Параметрга боғЛИҚ интеграллар икки ўзгарувчили функциянинг бир ўзгарувчиси бўйича яқинлашиши

1-теорема. Агар да функция га да текис яқин­лаш­са, у ҳолда тўпламдаги га интилувчи ҳар бир кетма-кетликда ( )

функционал кетма-кетлик ҳам да га текис яқин­ла­шади.
◄Айтайлик, функция да функцияга да текис яқин­лаш­син. Унда таърифга биноан , , тенгсизликни қаноат­лантирувчи ихтиёрий , : бўлади.
Модомики, кетма-кетлик га интилар экан, унда
, , :
тенгсизлик бажарилади. Демак,
, , , , :
яъни,

бўлади. Бу эса функционал кетма-кетликнинг да функцияга текис яқинлашишини билдиради.►
Энди функциянинг лимит функцияга эга бўлиш ва унга текис яқин­ла­шиши ҳақидаги теоремани келтирамиз.
2-теорема. функция да лимит функция га эга бўлиши ва унга текис яқинлашиши учун олинганда ҳам га боғлиқ бўлмаган шундай топилиб, , тенгсизликларни қаноатланти-рувчи иҳтиёрий ҳамда да
(2)
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. Айтайлик, функция да лимит функция га да текис яқинлашсин. Унда таърифга биноан
, , , , : (3)
жумладан, , учун ҳам
(4)
бўлади.
(3) ва (4) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади.
Етарлилиги. Айтайлик, (2) шарт бажарилсин. Модомики, ҳар бир тайинланган ва , , , да

тенгсизлик бажарилар экан, унда Коши теоремасига кўра да функция лимитга эга бўлади. Уни билан белги­лай­лик:
.
Энди ўзгарувчининг тенгсизликни қаноатлан­ти­ра­диган қий­мати­да тайинлаб, (2) тенгсизликда да лимит­га ўтиб, топамиз:
.
Бу эса да функция га да текис яқин­лашишини билдиради. ►
3-теорема. функция учун қуйидаги шартлар бажа­рил­син:
1) ҳар бир тайин да функция да ўзга­рув­чининг функ­ция­си сифатида узлуксиз;
2) да функция да га текис яқин­лашсин.
У ҳолда функция да узлуксиз бўлади.
◄ тўпламда га интилувчи ихтиёрий кетма-кетлик олиб сегментда аниқланган ушбу

функционал кетма-кетликни ҳосил қиламиз. Теореманинг шартларига кўра:
1) функционал кетма-кетликнинг ҳар бир ҳади да узлуксиз бўлади;
2) мазкур маърузадаги 2-теоремага биноан да функционал кетма-кетлик функцияга да текис яқин­ла­шади.
Унда функция сегментда узлуксиз бўлади (қаралсин, 65-маъруза). ►


Машқлар

1. Ушбу

функцияни тўпламда қарайлик. Бу функциянинг да лимит функцияси топилсин.
2. Ушбу

функцияни тўпламда қарай­лик. Бу функция учун

бўлиши исботлансин.
3. Айтайлик, функция

тўпламда берилган ва эса нинг лимит нуқтаси. да функциянинг га да текис яқинлашиши учун тўпламдаги га интилувчан ихтиёрий кетма-кет­ликда

функционал кетма-кетликнинг да га текис яқин­ла­шиши зарур ва етарли экани исботлансин.