Подготовить учащихся к олимпиадам по математике различных уровней

Разработка факультативных занятий по математике
При написании работы нами были сформулированы конкретные цели, одна из которых - разработка конкретных занятий в соответствии с выбранной тематикой и программой, содержащих цели, содержание, формы и методы работы со школьниками.
Изучив выбранную программу факультативных занятий, нами были выделены темы, при изучении которых у школьников возникают довольно большие трудности. Среди этих тем: задачи на вспомогательные раскраски и текстовые задачи различной тематики.
При работе школьников с задачами на вспомогательную раскраску у учащихся основная проблема связанна именно с выбором способа раскраски и последующая реализация решения с опорой на полученную схему. Текстовым же задачам в школе отводится мало времени, поэтому возникает необходимость улучшить изучать их на факультативных занятиях.
В процессе написания работы нами были разработаны факультативные задания по темам: «Вспомогательная раскраска» и «Текстовые задачи».
Цели занятий:
- развитие интереса к математике, любознательности;
- углубить знания учащихся по математике;
- учить учащихся решать задачи повышенной сложности с использованием методов, выходящих за рамки программы;
- подготовить учащихся к олимпиадам по математике различных уровней.
Задачи занятий:
- способствовать формированию у учащихся навыков самостоятельной работы;
- создать условия для плодотворной работы учащихся по изучению нового материала;
- выявить и развивать потенциальные способности учащихся.
Далее представлены разработки факультативных занятий по данным темам.
Факультативные занятия на тему: «Вспомогательная раскраска»
Так как данная тема выходит за пределы школьной программы, на первом занятии необходимо подробно рассказать учащимся о задачах на раскраску и замощение. После этого необходимо как можно подробнее рассказать и оформить типичные задачи по данной теме.
Пример 1. На двух клетках шахматной доски стоят черная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причем ровно по одному разу?
Решение: не могут. Назовем расположение фишек одноцветным, если они стоят на клетках одного цвета, разноцветным - если на клетках разного цвета. Заметим, что при перемещениях фишек одноцветные и разноцветные расположения чередуются, значит их должно быть поровну. Однако общее количество разноцветных расположений равно , а одноцветных - , так как две фишки не могут стоять на одной клетке. Значит, все возможные расположения встретиться не могут.
При решении данной задачи очень удобно использовать интерактивную доску, чтобы наглядно показать шахматную доску и во время объяснения нанести необходимые данные.
Пример 2. Школьник хочет вырезать из квадрата размером наибольшее количество прямоугольников размером . Найти это количество для каждого натурального .
Решение: площадь квадрата - , а площадь прямоугольника - . Следовательно, число вырезанных прямоугольников не превосходит
Преобразуем выражение
Следовательно, при количество прямоугольников, которые может вырезать школьник, не превосходит .
В качестве примера, на рисунке 1 изображен способ вырезать прямоугольников для .
Рисунок 1. Способ разрезать квадрат на прямоугольники
Осталось рассмотреть случаи при .
При необходимо из квадрата вырезать прямоугольники . Очевидно, что в этом случае ответ - 2.
При из квадрата необходимо вырезать прямоугольники .
Так как , то
Таким образом, можно вырезать не более пяти прямоугольников (пример на рисунке 2).
Рисунок 2. Способ разрезать квадрат на прямоугольники .
При школьник хочет из квадрата вырезать наибольшее количество прямоугольников, размером
Получаем, что число вырезанных прямоугольников не превосходит девяти.
Допустим, школьник смог вырезать девять прямоугольников. Это означает, что ему удалось разрезать квадрат на прямоугольники . Ясно, что линии разреза параллельны сторонам квадрата, то есть каждая клетка полностью лежит в каком-нибудь прямоугольнике. Пронумеруем клетки доски , как показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Нумерация клеток доски .
Так как число клеток под номером 1 не равно числу клеток под номером 2, а каждый прямоугольник содержит по одной клетке каждого номера, то квадрат нельзя разрезать на прямоугольники .
Следовательно, число прямоугольников не больше восьми (рисунок 4).
Рисунок 4. Способ разрезать квадрат на прямоугольники .
Пример 3. Доска разбита на единичных квадратиков. Один из них вырезали так, что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длинны 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты - по диагоналям, и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?
Решение: раскрасим доску черной и белой краской в шахматном порядке. Допустим, что нам удалось покрыть оставшиеся 99 единичных квадратов треугольниками (рисунок 5).
Рисунок 5. Квадрат с вырезанным единичным квадратом
Заметим, что тогда одна половина каждого треугольника белая, а другая - черная. Таким образом, покрытая площадь белого цвета равна покрытой площади черного цвета. Но с другой стороны, одна из этих площадей на 1 больше другой (в силу того, что по условию у нас один квадратик вырезали).
Получаем противоречие, которое показывает, что подобное покрытие невозможно.
В качестве домашнего задания можно предложить задачи, аналогичные решенным в классе, а также задачу на размышление, похожие на которую учащиеся еще не решали.
Домашнее задание:
Задача 1. Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке, идущем по сторонам клетки, соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?
Решение: Наименьшее число букв - две. Эти буквы необходимо расставить в шахматном порядке, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6. Пример решения задачи 1
Задача 2. Квадрат клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нем любой прямоугольник из трех клеток, и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в черные, черные в белые).
Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в черный цвет? Решение: впишем во все клетки доски буквы, как показано на рисунке 7.
Рисунок 7. Квадрат с нанесенной нумерацией
На рисунке 5 видно, что первоначально белых клеток с буквой А больше, чем клеток с буквой В (А - 22, В - 21), а каждым ходом можно перекрасить ровно одну клетку с буквой А, и одну - с В.
В итоге, после раскраски, одна клетка с буквой А будет оставаться белой. Таким образом получаем, что перекрасить весь квадрат в черный цвет не удастся.