Построение кривых регрессий

Кривая регрессия
Кривая регрессия - это метод статистического анализа,который используется для моделирования зависимости между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.В отличие от линейной регрессии, которая использует линейную функцию для моделирования зависимости, кривая регрессия использует нелинейную функцию.Некоторые примеры кривых регрессий включают полиномиальную регрессию,логистическую регрессию, экспоненциальную регрессию и степенную регрессию.
Кривая регрессия может быть полезна в ситуациях, когда зависимость между переменными нелинейна. Она может помочь в прогнозировании значений зависимой переменной на основе значений независимых переменных и может использоваться для определения наилучшей функциональной формы для моделирования зависимости.
Однако кривая регрессия также имеет свои ограничения. Она может быть более сложной для понимания и интерпретации, чем линейная регрессия. К тому же выбор правильной функциональной формы для моделирования зависимости может быть сложным.
Использование его
Кривая регрессия может быть полезна во многих областях, где необходимо моделировать нелинейные зависимости между переменными. Например:
- В экономике и финансах кривая регрессия может использоваться для моделирования зависимости между экономическими показателями, такими как доходы и расходы.
- В биологии и медицине кривая регрессия может использоваться для моделирования зависимости между биологическими показателями, такими как рост и вес.
- В инженерии кривая регрессия может использоваться для моделирования зависимости между физическими величинами, такими как сила и расстояние.
В общем, кривая регрессия может быть полезна в любой области,где необходимо моделировать нелинейные зависимости между переменными.
Одномерная и многомерная регрессия
Одномерная регрессия используется для моделирования зависимости между одной зависимой переменной и одной независимой переменной. Она может быть полезна для изучения взаимосвязи между двумя переменными и для прогнозирования значений зависимой переменной на основе значений независимой переменной.

Многомерная регрессия используется для моделирования зависимости между одной зависимой переменной и несколькими независимыми переменными. Она может быть полезна для изучения взаимосвязи между несколькими переменными и для прогнозирования значений зависимой переменной на основе значений нескольких независимых переменных.

Как одномерная, так и многомерная регрессия могут быть линейными или кривыми. В линейной регрессии используется линейная функция для моделирования зависимости, а в кривой регрессии используется нелинейная функция. Выбор между линейной и кривой регрессией зависит от характеристик данных и целей анализа.
Многомерная регрессия используется для моделирования зависимости между одной зависимой переменной и несколькими независимыми переменными. Она позволяет оценить силу и направление связи между зависимой переменной и каждой из независимых переменных, а также использовать эту информацию для прогнозирования значений зависимой переменной на основе значений независимых переменных.
В многомерной линейной регрессии используется линейная функция для моделирования зависимости. Например, если у нас есть две независимые переменные X1 и X2 и одна зависимая переменная Y, то уравнение многомерной линейной регрессии может выглядеть следующим образом: Y = b0 + b1 * X1 + b2 * X2, где b0, b1 и b2 - это коэффициенты регрессии.
Коэффициенты регрессии оцениваются на основе данных с использованием метода наименьших квадратов или других методов. Они показывают, как изменяется значение зависимой переменной при изменении значений независимых переменных.
Многомерная кривая регрессия работает аналогичным образом, но вместо линейной функции использует нелинейную функцию для моделирования зависимости. Выбор функциональной формы зависит от характеристик данных и целей анализа.
Пример 74
В результате наблюдения за размножением бактерий были получены следующие результаты:

где,  – время (часы), а  – количество бактерий …Время обычно обозначают буквой «тэ», но для единообразия пусть будет старый добрый «икс».
Требуется:
1) построить диаграмму рассеяния и подобрать линию, которая эффективно приближает эмпирические данные;
2) методом наименьших квадратов найти уравнение регрессии  на  , выполнить чертёж;
3) вычислить индекс детерминации и индекс корреляции;
4) проверить значимость полученной модели на уровне значимости  ;
5) найти среднюю ошибку аппроксимации;
6) оценить количество бактерий к 12-му и 24-му часу.
По каждому пункту сделать выводы.
Решение:
1) В Примере 73 мы не только построили диаграмму рассеяния по предложенным числовым данным, но и выполнили почти все пункты задания для линейного случая:

И невооруженным взглядом видно, что линейная регрессия неудовлетворительно аппроксимирует (приближает) опытные данные. Сразу бросается в глаза, что эмпирические точки имеют тенденцию располагаться по кривой, и во-вторых, количество бактерий не может быть отрицательным, но по уравнению  – запросто так может.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы подобрать линию (её тип), которая удачно приблизит эмпирические точки. Возможно, не наилучшим образом, но, по крайне мере, хорошо. Выбор подходящей линии и соответствующей записи уравнения регрессии называют спецификацией модели.