffitsienti deb Eslatma bir umumiy shakliga nisbatan maxsus shaklda yozilgan umumiy Fourier qator belgilaydi bilan nosimmetrik saqlab qolish uchun va .

Fourier kosinus koeffitsienti va sinus koeffitsienti amalga oshirilmoqda Wolfram til sifatida FourierCosCoefficient [ ifoda , t , n ] va FourierSinCoefficient [ ifoda , t , n , o'z navbatida,].

Furye qatori funktsiyaga yaqinlashadi (uzluksizlik nuqtalaridagi asl funktsiyaga yoki uzilish nuqtalaridagi ikki chegaraning o'rtacha qiymatiga teng)

(10)

agar funktsiya Dirichlet deb nomlangan chegara shartlarini qondirsa . Dini testi Furye qatorlarining yaqinlashish shartini beradi.

Natijada, to'xtash nuqtalari yaqinida , yuqorida tasvirlangan Gibbs hodisasi deb ataladigan "qo'ng'iroq" paydo bo'lishi mumkin.

O'rniga intervalda davriy funktsiya uchun o'zgaruvchanlarning oddiy o'zgarishi yordamida integratsiya oralig'ini dan ga o'zgartirishi mumkin . Ruxsat bering 

			(11)
			(12)

Uchun hal beradi , va ulab bu beradi

(13)

Shuning uchun,

			(14)
			(15)
			(16)

Xuddi shunday, funktsiya o'rniga intervalda aniqlanadi , yuqoridagi tenglamalar shunchaki bo'ladi

			(17)
			(18)
			(19)

Aslida, uchun davriga davriy , har qanday interval tanlov qulaylik yoki shaxsiy parametrlarni biri bo'lish bilan, foydalanish mumkin (1985 Arfken, p. 769).

Koeffitsientlari bir necha umumiy vazifalari Fourier qator kengaytirish uchun Beyer (1987, pp. 411-412) va Byerly berilgan (1959, p. 51). Odatda ushbu texnikada tahlil qilinadigan eng keng tarqalgan funktsiyalardan biri bu kvadrat to'lqin . Bir nechta umumiy funktsiyalar uchun Fourier seriyasi quyidagi jadvalda umumlashtirilgan.

funktsiya		Fourier seriyasi
Fourier seriyali - arra tishlari to'lqini
Fourier seriyasi - kvadrat to'lqin
Fourier seriyasi - uchburchak to'lqini

Bir vazifani bo'lsa ham , shunday qilib , keyin bo'ladi g'alati . (Chunki, bu quyidagicha bo'ladi g'alati va hatto vazifasi marta bir g'alati vazifasi bir bo'lgan g'alati funktsiyasi .) Shuning uchun, hamma uchun . Xuddi shunday, agar funktsiya toq bo'lsa , u holda toq bo'ladi . (Chunki, bu quyidagicha bo'ladi , hatto va hatto vazifasi marta bir g'alati vazifasi bir bo'lgan g'alati funktsiyasi .) Shuning uchun, hamma uchun .

Furye qatori tushunchasini ham murakkab koeffitsientlarga etkazish mumkin . Haqiqiy baholangan funktsiyani ko'rib chiqing . Yozing

(20)

Endi tekshiring

			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)

shunday

(26)

Koeffitsientlari Fourier ketma-ket o'sha bo'yicha ifodalanishi mumkin

			(27)
			(28)
			(29)

Davriy funktsiya uchun ular bo'ladi

			(30)
			(31)

Ushbu tenglamalar diskretli o'zgaruvchidan uzunlik sifatida uzluksizga aylantirish orqali olinadigan juda muhim Furye konvertatsiyasi uchun asosdir . 

Murakkab Furye koeffitsienti Volfram tilida FourierCoefficient [ expr , t , n ] sifatida amalga oshiriladi .