Понятия предиката. Постаянные предметы и переменные высказывании

Определение 12.11. Пусть  – одноместный предикат, определенный на множестве  . Обозначим – высказывание, которое читается: «существует  из  , что справедливо  », данное высказывание ложно только в том случае, когда предикат  тождественно ложный.
Символ  называют квантором существования по переменной  .
Например, пусть определен на . Тогда – ложное высказывание, которое читается: «существует действительное число, квадрат которого меньше 0».
Следующая теорема показывает, что квантор существования можно рассматривать как обобщение дизъюнкции.
Пусть  – одноместный предикат, определенный на конечном множестве . Тогда
Квантор существования можно применять к многомерным предикатам. Однократное применение квантора к одной из переменных  -Мерного предиката порождает  -Мерный предикат.
Пусть, например, мы имеем двухместный предикат определённый на множестве  . Тогда  задает одноместный предикат , зависящий от переменной  . Данный предикат будет тождественно истинным. Действительно, пусть  – произвольное фиксированное действительное число. Тогда Заметим, что если в многомерном предикате все переменные связаны кванторами, то он будет высказыванием.
Пусть двухместный предикат определённый на множестве  .
Тогда из него связыванием переменных   и  можно получить восемь высказываний:
1. – “Для всяких действительных чисел  и  их сумма больше двух”.
2. – “Для всяких действительных чисел  и  их сумма больше двух”.
3 – “Существуют действительные числа  и  , сумма которых больше двух”.
4.  – “Существуют действительные числа  и  , сумма которых больше двух”.
5. – “Для всякого действительного числа существует действительное число у, что их сумма больше двух”.
6.  – “Для всякого действительного числа существует действительное число  , что их сумма больше двух”.
7.  – “Существует действительное число  , что для всякого действительного числа У их сумма больше двух ”.
8. – “Существует действительное число  , что для всякого действительного числа  их сумма больше двух ”.
Нужно заметить, что высказывания 1 и 2 оба ложны и имеют один и тот же смысл; высказывания 3 и 4 оба истины и имеют один и тот же смысл. Как видно, изменение порядка одноименных кванторов не влияет на смысл и значение истинности высказывания. Высказывание 5 истинно, а высказывание 8 ложно.
Высказывание 7 ложно, а высказывание 6 истинно. Как видно, изменение порядков разноименных кванторов приводит к изменению смысла и, возможно, значения истинности высказывания.