Параметрические уравнения кривой

Пример 1. Построить в полярной системе координат кри-вую r = 1 + cosφ.
Решение. Определим значения r для разных значений угла φ. Так как всегда должно быть выполнено r ≤ 0, то 1 + cos φ ≥ 0. Неравенство выполнено при любых φ. Рассмотримизменение φ ∈ [0, 2π]. Построим кривую (Рис. 3).


Рис.3. r = 1 + cosφ
Параметрические уравнения кривой
Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат параметрические уравнения кривой

t - параметр кривой. Область изменения параметра определя-ется как пересечение максимально возможных областей опре-деления функций x = x(t), y = y (t). Исключение параметра t из системы (если оно возможно) приводит к уравнению, связы-вающему x и y , т.е. к уравнению вида f (x, y) = 0.
Для приближенного построения графика кривой, задан-ной параметрически, достаточно построить таблицу значений x и y в зависимости от возможных значений параметра t. При этом надо учитывать
.

Затем на плоскости построить декартову систему коорди-нат и отметить точки с координатами соединить эти точки в порядке увеличения параметра t.
Пример 2. Построить кривую, заданную параметрически

Решение. Как видно из уравнения кривой, при t = 0 и при t = 2 имеем одну и ту же координату (x, y), равную (0, 0).
Значит, (0, 0) - точка самопересечения кривой. Определим значения x и y для разных значений t (t ∈ (−∞, ∞)) и построим
кривую (Рис. 4).

Рис.4. (−1 < t < 2, 6)



Рис.5. (−0, 5 < t < 2, 1) Рис.6. (−2 < t < 3, 5)
Пример 3. Построить кривую, заданную параметрически

Определим значения x и y для разных значений t. Так как sin и cos периодические функции с периодом 2π, то t ∈ [0, 2π). Построим кривую (Рис. 7).


Рис.7.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки, называемой центром, есть величина постоянная.