Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi

Bu tengliklarning barchasini matematik induksiya usuli bilan isbot

qilish mumkin. (4)-tenglik Leybnis formulasi deb nomlanadi.
Endi ayrim elemental funksiyalarning yuqori tartibli hosilalarini keltiramiz. Bu formulalar ham matematik induksiya usuli bilan isbot qilinadi.

1. 
   ( - J - (zn--Um --2)- (m --n+i}r- , m istalgan haqiqiy son. Agar m natural son bo‘lsa, n > uchun ( J ' = o « n = uchun (x ' -- m!.
   

2. ( J" = o' (im}’, xususan («‘J ' = e‘

3. 
   (siax)(’! = sin z + -if
   

^{4. (cos)’" = cos} x+ -n --
2
Masalan 1. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini hisoblang:
y = sin' .
¥echish: y’---- 2sin xms x = Sin 2s, y‘ -- 2cos 2z .
Masalan 2. Funksiyaning uchinchi tartibli hosilasini hisoblang:
y = (2z’ + 1) - cos z.
¥echish: Leybnis formulasidan foydalanamiz:
f(x)--2x'+1,g(x) --cosx. f’ ---- 6x’, f" --12x, f“ ---- I 2.g' ---- --sin z, g‘ cms x,g“ sins.
U holda z -- J(z)-g(z)J" ' /”- g +3/’- g’+3/’- g“+ f - g ----(2P--36x+1)sinx--
6(3F--2)cosx.
Masalan 3. Funksiyaning n-tartibli hosilasini hisoblang: y sin z.

Yechish: y'--- cos x = sin(
+
+2x 2

y"'= --cos z = sin(z -r $ ),..., y"' = sin(x + n - _{2) ,}

Funksiya differensiali

Matematika tatbiqida asosan taqribiy hisoblashlar qo‘l1aniladi. Taqribiy hisoblashlaming muhim manbayi funksiya differensiali hisoblanadi. Biz mana shu tushuncha bilan tanishamiz.

f( ) funksiya , nuqtaning biron-bir atrofida berilgan bo‘lib, , nuqtada uzluksiz, ya’ni J /( )- /( ,) bo‘lsin. Agar -x, = Ar va
/( )-g( ,)= az deb belgilashlar kiritsak, n argument orttirmasi, by esa

shu omirmaga mos keluvchi funksiya omirmasi bo‘lib, yuqoridagi limit munosabatini quyidagicha yozish mumkin: sexy - gJ( , + Ar)— f(x,)]= o .