Постановка основной задачи линейного программирования Линейное программирование

2. Построение модели и решение задачи определения оптимального плана производства в ООО «Мельник»

Фабрика ООО «Мельник» специализируется на выпуске двух сортов теста: бисквитное и песочное. Для изготовления теста используются такие ингредиенты как яйца и сахар, так же затрачивается и ресурсы труда. Для изготовления бисквитного теста требуется 5 штук яиц и 0,3 килограмма сахара, для изготовления затрачивается 15 минут. А для изготовления песочного теста потребуется 2 яйца, 0,25 килограмма сахара и 30 минут затраченного времени. Стоимость 1 кг бисквитного теста 30 руб., а песочного 20 руб. Общий запас яиц равен 1000 шт., 75 кг сахара и 125 часов трудовых ресурсов.

2.1 Построение экономико-математической модели

. Переменные задачи.

В задаче требуется установить, сколько продукции каждого вида надо производить, поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида продукции:
х₁ - суточный объем производства бисквитного теста, (кг);
х₂ - суточный объем производства песочного теста, (кг).
. Целевая функция.
В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции, т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи продукции обоих видов, необходимо знать объемы производства, т.е. x₁ и х₂ кг продукции в сутки, а также цены на продукцию бисквитного и песочного теста - согласно условию 30 и 20 руб. за 1 кг продукции соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства продукции бисквитного теста равен 30х₁ руб. в сутки, а от продажи песочного теста - 20х₂ тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи продукции бисквитного и песочного теста.


(руб.).

. Ограничения.

Возможные объемы производства продукции х₁ и х₂ ограничиваются следующими условиями:
количество яиц, сахара и трудовых ресурсов, израсходованных в течение суток на производство теста обоих видов, не может превышать запаса этих ингредиентов на складе;
объем производства продукции не может быть выражен отрицательными значениями.
Запишем эти ограничения в математической форме.
Ограничение по расходу яиц имеет вид:


(т/сутки).

Левая часть ограничения - это расчет расхода яиц на производство теста обоих видов. Расход яиц на производство 1 кг бисквитного теста - 5 шт.; на производство 1 кг песочного теста - 2 шт. Тогда на производство х₁ кг бисквитного теста и х₂ кг песочного теста потребуется (5х₁ + 2x₂) шт. яиц. Правая часть ограничения - это величина запаса яиц на складе - 1000 шт.

Аналогична запись ограничения по расходу сахара:


(кг).

Так же ограничение по трудовым ресурсам имеет вид:

(чел.-ч.)

Неотрицательность объемов производства задается как

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:


;

Экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план производства продукции , удовлетворяющий системе ограничений, при котором целевая функция принимает максимальное значение.