Постановка основной задачи линейного программирования Линейное программирование

2.2 Определение оптимального плана производства симплексным методом

Приведем задачу к каноническому виду. Для этого в ограничения задачи введем дополнительные переменные х₃, х₄, х₅ и перепишем условие задачи в виде уравнений:

В качестве базисных переменных возьмем х₃, х₄, х₅, тогда небазисные - х₁, х₂. Полагаем х₁ = х₂ = 0, тогда х₃ =1000, х₄=75, х₅ =125.
-я итерация.
Составляем первую симплексную таблицу, соответствующую исходному опорному решению (таблица 3):

или

Таблица 3

ci	БП	30	20	0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x3	5	2	1	0	0	1000
0	x4	0,3	0,25	0	1	0	75
0	x5	0,25	0,5	0	0	1	125
Dj		- 30	- 20	0	0	0	0

Все строки таблицы, за исключением индексной, заполняем по данным системы ограничений и целевой функции. Элементы последней строки рассчитываем:

и т.д.
В индексной строке две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве разрешающего столбца следует принять столбец переменной х₁:
, т.е. k =1.
За разрешающую строку принимаем строку переменной х₃:
, т.е. s =1.
Разрешающим является элемент а₁₁=5, т.е. вводим в базис переменную х₁, выводим х₃.
-я итерация.
Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 4)

Таблица 4

ci	БП	30	20	0		0	0	bi
		x1	x2	x3		x4	x5
30	x1	1	0,4	0,2		0	0	200
0	x4	0	0,13	-0,06		1	0	15
0	x5	0	0,4	-0,05		0	1	75
Dj		0	- 8	6	0		0	6000

Из таблицы 4 находим опорный план:

,
В индексной строке таблицы 4 имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Разрешающим элементом является а₂₂=0,13
-я итерация.
Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 5).

Таблица 5

ci	БП	30	20	0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
30	x1	1	0	0,38	-3,07	0	153,8
20	x2	0	1	-0,4	7,7	0	115,4
0	x5	0	0	0,13	-3,07	1	28,8
Dj		0	0	2,3	61,5	0	6923

Из таблицы 5 находим опорный план:

,
Так как все оценки свободных переменных положительные, найденное решение является оптимальным:


Максимальная прибыль составит 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста. В оптимальном плане ресурсы яиц и сахара равны нулю (х₃=х₄=0), так как они используются полностью. А резерв трудовых ресурсов х₅ = 28,8, что свидетельствует о излишках.
Построение двойственной задачи
Оценки, приписываемые каждому виду ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида - не меньше цены единицы продукции данного вида.
Обозначим через y₁ - двойственную оценку дефицитности яиц, через y₂ - сахара, y₃ - трудовых ресурсов. Тогда прямая и двойственная задачи формулируются:
прямая задача

двойственная задача

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства песочного и бисквитного теста, а решение двойственной задачи - оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства:

Двойственные оценки ресурсов y_i^* - это оценочные коэффициенты D_j дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ в последней симплексной таблице.
Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы.
Ресурсы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y₁, y₂, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются (х₅ = 28,8 чел.-ч.).

.3 Решение задачи оптимизации в табличном процессоре MS Excel

Для решения задач линейного программирования в MS Excel изначально мной был построен шаблон для ввода исходных данных.

Далее оптимальный план для поставленной задачи нашла с помощью функции «Поиск решения».



Рисунок 1 - Экранная форма задачи

Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, для расчета целевой функции была использована формула СУММПРОИЗВ, как сумма произведений соответствующих ячеек на соответствующие значения.

Левые части ограничений задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (таблица 7).

Таблица 7

Левая часть ограничения	Формула Excel
5x1+2x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B10:C10)
0,3x+0,25x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B11:C11)
0,25x1+0,5x2	=СУММПРОИЗВ ($B$3:$C$3; B12:C12)

Отчете по результатам (рис. 4). В этом отчете в столбцах «Результат» можно увидеть оптимальный план решения задачи: максимальную прибыль фабрики и производство двух сортов теста. А так же количество израсходованных ресурсов

Рисунок 2 - Окно «Поиск решения» после ввода всех необходимых данных

В конечном итоге у нас получился оптимальный план решения задачи.

Рисунок 3 - Экранная форма после получения решения



Рисунок 4 - Отчет по результатам

Отчет по устойчивости (рис. 5).В этом отчете можно увидеть оптимальное решение по производству теста. Так же допустимые приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется прежнее оптимальное решение и др.

Рисунок 5 - Отчет по устойчивости

Отчет по пределам изменений представлен на рис. 6.

В отчете показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедший в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Там же даны соответствующие оптимальные значения целевой функции.



Рис. 6 - Отчет по пределам

Заключение

В ходе курсовой работы были решены следующие основные задачи построена экономико-математическая модель задачи, определен оптимальный план производства симплексным методом и решена задача оптимизации в табличном процессоре MS Excel.

Максимальная прибыль фабрики по изготовлению теста составила 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста.
Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы:
Запасы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y₁, y₂, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются в размере 28,8 чел.-ч.
Увеличение количества яиц на 1 шт. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства продукции, при котором общая прибыль возрастает на 2,31 руб. и станет равной 6923 + 2,31 = 6925,31 руб. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общей прибыли достигается за счет увеличения производства бисквитного теста на 0,38 руб. и сокращения выпуска бисквитного теста на 0,4 руб. Вследствие этого использование трудовых ресурсов увеличится на 0,13 руб.
Точно так же увеличение на 1 кг. количества сахара позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором прибыль возрастет на 61,54 руб. и составит 6984,5 руб., что достигается за счет уменьшения выпуска бисквитного теста на 3,07 руб. и увеличения выпуска песочного теста на 7,7 руб., причем объем используемых трудовых ресурсов увеличится на 3,07 руб.
Уменьшение количество запасов сахара на 15 кг приведет к тому что появится новый оптимальный план производства при котором общая прибыль уменьшится на 923 рубля, т.е. станет равен 6000 рублей.
Увеличение цены бисквитного теста с 30 до 40 рублей за 1 кг не изменит оптимальное решение, т.к. при анализе в отчете по устойчивости «Допустимое увеличение» равно 20, а это значит что при увеличении цены до 50 рублей за кг оптимальное решение не будет изменено.

Список литературы

симплекс производство двойственный excel
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М., 2007.
. Грешилов А.А. Прикладные задачи математического программирования. М., 2009.
3. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб: Питер, 2010
. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. 7-е изд. - М.: «Вильямс», 2007.