Ápiwayı deiiferenciallıq teńlemeler ushın shegaralıq máselelerdiń Grin funkciyası

Ápiwayı deiiferenciallıq teńlemeler ushın shegaralıq máselelerdiń Grin funkciyası.
Mazmunı
1-bap. Ekinshi tártipli sızıqlı differenciallıq teńlemeler ushın shegaralıq máselerdiń Grin funkciyası
1.1-§ Aynımaǵan jaǵdayda shegaralıq máseleniń Grin funkciyası
1.2-§ Aynıǵan jaǵdayda ulıwmalasqan Grin funkciyası
2-bap. Periodli shegaralıq máselelerdiń Grin funkciyası
2.1-§ Sızıqlı differenciallıq teńlemeler sistemasınıń shegaralanǵan hám periodlı sheshimleri haqqındaǵı máseleniń Grin funkciyası
2.2-§ Kvazisızıqlı differenciallıq teńlemeler sisteması ushın periodlı shegaralıq máseleni Grin funkciyası járdeminde sheshiw
2.3-§ Mısallar
Juwmaq
Ádebiyat
1.2-§ Shegaralıq máseleniń Grin funkciyası. Aynımaǵan jaǵday

Meyli bir tekli shegaralıq másele bolǵan

(1.1)
(1.2)

Máselesi berilgen bolsın, bunda -berilgen úzliksiz funkciyalar; - berilgen turaqlı shamalar.

Eger (1.1),(1.2) shegaralıq másele triviallıq sheshimnen ózgeshe sheshimlerge iye bolmasa, onda bunday jaǵday aynımaǵan jaǵday dep ataladı.Keri jaǵdayda aynıǵan jaǵday boladı.
Biz dáslep (1.1),(1.2) shegaralıq máseleni aynımaǵan jaǵdayda qaraymız.
(1.1) Teńlemesiniń sáykes túrde (1.2) shegaralıq shártlerdiń birinshisin hám ekinshisin qanaatlandıratuǵın triviallıq emes (nollik emes) sheshimlerin hám arqalı belgileymiz. Bul sheshimlerdiń hár biri bar hám turaqlı kóbeytiwshige shekem anıqlanǵan boladı.
Tómendegi tastıyqlawlar orınlı.
1- tastıyqlaw. (1.1),(1.2) bir tekli shegaralıq másele sonda hám tek sonda ǵana triviallıq emes sheshimge iye, eger hám sheshimler sızıqlı ǵárezli bolsa
Dálillew. Meyli bir tekli shegaralıq másele triviallıq sheshimge iye bolsın. sheshimdey sheshim de (1.2) shártlerdiń birinshisin qanaatlandıradı, al , onda bul sheshimlerdiń vronskianı bolge teń, bunnan oolardıń sızıqlı ǵárezli bolatuǵını kelip shıǵadı. Usınday jol menen hám sheshimlerdiń de sızıqlı ǵárezligin dálillew múmkin. Bunnan hám sheshimler sızıqlı ǵárezli ekeni kelip shıǵadı.
Kerisinshe, bul sheshimler sızıqlı ǵárezli bolsın. Sonda bazı bir turaqlı ushın teńligin alamız, bunnan máselen, funkciyası bir tekli shegaralıq máseleniń sheshimi bolatuǵını kelip shıǵadı.
1- tastıyqlaw. Eger aynımaǵan jaǵdayda
(1.3)
(1.4)
Shegaralıq máseliniń sheshimi bar bolsa, onda ol birden-bir (jalǵız) sheshim boladı.
Dálillew. Bir tekli shegaralıq máseleniń birdey bolmaǵan eki sheshimleriniń ayırması sáykes bir tekli shegaralıq máseleniń triviallıq emes sheshimi bolatuǵının kórsetiw jetkilikli.
Biz endi (1.3),(1.4) shegaralıq másele sheshimin erkli turaqlılıardı variaciyalaw usılın paydalanıp dúzemiz. Bunda tómendegi eki sistema kelip shıǵadı:
(1.5)
Bul sistemalardan birinshisin tuwındılarına qarata qaǵıydasına muwapıq sheshemiz:

Bunda -vronskian, , sonıń menen birge, Ostrıradskiy-Liuvill formulasınıń saldarı
(1.6)
Teńligi bolatuǵınıń tuwındıları nile otırıp, olardıń dáslepki funkciyaları eki usılı menen anıqlaymız. Haqıyqatına iye.

