Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

x  f (x,u,t) (6)
vektorli differensial tenglama ko’rinishida yozamiz.
0
x2
x
A(,v0)
x(t)
B(,v1)
0
x2
x
xn
x(t)x
(t)
xn+1
(6)
boshqariluvchi obyektning faza koordinatalari
x=x(t)
ko’rinishdagi t vaqtning biror [t0,t1] oraliqdagi funksiyasi sifatida aniqlanishi uchun boshlang’ich t0 vaqtda boshlang’ich x(t0)=x0 shartni va boshqarish parametrlarini t vaqtning u=u(t) funksiyasi ko’rinishida aniqlash kerak.
U vaqtda x=x(t) faza koordinatalari
x(t)  f {x(t),u(t),t}, t0  t  t1 
 (7)

0
x(t )  x0
Koshi masalasining yechimi sifatida aniqlanadi. u(t) boshqaruv ma’lum uzluksizlik shartlarini qanoatlantirishi zarur. Ko’pgina amaliy masalalarda boshqarishlar sifatida bo’lakli–uzluksiz funksiyalar olinadi. Ba’zi amaliy masalalarda u(t) ning uzluksizligi, ba’zan esa u(t) ning bo’lakli-silliqligi talab qilinadi. Nazariy tadqiqotlarda boshqarishlarning kengroq sinflari, masalan
L [t ,t ]
m
p 0 1
chegaralangan o’lchovli funksiyalar fazosi yoki fazolar qaraladi.
Biz quyidagi asosan bo’lakli-uzluksiz boshqarishlar sinfidan foydalanamiz.
Shunday qilib, biror x0  Rn nuqta va u=u(t) bo’lakli uzluksiz boshqarish berilgan bo’lsin. U vaqtda (7) Koshi masalasining yechimi x=x(t) deb,
t
0 1
x(t)  f (x( ),u( ), )d  x0 , t  t  t
(8)

t0
tenglamaning uzluksiz yechimini tushunamiz.
Bu yechimni x(t,x0,u) deb belgilaymiz. x(t0,x0,u)- obyekt trayektoriyasining chap uchi, x(t1,x0,u)- trayektoriyaning o’ng uchi deyiladi.
Agar fi (x,u,t),i  1, n funksiyalar barcha x  R , u  R , t [t , t ]
n m
0 1
bo’yicha
o’zining fixj (x, u, t), xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa, (8) tenglamaning
x(t0)=x0 shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagonadir.
x

B
x

A
V0
V
1
u

Biror VRm
qiluvchi u  u(t),
to’plam berilgan bo’lsin. Shu V to’plamdan qiymatlar qabul
t [t0 , t1 ] bo’lakli-uzluksiz boshqaruvlarni joyiz boshqaruvlar
deb ataymiz va bunday boshqarishlar to’plamini U deb belgilaymiz.
Boshqarish masalalarida boshqarish parametrlari bilan bir qatorda obyektning faza koordinitalariga ham cheklashlar qo’yiladi. Bunday cheklashlar
x(t)  x(t, x0 , u)  G(t), t  t  t
0 1
(9)
ko’rinishda yoziladi, bu yerda G(t)  Rn (9) ko’rinishdagi cheklashlarga faza cheklashlari deyiladi.
Trayektoriyaning chap va o’ng uchlari qanoatlantirishi zarur bo’lgan shartlar haqida ham to’xtalib o’tamiz. Faraz qilaylik, S0 (t0 )  R va S (t )  R to’plamlar
n n
1 1
berilgan bo’lsin. U vaqtda trayektoriyaning uchiga qo’yilgan shartlar
x(t0 )  S0 (t0 ), x(t1 )  S1 (t1 ),
kabi yoziladi. S0 (t0 ) va S1 (t1 ) to’plamlar, odatda
S0 (t0 )  {y : y  G0 (t0 ), hi ( y, t0 )  0, i  1,..., m0 , hi ( y, t0 )  0, i  m0  1,..., 0 },
S1 (t1 )  {x : x  G(t), gi (x, t1 )  0, i  1,..., m1 , gi (x, t1 )  0, i  m2  1,..., 1},
shaklda beriladi, bu yerda hi ( y, t0 ) , gi (x, t1 ) ma’lum funksiyalar.
(10)
(11)
(12)
 0  R ,  R
1 1
1
inf 0  sup1
to’plamlar berilgan, bo’lsin.
t0 0 , t1 1 , u  u(t) -joyiz boshqaruv, x(t, x , u) unga mos joyiz trayektoriya
0
bo’lsin. Har bir shunday joyiz (x 0 , u, x, t , t ) da aniqlangan
0 1
t1
0 1  0 0 1 0 1
J (x0 , u, x, t , t )  f (x(t),u(t)t)dt  g (x0 , x(t ),t , t )
t0
(13)
funksionalni qaraymiz.
J*  inf J (x ,u, x,t ,t )
0
0 1
deb belgilaymiz, bu yerda quyi chegara barcha joyiz olinadi.
(x0 ,u, x,t ,t ) bo’yicha
0 1
0 * *
J (x ,u , x ,t ,t )  J
Agar bo’lsa, joyiz
0 * *
* * * 0 1 * * * * 0 1
(x , u , x , t , t ) ga optimal boshqarish
masalasining yechimi, u*  u* (t) optimal boshqaruv, x*  x* (t) optimal trayektoriya deyiladi.

0 1 0 1
Qo’yilgan optimal boshqarish masalasini
t1
t0
J  f 0 (x(t),u(t)t)dt  g (x0 , x(t ),t ,t )  inf
(14)




x(t) G(t), t0  t  t1
0 0 1 1 0 1
1 

0
0 0 0 0 1 1
x(t )  x , x(t )  S (t ), x(t )  S (t )
t  ,t  ,u(t) V , t  t  t
x(t)  f (x(t),u(t),t),t0  t  t1 
(15)
ko’rinishda belgilaymiz.
Agar G(t)Rn bo’lsa, (14),(15) masala faza koordinitalariga cheklashlar qo’yilmagan optimal boshqarish masalasi deyiladi. Agar S0(t) (S1(t)) to’plam vaqtga bog’liq bo’lmasa va yagona nuqtadan iborat bo’lsa, (14),(15) masalada trayektoriyalarning chap uchi (o’ng uchi) mahkamlangan deyiladi.
Agar S0(t) (yoki S1(t)),t0≤t≤t1 to’plam Rn fazo bilan ustma-ust tushsa, optimal boshqarish masalasida trayektoriyalarning chap (o’ng) uchi bo’sh (erkin) deyiladi. Agar S0(t),S1(t),t0≤t≤t1, Rn da biror sirt yoki chiziqdan iborat bo’lsa, optimal boshqarish masalasida trayektoriyalar chap (o’ng) uchi qo’zg’aluvchan deyiladi.
(14),(15) masaladan optimal boshqarish masalasining asosiy tiplariga ega bo’lamiz:

• Tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasi. Agar f0  1, g0  1, t0-

berilgan (ma’lum) , t1-noma’lum (izlanayotgan ) bo’lsa, tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasiga ega bo’lamiz. Bu masalada kriteriy J=T(u)=t1(u)-t0 bo’ladi.

• Terminal boshqarish masalasi. Bu masala (14), (15) masaladan,

f0  0, t0 , t1 lar belgilangan, S1(t)R ,t0≤t≤t1, bo’lgan holda olinadi. Terminal
n
boshqarish masalasida kriteriy J=g0(x(t1)) ko’rinishda bo’ladi.