Parametrik tenglama nima? To'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi

x \u003d x 0 + a × a;
y \u003d y 0 + a × b;
z \u003d z 0 + a × c
Har biri bittadan o'zgaruvchan koordinatali va a parametrga ega bo'lgan ushbu uchta chiziqli tenglikning kombinatsiyasi odatda kosmosdagi to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi deb ataladi. Darhaqiqat, biz hech qanday yangi ish qilmadik, balki shunchaki mos keladigan vektorli ifodaning ma'nosini aniq yozib oldik. Biz faqat bitta fikrni ta'kidlaymiz: a soni, o'zboshimchalik bilan bo'lsa ham, uchta tenglik uchun bir xil. Masalan, agar 1-tenglik uchun a \u003d -1,5 bo'lsa, u holda uning koordinatalarini nuqtaning koordinatalarini aniqlashda ikkinchi va uchinchi tengliklarga almashtirish kerak.
Tekislikdagi tekis chiziqning parametrik tenglamasi fazoviy holatga o'xshaydi. Bu shunday yozilgan:
x \u003d x 0 + a × a;
y \u003d y 0 + a × b
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzish uchun u uchun vektor tenglamasi aniq yozilishi kerak.
Tenglamani kanonik ravishda olish

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kosmosdagi va tekislikdagi to'g'ri chiziqni belgilaydigan barcha tenglamalar bir-biridan olinadi. To'g'ri chiziqning parametrli tenglamasidan kanonikani qanday olishni ko'rsatamiz. Mekansal ish uchun bizda:
x \u003d x 0 + a × a;
y \u003d y 0 + a × b;
z \u003d z 0 + a × c
Parametrni har bir tenglikda ifodalaymiz:
a \u003d (x - x 0) / a;
a \u003d (y - y 0) / b;
a \u003d (z - z 0) / c
Chap tomonlari bir xil bo'lgani uchun, tengliklarning o'ng tomonlari ham bir-biriga teng:
(x - x 0) / a \u003d (y - y 0) / b \u003d (z - z 0) / c
Bu kosmosdagi to'g'ri chiziq uchun kanonik tenglama. Har bir ifodadagi maxrajning qiymati mos keladigan koordinatadir.Har bir o'zgaruvchidan chiqariladigan numeratordagi qiymatlar shu chiziqdagi nuqtaning koordinatalari.
Samolyotda ish uchun mos keladigan tenglama quyidagi shaklni oladi:
(x - x 0) / a \u003d (y - y 0) / b
2 nuqta orqali to'g'ri chiziq tenglamasi
Ma'lumki, tekislikda ham, kosmosda ham ikkita sobit nuqta to'g'ri chiziqni o'ziga xos tarzda aniqlaydi. Sizga samolyotda quyidagi ikkita nuqta berilgan deylik:
Ular orqali to'g'ri chiziqli tenglama qanday yoziladi? Avval yo'nalish vektorini belgilashingiz kerak. Uning koordinatalari quyidagi ma'nolarga ega:
PQ¯ (x 2 - x 1; y 2 \u200b\u200b- y 1)
Endi siz yuqoridagi paragraflarda muhokama qilingan uchta shaklning har qanday birida tenglamani yozishingiz mumkin. Masalan, to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi quyidagi shaklni oladi:
x \u003d x 1 + a × (x 2 - x 1);
y \u003d y 1 + a × (y 2 - y 1)
Kanonik shaklda siz uni quyidagicha yozishingiz mumkin:
(x - x 1) / (x 2 - x 1) \u003d (y - y 1) / (y 2 - y 1)
Ko'rinib turibdiki, kanonik tenglama ikkala nuqtaning koordinatalarini ham o'z ichiga oladi va numeratorda bu nuqtalarni o'zgartirish mumkin. Shunday qilib, oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(x - x 2) / (x 2 - x 1) \u003d (y - y 2) / (y 2 - y 1)
Barcha yozilgan ifodalar 2 nuqta orqali to'g'ri chiziq tenglamalari deyiladi.
Uch nuqta muammosi
Quyidagi uchta nuqtaning koordinatalari berilgan:
Ushbu nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotadimi yoki yo'qligini aniqlash kerak.
Ushbu muammoni quyidagicha echish kerak: avval istalgan ikkita nuqta uchun to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing, so'ngra unga uchinchisining koordinatalarini o'rnating va ularning olingan tenglikni qondirishini tekshiring.
Parametrik shaklda M va N bo'yicha tenglama tuzamiz. Buning uchun biz yuqoridagi xatboshida olingan formulani qo'llaymiz, biz uni uch o'lchovli holatga umumlashtiramiz. Bizda ... bor:
x \u003d 5 + a × (-3);
y \u003d 3 + a × (-1);
z \u003d -1 + a × 1
Endi biz K nuqtaning koordinatalarini ushbu ifodalarga almashtiramiz va ularga mos keladigan alfa parametr qiymatini topamiz. Biz olamiz:
1 \u003d 5 + a × (-3) \u003d\u003e a \u003d 4/3;
1 \u003d 3 + a × (-1) \u003d\u003e a \u003d 4;
5 \u003d -1 + a × 1 \u003d\u003e a \u003d -4
Uchala tenglik ham, agar ularning har biri a parametrining boshqacha qiymatini oladigan bo'lsa, amal qilishini aniqladik. Oxirgi fakt to'g'ri chiziqning parametrli tenglamasi shartiga zid keladi, unda a barcha tenglamalar uchun teng bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, K nuqta MN chizig'iga tegishli emas, demak uchta nuqta ham bitta chiziqda yotmaydi.
To'g'ri chiziqlarning parallelligi muammosi