Bunda -erkli turaqlı, bunnan

Funkciyaların toparın alamız, olardıń hár biri (1.3) teńlemesiniń sheshimi boladı hám birinshi shegaralıq shárti qanaatlandıradı. Haqıyqatında da (1.5) sistemalarınıń ekinshisine qoysaq, usınday jol menen hárbiri (1.3) teńlemesiniń sheshimi bolatuǵın hám shegaralıq shártleriniń ekinshisin qanaatlandıratuǵın funkciyalardıń bir parametrli

Funkciyalar toparın alamız. Bulardaǵı turaqlıların birdeyligi orınlı bolatuǵın etip tanlap alamız, yaǵnıy

Bunnan

Tabılǵan mániste funkciyası (2.3),(2.4) shegaralıq másele sheshimi boladı, solay etip, onı tómendegi túrde kórsetiwge boladı:

Solay etip,
(1.7)
funkciyasın kirgizsek, onda
(1.8)
funkciyasın alamız.
(1.8) túrinde jazılǵan sheshimdi funkciyasınıń integrallıq túrlendiriwi dep aytadı, sonıń menen birge, bul integrallıq túrlendiriwdiń yadrosı funkciyası boladı. Bul funkciya tómendegi xarakteristikalıq qásiyetlerine iye:
1. funkciyasın úshmúyeshlikleriniń hár birinde úzliksiz dara tuwındılarǵa iye.
2.Hár bir belgilengen ushın funkciya barlıq ushın (1.1) bir tekli teńlemeni hám sonday aq, (1.2) shegaralıq shártlerdi qanaatlandıradı.
3. kvadrattıń diagonalında tuwındı sekiriwi ke teń bolǵan birinshi tekli úziliske iye:

Dáslepki eki qásiyet funkciyanıń ayqın túrinen tikkeley kelip shıǵadı. Eger (1.6) ańlatpasın paydalansaq, onda úshinshi qásiyette ańsat tekseriledi:

Sonıń menen birge, funkciyası simmetriyalı boladı:

Anıqlama. 1-3 qásiyetlerine iye funkciyası (1.3),(1.2) shegaralıq máseleniń Grin funkciyası dep ataladı.
Tómendegi tastıyqlaw orınlı.
Teorema. Meyli (1.3),(1.4) shegaralıq máseleniń Grin funkciyası barbolsın. Sonda funkciyası qanday bolmasın, bul másele birden-bir sheshimge iye hám onı (1.8) túrinde kórsetiwge boladı.
Dálillew. (1.8) formulası menen anıqlanǵan funkciya (3),(4) shegaralıq máseleniń sheshimi bolatuǵının kórsetiń. 1-3 qásiyetler tiykarında tómendegilerge iye bolamız:


Al (1.3),(1.4) shegaralıq máseleniń bunnan basqa sheshimge iye bolmaytuǵının keri tastıyqlaw jolı menen kórsetiwge boladı.
Endi aynımaǵan jaǵdayda Grin funkciyasın dúziw algoritmin keltiremiz.

• 
  Mına eki
  

Koshi máselesiniń hám sheshimlerin tabamız. Bul sheshimler sızıqlı ǵárezsiz boladı. (1-tastıyqlaw tiykarında) hám sáykes túrde (1.2) shegaralıq shártlerdiń birinshisin hám ekinshisin qanaatlandıradı.

• 
  Grin funkciyasın
  

túrinde isleymiz.
Bunday funkciya 2 shártti qanaatlandıradı.

• 
  1,3 shártlerdiń orınlanıwın támiynlew uhsın funkciyaların
  

Sistemaların anıqlaymız.
Bul jerde birinshi teńleme funkciyasnıń kvadratta úzliksizligi ushın, al ekinshi teńleme 3 shárttiń orınlanıwı ushın kerek. Bul sistemanıń anıqlanıwıshı - vronskian bolǵanlıqtan (1.6) teńligin esapqa alıp, tómendegige iye bolamız:

• 
  Solay etip, Grin funkciyasın (1.7) túrinde alıp, shegaralıq másele sheshimin (1.8) túrinde jazamız.