Параболик типдаги тенгламалар

Koshi masalasining yechilishi.
funktsiyani yangi funktsiyani bilan kuyidagicha almashtiramiz:

U xolda (1.1) tenglama kuyidagi kurinishga utadi.

Bu erda

(1.6) almashtirish yordamida (1.6), (1.7) boshlangich shartlar utadi:

Endi (2)tengalamani kuyidagicha yozib olamiz:

Kuyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U xolda bu belgilashlar yordamida (5) tenglama kuyidagi differentsial tenglamalar sistemasiga utadi:



(6) belgilashlar yordamida (3), (4) boshlangich shartlar kuyidagi kurinishni oladi:



(7) sistemaning xarakteristikalari

Endi (6) belgilashlardan funktsiyalarni kuyidagi tengliklar orkali ifodalaymiz:



U xolda bu belgilashlar yordamida (6) tenglama kuyidagi differentsial tenglamalar sistemasiga utadi:



(10) belgilashlar yordamida (3), (4) boshlangich shartlar kuyidagi kurinishni oladi.



(11) sistemaning xarakteristikalari xam



Endi (10) almashtirishlardan funktsiyalarni kuyidagi tengliklar orkali ifodalaymiz:

(13) xarakteristkalar yunalishida ifodalarni xisoblaymiz. Kuyidagi tengliklarni isbotlash kiyin emas.

Xakikatdan xam

Bu erda

tenglik urinli buladi. S₂ tenglamasi bulgan xarakteristkaning yoy uzunligi bulgani uchun tenglik urinli. Bu erdan Demak,
Tenglikka ega bulamiz. Agar tengliklarni xisobga olsak tengsizliklarga ega bulamiz. U xolda

Demak
(16)

Shunga uxshash

(16) va (17) dan bevosita

Tengliklar kelib chikadi va (15) tengliklar isbot buladi.
(11) differentsial tenglamalar sistemasini mos ravishda (13) xarakteristkalar buyicha integrallab va (3), (4) boshlangich shartlarni sistemasiga kelamiz.



Bu erda -lar (x,y) nuktalardan utuvchi mos ravishda


xarakteristiklarning yoy uzunliklaridir.
Kurish kiyin emaski, kuyilgan Koshi masalasini y-ning kichik kiymatlari uchun echish etarli. (18)sistemaning chap tomonidagi integrallarning egri chizikli integrallar ekanligini xisobga olib, sistemani kuyidagi kurinishida yozamiz:



(19) integral tenglamalar sistemasini ketma-ket yakinlashishi usuli bilan echamiz. Nolinchi yakinlashishlarni deb (nQ1) yakinlashishlarni kuyidagicha olamiz:

(1.1) tenglama koeffitsentlarining xossalariga asosan shunday M,K sonlar topilib, tengsizlik-lar bajariladi. Endi uz navbatida y₂ ni shunday tanlaymizkib uchun

tengsizlik bajarilsin. Kuyidagi lemmani isbotlaymiz.
Lemma: Xar kanday n va uchun


tengsizlik urinli. Bu erda M chegaralangan uzgarmas son. Xakikatan xam (20), (21)larga asosan

Bulardan kuyidagi tengsizliklarni xosil kilamiz.

Shunday uxshash
uchun limma isbotlandi. bulsa,




Shunga uxshash


Shunday kilib kiymatlar uchun (23) tengsizliklar isbotlandi. Endi (19) tengsizliklarni n uchun urinli deb, nQ1 uchun isbotlaymiz.



Shunga uxshash

Bundan
Shunday kilib Lemma isbotlandi. Lemmadan funktsional katorlarning tekis yakinlashishi xakida Veyershtrass alomatiga asosan

Funktsional katorlarning tekis yakinlashishi kelib chikadi. Bunday bevosita funktsional ketma-ketliklarning tekis yakinlashishi oydinlashadi. Ularning limitlarini mos ravishda deb belgilaymiz:

(23) dan va lemmadan funktsiyalar uchun kuyidagi baxolarga ega bulamiz:



funktsional ketma-ketliklarning tekis yakinlashuvchi bulganligidan (22) integral tenglamalar sistemasida da limitga utib -funktsiyalarning (19) integral tenglamalar sistemasining echimlari ekanligiga ishonch xosil kilamiz.
funktsiyalar Ox uki va xarakteristikalar yunalishi buyicha xosilalarga ega va bundan funktsiyaning diffentsiallanuvchiligi kelib chikadi.
Bu erdan funktsiyaning (2) tenglamani va (3), (4) chegaraviy shartlarni kanoatlantirish xam kelib chikadi. Natijada
funktsiyaning (1.1) tenglamani va (1.6),(1.7) boshlangich shartlarni kanoatlantirishi aydinlashadi. Demak, (1.1), (1.6), (1.7) Koshi maslasining echimi mavjudligini isbotladik.

II-BOB