P darajadagi erkinlik tizimlari uchun taxminiy usullar: dunkerli formulasi

KO'P DARAJADAGI ERKINLIK TIZIMLARI UCHUN TAXMINIY USULLAR: DUNKERLI FORMULASI
Dunkerli formulasi o'ziga xos qiymat masalasini hal qilmasdan tizimning eng past (asosiy) tabiiy chastotasini baholashning yana bir usulidir. Qattiqlik matritsasidan foydalanish o'rniga, Dunkerley usuli qattiqlik matritsasiga teskari bo'lgan egiluvchanlik matritsasidan foydalanadi.
Umumiy erkinlik darajasi tizimi uchun harakat tenglamalaridan boshlab
va shaklning oddiy bir vaqtda garmonik harakatini nazarda tutgan holda
oqibatlarga olib keladi
(9,9) 
Natijalar bo'yicha ( 9.9 ) ni oldindan ko'paytirish
Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida
yoki
Yuqorida aytib o'tganimizdek, oddiy bo'lmagan yechim mavjud bo'lishi uchun bu talab qilinadi
(9.10) 
Oddiylik uchun biz massa matritsasi diagonal deb faraz qilamiz. U holda ( 9.10 ) dagi aniqlovchi shaklga ega
yoki
(9.11) 
Kengaytirish ( 9.11 ) shaklga ega bo'lgan xarakteristik tenglamani hosil qiladi
(9.12) 
bu erda va - bu erda ko'rib chiqishimiz kerak bo'lmagan doimiylar (ular va ga bog'liq bo'ladi ).
( 9.12 ) ning ildizlari bilan berilgan bo'lsin
Bu qiymatlar ildiz bo'lgani uchun xarakteristik tenglamani ko'rinishda ham yozish mumkin
(9.13) 
( 9.12 ) ga toʻliq ekvivalent koʻphaddir. Kengaytirilgan ( 9.13 ) biz olamiz
(9.14) 
Bu erda va ( 9.12 ) da paydo bo'lgan bir xil doimiylar . ( 9.12 ) va ( 9.14 ) tenglamalardagi atamalarni solishtirish shuni ko'rsatadiki
(9.15) 
Shu paytgacha hech qanday taxminlar qilinmagan. Biroq, biz shuni ta'kidlaymizki, ko'pgina tizimlar uchun yuqori tabiiy chastotalar asosiy tabiiy chastotadan sezilarli darajada kattaroqdir, shuning uchun
Natijada, ( 9.15 ) ning LHS bo'yicha birinchi atamasidan tashqari barchasini e'tiborsiz qoldirish natijasida
yoki
yoki umuman olganda
(9.16) 
Tenglama ( 9.16 ) Dunkerli formulasi sifatida tanilgan va tizimning asosiy tabiiy chastotasining taxminini beradi. E'tiborsiz qoldirilgan atamalar tufayli ( 9.16 ) tenglama yordamida olingan tabiiy chastota haqiqiy asosiy tabiiy chastotadan past bo'ladi. Shuning uchun Dunkerli formulasi tizimning eng past tabiiy chastotasida pastki chegarani ta'minlaydi (eng past tabiiy chastotada yuqori chegarani ta'minlagan Reyleigh koeffitsientidan farqli o'laroq ).
E'tibor bering, agar massa matritsasi diagonal bo'lsa, tenglama ( 9.16 )
sifatida yozish mumkin
Bu erda yagona erkinlik darajasi tizimining tabiiy chastotasi sifatida aniqlanadi, bu esa tizimdagi massa yagona massa bo'lganda (ya'ni tizimdagi barcha boshqa massalar nolga teng deb hisoblanadi). Buning sababi shundaki, agar tizimdagi yagona massa bo'lsa, u holda massaga birlik yuk qo'llanilganda (yana i koordinatali musbat yo'nalishda) massaning og'ishini (musbat i koordinatali yo'nalishda) ifodalaydi . (Yagona erkinlik darajasi) tizimning samarali qattiqligi keyin
Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida
yuqorida ta'riflanganidek. Ushbu talqin ba'zi hollarda Dunkerli formulasini qo'llashda foydali bo'lishi mumkin.
MISOL
Dunkerli usuli yordamida quyida ko'rsatilgan tizim uchun asosiy tabiiy chastotani hisoblang.

Quyidagi holatlarni ko'rib chiqing:
i)
ii)
iii)
E'tibor bering, bu muammo uchun qattiqlik matritsasi
shunday (Eslatma: to'liq ekran ko'rinishini ko'rsatish)
MISOL
Dunkerley usulidan uchta teng masofada joylashgan bir xil massani qo'llab-quvvatlaydigan yorug'lik nuri uchun asosiy tabiiy chastotani hisoblash uchun foydalaning.

E'tibor bering, ushbu tizim uchun
9.3.1 ENG YUQORI TABIIY CHASTOTANI BAHOLASH UCHUN DUNKERLI FORMULASI
Dunkerli formulasi ortidagi g'oyalar, bir oz boshqacha formulaga ega, tizimdagi eng yuqori tabiiy chastotani baholash uchun ham ishlatilishi mumkin. Buni ko'rish uchun ( 9.9 ) bilan boshlanadi
Mahsulotlar bo'yicha oldindan ko'paytirish
yoki
Bu yana ahamiyatsiz bo'lmagan echimlarni talab qiladi,
(9.17) 
Agar biz yana massa matritsasi diagonal deb faraz qilsak, buning teskarisi oddiy
Natijada ( 9.17 ) dagi determinant shaklga ega
yoki
(9.18) 
Kengaytirish ( 9.18 ) shakl bilan xarakterli tenglama hosil qiladi
(9.19) 
qaerda va yana va ga bog'liq bo'lgan doimiylar . ( 9.19 ) ning ildizlari berilgan sistemaning tabiiy chastotalariga mos keladi
Yana bir bor, bu qiymatlar xarakteristik tenglamaning ildizlari bo'lganligi sababli, biz xarakteristik tenglamani shunday yozishimiz mumkin.
(9.20) 
qaysi kengaytirilgan beradi
(9.21) 
bu yerda va ( 9.19 ) dagi kabi bir xil konstantalar ( 9.19 ) va ( 9.21 ) tenglamalardagi atamalarni solishtirish shuni ko'rsatadiki,
(9,22) 
Tizimdagi eng katta tabiiy chastota bo'lgani uchun biz (9.22) LHS dagi boshqa barcha shartlarni e'tiborsiz qoldiramiz .
yoki umuman olganda
(9,23) 
( 9.22 ) da e'tibordan chetda qolgan shartlar tufayli ( 9.23 ) yordamida olingan chastota tizimdagi eng yuqori tabiiy chastotadan kattaroq bo'ladi. Natijada, Dunkerli formulasining ushbu versiyasi tizimning eng katta tabiiy chastotasining yuqori chegarasini beradi.
MISOL
Quyida ko'rsatilgan tizim uchun:
(a) Eng past tabiiy chastotaning yuqori chegarasini topish uchun Rayleigh koeffitsientidan foydalaning. ning sinov vektoridan foydalaning
(b) eng past tabiiy chastota uchun pastki chegarani topish uchun Dunkerli usulidan foydalaning.
(c) Eng yuqori tabiiy chastotaning yuqori chegarasini topish uchun Dunkerli usulidan foydalaning.