Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi

Ta’rif. Agar n -r o da, funksiya orttirmasi zyni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa,
x› ——/(•. +a•)—/(‹.)- ^{x »} +4°•)-
Bu yerda, A o‘zgarmas son, zm °(°' = o, u holda y—f(x) funksiya xc
nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi va funksiyaning no nuqtadagi differensiali A Dx ga teng deb ataladi. Bu differensial A Dx——df(xc) shaklda belgilanadi.
Izoh: e(in) funksiya uchun m ) - o tenglik n(n)- o(n)kabi
ifoda etiladi va «(n) funksiya in -r o da n ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi. Masalan, -r o da I- cost= o(x)

, . . x' .
= s( ) bo ladi, chunki - o yoki —r o da I— cost =
sababi
o(z)
, .
bo ladi,

2
tenglik o‘rinlidir. Xuddi shunga o‘xshash x —r i da rg'( — i) - o(>— i),
1 — cos(z —1) = o(z — 1) va h.k.
Agar (l)-tenglikni dv ga bo‘lib dv—+O da limitga o‘tsak quyidagini hosil qilamiz:

Bu tenglikdan, f(x) funksiyaning no nuqtada hosilasi mavjud bo‘lib,
/’(x,)= A ekanligi kelib chiqar ekan. Demak, /x2 funksiya xo nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtada funksiya hosilasi ham mavjud bo‘lar ekan. Bu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.

Teorema. no nuqtaning biron-bir atrofida berilgan/{z2 funksiya shu nuqtada /'( ,) hosilaga ega bo‘lsa, u holda zo nuqtada/x2 funksiyaning df(x,) differensiali mavjud bo‘lib, bu differensial uchun
( ,)= f’( ,)-in tenglik o‘rinli.

Isbot.
(••)

tenglikda ° - f’[ ,) - a{m) belgilashni kiritsak, g«(n)- o.
U holda n(n)-a(n) bo‘1gani uchun
Demak, (>) funksiya , nuqtada differensiallanuvchi va
^{df( )= g’(x,) n} (2)
tenglik o‘rin1i.
Xulosa qilib shuni aytish mumkin ekanki, f(x) funksiyaning xo nuqtada differensiallanuvchi bo‘1ishi uchun, funksiyaning zo nuqtada hosilaga ega bo‘lishi zarur va yetarli, bu nuqtadagi differensial uchun (2)-tenglik o‘rinlidir.
Shunday qilib, zo nuqtada differensiallanuvchi funksiya orttirmasi
by --/’( ,-) n + o(n)= d/(x,)+ o(fi) (3)
Taqribiy hisoblashlami funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirish orqali bajarish mumkin, ya’ni (3)-tenglikda s(or) ni tashlab yuborsak quyidagi taqribiy z2= df(x,) tenglikni hosil qilamiz.
Bu yerda, yo‘l qo‘yilgan xatolik a(ar) ko‘rinishda bo‘lib, |ar| kichik bo‘lgani sari bu xatolik |n| ga nisbatan tezroq kichiklashib boradi.
Agar /( ) funksiya («,s) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, /( ) funksiya («,b) intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Endi misollar qaraymiz. /( )- funksiya (— ,+«) da
differensiallanuvchi bo‘lib, (2)-tenglikga ko‘ra dr=( -)’ ar - n o‘rinli

bo‘ladi, ya’ni erkli o‘zgaruvchi uchun uning differensiali va orttirmasi teng bo‘lar ekan.
Bu tenglikdan funksiya differensiali uchun
(4)
tenglik yoza olamiz.