Parametrik shaklda to'g'ri chiziqlarning ikkita tenglamasi berilgan. Ular quyida keltirilgan:
x \u003d -1 + 5 × a;
x \u003d 2 - 6 × λ;
y \u003d 4 - 3.6 × λ
Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak. Ikki chiziqning parallelligini aniqlashning eng oson usuli bu yo'naltiruvchi vektorlarning koordinatalaridan foydalanish. Ga murojaat qilish umumiy formula ikki o'lchovli kosmosdagi parametrli tenglama, biz har bir to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorlari koordinatalariga ega bo'lishini aniqlaymiz:
Ikkala vektor parallel, agar ulardan birini ikkinchisini biron bir songa ko'paytirish orqali olish mumkin bo'lsa. Vektorlarning koordinatalarini juftlarga ajratamiz, quyidagilarni olamiz:
Bu shuni anglatadiki:
v 2 ¯ \u003d -1,2 × v 1 ¯
V 2 ¯ va v 1 Dir yo'naltiruvchi vektorlar parallel, ya'ni masala qo'yilgan satrlar ham parallel.
Keling, ular bir xil to'g'ri chiziq emasligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun tenglamadagi istalgan nuqtaning koordinatalarini boshqasiga almashtirish kerak. (-1; 3) nuqtani oling, uni ikkinchi qatorning tenglamasiga almashtiring:
1 \u003d 2 - 6 × λ \u003d\u003e λ \u003d 1/2;
3 \u003d 4 - 3.6 × λ \u003d\u003e λ ≈ 0.28
Ya'ni, to'g'ri chiziqlar boshqacha.
Chiziqlarning perpendikulyarligi bo'yicha muammo

Ikki to'g'ri chiziqli tenglamalar berilgan:
x \u003d 2 + 6 × λ;
y \u003d -2 - 4 × λ
Ushbu chiziqlar perpendikulyarmi?
Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar ularning yo'nalish vektorlarining nuqta ko'paytmasi nolga teng bo'lsa. Keling, ushbu vektorlarni yozamiz:
Keling, ularning nuqta mahsulotini topamiz:
(v 1 ¯ × v 2 ¯) \u003d 2 × 6 + 3 × (-4) \u003d 12 - 12 \u003d 0
Shunday qilib, ko'rib chiqilgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqladik. Ular yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.
To'g'ridan-to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarida fraktsiyalarning har birini ba'zi parametrlarga tenglashtirish t:
Parametr orqali to'g'ri chiziqning har bir nuqtasining joriy koordinatalarini ifodalovchi tenglamalarni olamiz t.

shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalari quyidagi shaklga ega: