Параметрга боғЛИҚ интеграллар икки ўзгарувчили функциянинг бир ўзгарувчиси бўйича яқинлашиши

75-маъруза
Параметрга боғлиқ интеграллар


1⁰. Параметрга боғлиқ интеграл тушунчаси. Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайинланган да ўзгарув­чи­нинг функцияси сифатида да интеграл­ла­нувчи, яъни

мавжуд дейлик. Қаралаётган интегралнинг қиймати тайинланган га боғлиқ бўла­ди:
. (1)
Масалан, бўлганда
,
бўлганда

бўлади. Демак,

Одатда (1) интеграл параметрга боғлиқ интеграл, эса параметр дейилади.
Равшанки, функция (параметрга боғлиқ интеграл) берилган функ­ция орқали аниқланиб, унга боғлиқ бўлади.
Параметрга боғлиқ интеграл мавзусида функциянинг функционал хос­саларига кўра функциянинг функционал хос­салари (лимити, узлук­сиз­лиги, дифферен­циал­ла­нувчилиги, интегралланиши) ўрганилади.
2⁰. функциянинг лимити. Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлиб, эса тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин. Бу функция учун ҳар бир тайин да

мавжуд бўлсин.
1-теорема. Фараз қилайлик, функция қуйидаги шарт­ларни бажарсин:
1) ҳар бир тайин да функция ўзгарувчининг функцияси сифатида да узлуксиз;
2) да функция лимит функция га да текис яқинлашсин.
У ҳолда да функция лимитга эса бўлиб,
(2)
бўлади.
◄ Келтирилган теореманинг шартларини бажарилишидан, 74-маърузадаги 3-теоремага кўра, лимит функция нинг да узлуксиз бўлиши келиб чиқади. Демак,

интеграл мавжуд.
Айни пайтда, да функциянинг да функцияга текис яқинлашувчи бўлишидан, таърифга биноан,

бўлишини топамиз. Ушбу

айирмани қарайлик.
Равшанки, тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий учун

бўлади.
Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. ►
(2) муносабатни қуйидагича

ҳам ёзиш мумкин. Бу интеграл белгиси остида лимитга ўтиш қоидасини ифода­лай­ди.