Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja

1-misol.
t1
J (u)  (u 2 (t)  x2 (t))dt  inf
t0


1
x(0)  x(t )  0
x(t)  u(t),0  t  t1 
Bu yerda t1>0 vaqt momenti berilgan, boshqaruvlar to’plami V=R1.Bu masala sodda bo’lib, uning yechimi (u(t)  0, x(t)  0), (0  t  t1 ) juftlikdan iborat. Shu
yechimni maksimum prinsipi (1-teorema) dan foydalanib topish mumkin. Haqiqatan ham, Gamilton-Pontryagin funksiyasi H (x, u, t, , a0 )  a0 (u  x ) u
2 2
yordamida qo’shma sistemani yozamiz:
 (t)  Hx  2a0 x
Agar a0=0 bo’lsa, H=ψu funksiya V=R1 to’plamda yuqori chegarasiga faqat ψ=0 bo’lganda erishadi. Ammo a0=ψ=0 shart maksimum prinsipiga ziddir.
Demak, a0>0 . U vaqtda a0=1 deb hisoblash mumkin. Bu holda
H  u 2  x 2 u
2
funksiya u bo’yicha R1 da yuqori chegarasiga u   nuqtada erishadi. U vaqtda
maksimum prinsipining chegaraviy masalasi
2
1 1
x   ,   2x, 0  t  t , x(0)  x(t )  0
ko’rinishda yoziladi. Bu masalaning yagona yechimi (x(t)  0, (t)  0), (0  t  t1 )
bo’ladi. U vaqtda (u(t)  0, (1) / 2  0), (0  t  t1 )
boshqarishdir.
t1
-bu bizga ma’lum optimal
2-misol.
J (u)   (u 2 (t)  x 2 (t))dt  inf
t0
1 
x(t)  u(t),0  t  t1 
1
x(0)  x(t )  0, t  0
Gamilton-Pontryagin funksiyasi
H  a0 (u  x ) u
2 2
ko’rinishda bo’ladi. Qo’shma sistemani tuzamiz:
 (t)  Hx  2a0 x
Agar a0=0 bo’lsa, H=ψu funksiya u bo’yicha aniq yuqori chegarasiga V=R1
to’plamda faqat ψ=0 bo’lganda erishadi. Bu esa, maksimum prinsipiga ziddir.
Demak, a0>0 ya’ni a0=1 deb olish mumkin. U vaqtda
H  u 2  x 2 u
2
funksiyaning uV=R1 bo’yicha aniq yuqori chegarasiga u  
nuqtada erishiladi.
Maksimum prinsipining chegaraviy masalasi
2
1 1
x   ,   2x, 0  t  t , x(0)  x(t )  0
bo’ladi. Bu yerdagi differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi
x(t)  c1 sin t  c2 cost,  (t)  2c1 cost  2c2 sin t
ko’rinishda topiladi, bu yerda c1,c2 -ixtiyoriy o’zgarmaslar. x(0)=0 shartni hisobga
olib c2=0 ekanligini topamiz. U vaqtda
x(t)  c1 sin t,  (t)  2c1 cost, x(t1 )  0
2
shartdan c1 sin t1  0 tenglikni olamiz. t1≠k(k=1,2,…) bo’lganda, bu yerdan, c1=0 bo’lishi kelib chiqadi va maksimum prinsipi chegaraviy masalasi yagona (x(t)  0, (t)  0), (0  t  t1 ) yechimga ega, optimallikka shubhali boshqaruv esa,
u    0
bo’ladi. Agar t1=k(k=1,2,…) bo’lsa, maksimum prinsipi chegaraviy
masalasi cheksiz ko’p yechimga ega: x(t)  c1 sin t,  (t)  2c1 cost, , bu yerda s1- ixtiyoriy o’zgarmas. U vaqtda optimallikka shubhali boshqaruv ham cheksiz ko’p bo’ladi:
(u(t)  c1 cost (0  t  t1 ) .
Topilgan boshqaruv optimal bo’ladimi? Bu savolga javob t1 ning qiymatiga bog’liq. t1> va 0bo’lgan hollarni qaraymiz.
1) t1> bo’lsin. U vaqtda inf J (u)   ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun
1 1
t t
m m
u  u (t)  m cos t boshqaruvlar ketma-ketligini va ularga mos
1
t
m m 1
x  x (t)  m sin t (0  t  t , m  1,2,...) trayektoriyalar ketma-ketligini qaraymiz. U
vaqtda

1
2 1
t1
t0
m m
m
t 2
J (u )  (u 2 (t)  x2 (t))dt  t m2 ( 1)  , m  
 2
Demak, t1> bo’lganda qaralayotgan optimal boshqarish masalasi yechimga ega emas. Maksimum prinsipi chegaraviy masalasi esa yuqorida ko’rsatildiki, t1≠k bo’lganda yagona yechimga ega, t1=k bo’lganda esa cheksiz ko’p yechimga ega.
2) 0bo’lsin. Shunday bo’lakli-uzluksiz v(t) funksiyalarni qaraymizki,
x(t)  v(t) (0  t  t1 , x(0)  x(t1 )  0
masala yechimga ega bo’lsin. U vaqtda shu
t0 t0
t1
 (v(t)  x(t)ctgt)2 dt  0
t0
x=v(t) funksiyalar uchun quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
t1 t1 t1
J (v)  (v2  x2 )dt  (v2  x2 ctg 2t  x2 sin 2 t)dt (v2  x2 ctg 2t  2xxctgt)dt 
t0
t1< bo’lganda u(t)0 va t1= bo’lganda u(t)  c1 cost (c1  const) funksiya uchun J(u)=0 bo’ladi. Demak, t1< bo’lganda qaralayotgan optimal boshqarish masalasi yagona u(t)0(0yechimga ega, t1= bo’lganda esa cheksiz ko’p u(t)  c1 cost , ( 0  t  t1 , c1 - ixtiyoriy o’zgarmas ) yechimga ega.
ADABIYOTLAR RO’YXATI
Asosiy adabiyotlar

• Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995.
• Л.Э.Эльсголц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Наука1969.

Qo’shimcha adabiyotlar

• И.М.Гельфанд, С.В.Фомин. Вариационное исчисление. М. Наука

1989.

• Н.И.Ахиезер. Лексии по вариационному исчислению. Гостехиздат,1955.

3 Коша А. Вариационное исчисление. М. Высшая школа, 1983
4. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари.
I-кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II-кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001