План Введение I. Основные понятия и теоремы

Признак Ермакова.
Примерно ту же область применения, что и интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В.П. Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.
Признак Ермакова. Пусть функция -положительная убывающая при функция. Тогда, если для достаточно больших (скажем, для выполняется неравенство
то ряд сходится,
если же , то ряд расходится.
Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом
(подстановка ) будем иметь = Отсюда

так как , (23)
в вычитаемое в последних скобках положительное. В таком случае прибавляя к обеим частям интеграл получим ,
и тем более- учитывая (23)- .
Так как с возрастанием и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел : и по интегральному признаку ряд сходится.
Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда и если к обеим частям прибавить интеграл
. Определим теперь последовательность полагая по доказанному Отсюда ясно, , и по интегральному признаку ряд расходится. Теорема доказана.
Примеры.
1). (σ ).
В этом случае и выражение , и при достаточно больших оно становится меньшим любой правильной дроби : ряд сходится.
2). .
Здесь , а выражение при и при достаточно больших превзойдет единицу: ряд расходится.
Заметим, сто функция , фигурирующая в признаке Ермакова, может быть заменена любой другой функцией , монотонно возрастающей, положительной , имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей неравенству: , (23*)
которое заменяет (23). Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору функции φ(x).
Признак Жамэ
Теорема Жаме. Знакоположительный ряд сходится, если выполняется неравенство
, где ,
Если же при при , то ряд расходится.
Доказательство.
1. Пусть для выполняется условие
.
Преобразуем это неравенство к виду: . Поскольку всегда можно найти достаточно большое такое, что: то можно перейти к выражению:
.
Применим разложение функции в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

Теперь здесь применим разложение ив ряд Маклорена для функции :


Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что , получаем: .
Последнее, согласно признакам сравнения, означает, что рассматриваемый ряд сходится и расходится при одновременно с рядом , который сходится при и расходится при .
2). Пусть для ряда выполняется условие: .
Преобразуем это неравенство к виду:
.
Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

Т.е. согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд расходится , поскольку расходится ряд . Теорема доказана.
Формулировка в предельной форме:
Если существует предел , то при ряд сходится, а при - расходится.